泊松过程poisson

1、3 泊松过程内容提要q泊松过程的定义泊松过程的定义q泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质q非齐次泊松过程非齐次泊松过程q复合泊松过程复合泊松过程泊松分布 泊松分布 随机变量随机变量X 的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取，而取各个值的概率为各个值的概率为则随机变量则随机变量X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布，简记，简记为为 ( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!为常数kkekXPk)( ,)(XDXE6.1 泊松过程的定义定义 称称 N (t), t 0 为为计数过程，若，若N (t)表示到时间表示到时间t 为止已发生的为止已发生的“事件事件A”的总数，且的总数，

2、且N (t)满足下列条件：满足下列条件：(1) N (t) 0 ，且，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值取非负整数值;(3) 若若 s t ，N (s) N (t) ;(4) 当当s t 时，时， N (t) N (s)等于区间等于区间 (s, t 中中“事件事件A”发生的次数。发生的次数。泊松过程定义 称计数过程称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数为具有参数 的的泊松过程，若若它它满足下列条件：满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程是独立增量过程;(3) （平稳性平稳性）在任一长度为）在任一长度为 t 的区间中，事

3、件的区间中，事件A发生的发生的次数服从次数服从参数参数 t 的泊松分布，即对任意的泊松分布，即对任意 s , t ，有，有, 1 , 0 ,!)()()(nentnsXstXPtn泊松过程的几个例子n考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在表示电话交换台在 0, t 时间内收到的呼叫次数，时间内收到的呼叫次数，则则 X(t), t 0 是一个泊松过程。是一个泊松过程。n考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间为时间 0, t 内到达售票窗口的旅客数，则内到达售票窗

4、口的旅客数，则 X(t), t 0 是一个泊松过程。是一个泊松过程。nX(t) 为某网站在时间为某网站在时间 0, t 内的被访问次数。内的被访问次数。)()(ntXksXPknkkntstsC1参数为参数为 n 和和 s/t 的的二项分布二项分布例 设在设在 0 , t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，且次，且0 s t，对，对于于0 k 0 的的泊松过程，若，若它它满足下列条件：满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程;(3) X (t) 满足下列两式：满足下列两式：)(2)()()(1)()(hotXhtXPhoh

5、tXhtXP6.2 泊松过程的基本性质, 1 , 0 ,!)()()(nentnsXstXPtn, 2 , 1 , 0 ,!)()(nentntXPtn)1()(jj)(ettXXeeE泊松分布泊松分布:(1) 泊松过程的数字特征ttDtXX)()(2ttXEtmX)()(均值函数均值函数方差函数方差函数)( , ) 1()()(),(tststXsXEtsRX相关函数相关函数)( , ),min()()(),(),(tsststmsmtsRtsCXXXX协方差函数协方差函数(2) 时间间隔与等待时间设设 X (t), t 0 是泊松过程，令是泊松过程，令X (t)表示表示 (0,t 时间内时

6、间内事件事件A发生的次数，发生的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn 第第n次事件次事件A发生的时刻，或称等待时间，发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间或者到达时间Tn 从第从第n-1次事件次事件A发生到第发生到第n次事件次事件A发生的发生的时间间隔，或称第时间间隔，或称第n个时间间隔个时间间隔) 1( 1nTWniin时间间隔Tn定理 设设 X (t), t 0 是具有参数是具有参数 的泊松过程，的泊松过程，Tn , n 1 是对应的时间间隔序列，则随机变量是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,)是独立同是独立同分布的参数为分布的参数为 的的指数分布指数分布

7、。等待时间（到达时间）Wn定理 设设 X (t), t 0 是具有参数是具有参数 的泊松过程，的泊松过程，Wn , n 1是对应的等待时间序列，则随机变量是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为服从参数为n与与 的的 分布分布（又称为爱尔兰又称为爱尔兰分布）分布），其，其概率密度为概率密度为0,00,)!1()()(1ttntetfntWn2nwDnwEnn例1 已知仪器在已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数内发生振动的次数 X(t) 是具有参是具有参数数 的泊松过程。若仪器振动的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，次就会出现故障，求仪器在时刻求仪器在时刻 t0 正常

8、工作的概率。正常工作的概率。解0 , 00 ,)!1()()(1ttktetfktT故仪器故仪器在时刻在时刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率为为:0d)!1()()(10tkttktetTPP仪器发生第仪器发生第k振动的时刻振动的时刻Wk 就是故障时刻就是故障时刻T ，则则T 的概率分布为的概率分布为 分布分布:1000!)()(0knntntektXP(3) 到达时间的条件分布假设在假设在0 , t 内事件内事件A已经发生一次，确定这一事件到已经发生一次，确定这一事件到达时间达时间W1的分布的分布tsteesetXPsXtXPsXPtXPsXtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsts)

9、(111)(0)()(1)(1)(0)()(, 1)(1)(1)(,1)(分布函数：tststsssFtXW , 10 ,/0 , 0)(1)(1分布密度：其它 , 00 ,/1)(1)(1tstsftXW均匀分布均匀分布到达时间的条件分布其它 , 00 ,!)(,(11ttttnntXttfnnn定理 设设 X (t), t 0 是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0, t内事件内事件A发生发生n次，则这次，则这n次到达时间次到达时间W1 W2 Wn可看成可看成n个个0, t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量)()(nsftXWk例3 设在设在 0 ,

