八年级数学下册勾股定理的基本知识主要考点配套试题无答案

1、勾股定理的基本知识、主要考点、配套试题§181 勾股定理S3S2S1考点1勾股定理的探索与验证探索类考题：如图，S1= ，S2= ，S3= ；因此：S1+S2= S3，即（ ）2+（ ）2=（ ）2。验证类考题：利用下列各图分别写出验证勾股定理“”的过程：(1) (2) (3) 考点2勾股定理与“面积和差问题”考题：图(1)中两个小正方形的面积分别为33和67，则大正方形边长a= ；图(2)中两个小正方形的边长分别为4和7，则大正方形面积S= 。（09义乌）如图，已知在RtABC中，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2= 。（更多的问题请参考讲

2、义“勾股定理”巧解面积和差问题）考点3已知三角形的两边求一边注意点：分类讨论考题：（09杭州）一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x= 。（09黄冈）矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线上，且向右滚动，当翻滚至类似于开始位置时，则顶点A所经过的路线长为 。（09嘉兴）如图，在直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，4），将AOB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点坐标为 。考点4已知三角形的一边求两边解法指导：在一个直角三角形中，只有一条边长是已知的，我们需要寻找未知两边的长度关系，用一个字母来表示，然后利用“勾股定理”列方程解题。（09天津）已知

3、一个直角三角形纸片AOB，其中AOB=90o，OA=2，OB=4，将该纸片放在直角坐标系中，折叠该纸片，使点A、B重合，折痕与边OB交于点C，求点C的坐标。（更多此类问题请参考讲义“勾股定理”巧解“折叠求长”问题）考点5最短路径问题问题分类：平面展开； 对称性考题：（08福州）矩形OABC中，OA=3，OC=2，点E是AB中点，将ABD沿BD翻折，使点A落在BC边上F处。(1)求证：四边形ABFD是正方形；(2)直接写出点E、F的坐标；(3)x轴上存在点P，使PE+PF最短，求点P坐标，以及PE+PF的最小值；(4)x、y轴上存在点M、N，使得四边形MNFE 的周长最小，求出周长的最小值。（更

4、多此类问题请参考讲义“最短路径”与展开图问题）考点6无理数的表示常见无理数（斜边）两个有理数（直角边） 1和11和22和21和32和31和42和4问题分类：作图题； “赵爽弦图”问题。常见作图题：请在右图中画一条长为的线段AB；请在右图画一个三边长分别为，个单位的三角形。（09温州）在所给的方格中，按要求画平行四边形，使它的四个顶点和对角线交点都在格点上。要求在图(1)中，画周长是整数的平行四边形；在图(2)中，画周长不是整数的平行四边形；在图(3)中，画面积为17的正方形。常见“赵爽弦图”问题：（09金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形面积为4，大

5、正方形面积为100，则一个直角三角形的周长是 。（更多此类问题请参考讲义与“赵爽弦图”有关的问题）考点7勾股数的规律最短边为奇数的考题：观察下列各组勾股数：“3、4、5”；“5、12、13”；“7、24、25”，若设最短边为n，第二边为p，则最长边为 ，且较长两边的和为 ，请用含有n的式子表示p= ，则用含有p的式子表示n= 。最短边为偶数的考题：观察下列各组勾股数：“4、3、5”；“6、8、10”；“8、15、17”；“10、24、26”，若设最短边为n，第二边为p，则最长边为 ，且较长两边的和为 ，请用含有n的式子表示p= ，则用含有p的式子表示n= 。利用“平方差公式”探究规律：阅读：若

6、直角三角形的一条直角边长为11，另外两边长为整数a、b（ab），则有a2b2=121，即（a+b）（ab）=121×1，因此，得a=61，b=60。则一条直角边长为13的直角三角形周长为 。 §181 勾股定理的逆定理考点1判断是否构成直角三角形考题：以下列长度为三边构成的三角形不是直角三角形的是（ ）A2，3，4 B5，12，13 C6，8，10 D7，24，25考题：已知ABC的三边分别为a、b、c，且ab4，ab1，c，试判定ABC的形状。考题：一条边长为7，两条对角线长分别为4和的平行四边形 菱形（填“是”或“不是” ）。考题：如图，四边形ABCD中，AB=4，BC

7、=3，AD=12，CD=13，则四边形ABCD的面积为 。考点2判断两直线是否垂直考题：如图，正方形ABCD边长为4，点F为边DC的中点，ABCDFEE为边BC上一点，且EC= BC，求证：AFEF。考点3“阅读理解类问题” 考题：ABC的三边分别为a、b、c，且满足关系：，则ABC是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D无法确定考题：ABC三边a、b、c满足:a2c2b2c2a4b4，试判定ABC的形状。解：由原式得： c2（a2b2）（a2b2）（a2b2）， 两边同除（a2b2）得, c2a2b2， 因此ABC是直角三角形。同学们认为这个解法有问题吗？ （填“有”或“没有