10、t 内事件内事件A已经发生已经发生 n 次，求第次，求第k次次(k n) 事件事件A发生的时间发生的时间Wk 的条件概率密度函数。的条件概率密度函数。knkktstsknkn1)!()!1(!1Beta分布分布)(ntXhsWsPk)()(,ntXPntXhsWsPk)()()(,ntXPknhsXtXhsWsPk)()()(ntXPknhsXtXPhsWsPkhntXhsWsPkh)(lim0)()()()(ntXPknsXtXPsfkW例4 设设X1(t), t 0 和和X2(t), t 0 是两个相互独立的泊松是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为过程，它们在单

11、位时间内平均出现的事件数分别为 1和和 2。记。记Wk(1)为过程为过程X1(t)的第的第k次事件到达时间，次事件到达时间， W1(2)为过为过程程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求 PWk(1)W1(2)，即第一，即第一个泊松过程的第个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生次事件发生 的概率。的概率。kkWWP211)2(1)1(0, 00,)!1()()(1ttntetfntWn6.5 非齐次泊松过程定义 称计数过程称计数过程 X (t) , t 0 为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数 (t) 的的非齐次泊松过程，

12、若，若它它满足下列条件：满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程是独立增量过程;(3)(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP非齐次泊松过程的分布tXsstm0d)()()0( ),()(exp!)()()()(ntmstmntmstmntXstXPXXnXX定理 设设 X (t) , t 0 为具有跳跃强度函数为为具有跳跃强度函数为的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程，则有，则有)(t)0( ),(exp!)()(ntmntmntXPXnX令令则X(t)服从参数为 的的poissonpoisson分布分布)(tmX例6ttsstX

13、DtXEtsin15.0)dcos.5(10)()(0设设 X (t) , t 0 是具有跳跃强度是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求的非齐次泊松过程。求 EX(t) 和和 DX(t)。)cos1 (5 .0)(tt例7 设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出。时有车发出。乘客流量如下：乘客流量如下：5时平均乘客为时平均乘客为200人人/时；时；5时至时至8时乘时乘客线性增加，客线性增加，8时达到时达到1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均时保持平均到达率不变；到达率不变；18时至时至21时到达率线性下降，到时到达率线性下降，到21时为时为200人人/时。

14、假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求独立的。求12时至时至14时有时有2000人来站乘车的概率，并人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。求出这两小时内乘客人数的数学期望。1613 , )13(4001400133 , 140030 , 400200)(tttttt2800400d1d)()7()9(9797tttmmXX28002000!200028002000)7()9(eXXP6.6 复合泊松过程定义 设设 N (t) , t 0 是强度为是强度为 的泊松过程的泊松过程， Yk , k =1, 2, 是一列独立同分布随机

15、变量，且与是一列独立同分布随机变量，且与 N (t) , t 0 独立，令独立，令则称则称 X (t) , t 0 为复合为复合泊松过程。泊松过程。0 , )()(1tYtXtNkk复合泊松过程的性质定理 设设 是复合是复合泊松过程泊松过程，则，则(1) X (t) , t 0 是独立增量过程是独立增量过程; (2) 若若 ，则，则)( ,)(211YtEtXDYtEtXE0 , )()(1tYtXtNkk21YE例8 考虑电子管中的电子发射问题。考虑电子管中的电子发射问题。设设 t 时间内到达阳极时间内到达阳极的电子数目的电子数目N(t)服从泊松分布，服从泊松分布，每个电子携带的能量构成一个

16、随机变量序列每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 X1, X2, , Xk, 。已知。已知Xk与与N统计独立，统计独立， Xk之间互不相关且具有相之间互不相关且具有相同的均值和方差，同的均值和方差，则则 t 时间内阳极接收到的能量为时间内阳极接收到的能量为求求 S(t) 的均值和方差。的均值和方差。!)()(ketktNPtk2 , kkXDXE)(1)(tNkkXtS)()()(22211tXtEtSDtXtEtSEt1t2tit0tX(t)(a) 泊松泊松过程过程t1t2tit0tZ(t)(b) 泊松泊松脉冲列脉冲列 泊松脉冲列)(dtd)(tXtZ定义 称称泊松泊松过程过程 X(t)

17、, t 0 的导数过程为的导数过程为泊松脉冲列， 记为记为 Z(t) , t 0 ，即即iitt)(iittu)( 泊松脉冲列的数字特征)(dtd)(dtd)(tXEtXEtmZ均值函数均值函数泊松脉冲列是平稳随机序列。泊松脉冲列是平稳随机序列。)( , )(),(),(22sttsRtstsRXZ相关函数相关函数功率谱密度功率谱密度)(2d )()(2ZZRS0th(t)6.4 散粒噪声iiiitthttthtZthtS)()()()()()(定义 当线性系统当线性系统 h(t) 输入一泊松脉冲列输入一泊松脉冲列 Z(t) 时，其输出时，其输出过程即为过程即为散粒噪声，记，记为为 S(t) ，即，即iitttZ)()(iitthtS)()(t1t2t0t2tt0t1散粒噪声的数字特征)0(d)()(HhtSEmS均值函数均值函数散粒噪声也散粒噪声也是平稳随机过程是平稳随机过程相关函数相关函数功率谱密度功率谱密度2222)()()0(2)()()(HHSHSZSde)(2)0(d)()()0()()()()(j22222HHuuhuhHhhRRZS泊松脉冲列和散粒噪声的统计特性0 SZ( )(a) 泊松泊松脉冲列