8、” ）。若有问题，错在第 步，并请你写出正确解法：附1：“勾股定理”巧解面积和差问题要点简述:如图，RtABC中，ACB=90o，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形，面积分别为S1、S2、S3，由于S1=AB2，S2=BC2，S3=CA2，且AB2=BC2+CA2，所以S1= S2+S3。于是，我们得到结论：以直角三角形的两直角边作为边长所得正方形面积之和等于以斜边作为边长的正方形面积。直角三角形的这一特点在中考中和数学竞赛中都会有很广泛的应用。下面，我们就这一类问题展开学习和讨论。练习1（07安徽）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线的距离分别为1和2，则正方形的边长是

9、。练习2（08台州）如图，正方形ABCD、EFGH、NHMC的边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一直线上，则c= （用含有a、b的代数式表示）。练习3（连云港）上图中，正方形ABCD、EFGH的面积分别是5和11，则正方形NHMC的面积是 。练习4在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放着的三个正方形面积分别是1、2、3，正放的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则：S1+S2+S3+S4= 。练习5（07芜湖）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都的直角三角形，其中最大的正方形边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B、C的边长均为5cm，则正方形D的边长为

10、（ ）A B C D练习6（第9届华罗庚金杯赛）如图，美丽的珊瑚礁图案中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都的直角三角形。所有正方形的面积之和为980cm2，求最大的正方形边长。练习7（08陕西）如图，梯形ABCD中，ADC+BCD=90 o，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 。拓展一:如图，RtABC中，ACB=90o，分别以AB、BC、CA为边向外作半圆，面积分别为S1、S2、S3，也有S1= S2+S3，请证明。练习8（08南宁）如图，RtABC中，BC=6，AC=8，在AB的同侧，分别以AB、AC、

11、BC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。拓展二:如下列各图，RtABC中，ACB=90o，分别以AB、BC、CA为边向外作正三角形、等腰直角三角形等，面积分别为S1、S2、S3，也有S1= S2+S3。附2：“折”进中考（1）“勾股定理”巧解“折叠求长”问题要点简述:若我们对一张纸片进行折叠，由于被折叠部分与被覆盖部分相互重合（互相全等），因此在折痕的两旁，相对应的角度和边长都会有相等关系。而“折叠求长”问题往往用到的是边长相等。例题：RtABC中，ACB=90o，AC=1，BC=2，以DE为折痕进行翻折，使点B与A重合，求CE的长度。分析：由于DE是折痕，因此DE两旁的线段AD=BD、AE=

12、BE； 在RtACE中，已知AC=1，只要知道AE的长度，或者AE与CE的关系即可，由于BC=2，所以CE+BE=2，即CE+AE=2。因此，可设CE=x，则AE=2-x，可列方程：，解的x=0.75。归纳：利用勾股定理解决“折叠求长”问题的基本思路为： 备注：一般情况下，应该为重合两部分之外的Rt。 备注：长度已知的标上数值，未知的标上相同记号。 备注：第三边必须已知。 备注：利用勾股定理列方程。练习1：RtABC中，C=90o，AC=3，BC=4，以AE为折痕进行翻折，使点C落在AB边上点D处，求CE的长度。练习2：如图，点A(2，6)，y轴上有一点B，使得OBAB，求点B的坐标。（提示：

13、点B在OA垂直平分线上，BC类似于折痕）练习3：如图，点A(2，6)，x轴上有一动点B，与点O、A构成等腰三角形，求点B坐标。练习4：如图，沿AE折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F处，若AB8cm，BC10cm，求EC的的长。练习5：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，如果AB=8cm，CE=3cm，求阴影部分面积。练习6：如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF。若AB=1，BC=2，则AF长为 。练习7：如图，长方形OABC的顶点B(8，4)，沿对角线AC将长方形对折，使点B落在点D 处，CB与x轴交于E，求点E和B的坐标。 附3

14、：“最短路径”与展开图问题要点简述:我们知道，在同一平面内有“两点之间，线段最短”，在不同平面内的两点呢？在曲面上的两点呢？其实，我们只要将两个平面、曲面转化为同一个平面即可。例1：如图，一只蚂蚁在棱长为1dm的正方体顶点A处，在B处有一粒米饭，若这只蚂蚁要吃到米饭，则蚂蚁在正方体表面爬行的最短路径是多长？分析：将正方体的上表面展开，使点A与B（B）在同一平面内，则点A与B之间的最短路径是线段A B的长度，而A B=AO+OB，因此点A与B之间的最短路径就是AB=dm。1如图，是一个长5cm，宽3cm，高4cm的长方体纸盒，则在长方体表面，从点A到点B的路径是多少cm？（注意：分类讨论！）如图

15、，是一个5级台阶，每级台阶的尺寸如图，则一只蚂蚁从点A爬到点B的最短路径是多少？例2：如图，圆柱体的底面半径为5cm，高为8cm，在点A、B处各有一只蚂蚁，它们在圆柱表面爬行的速度都是0.5cm/s，则它们最快要多少时间才能相遇？（取3）分析：将圆柱体的半个侧面展开，是一个长为5，即15cm，宽为8cm的长方形，则最短路径是，即17cm，时间为17s。如图，一个圆柱的底面周长为5cm，高为12cm，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳子至少多长？2（首届两岸四地华罗庚金杯赛）九章算术中的问题：今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？翻译为：有圆柱形木棍直立于地面

16、，高20尺，底面周长是3尺，葛藤生于圆柱底部点A，等距缠绕圆柱7周恰好到达圆柱顶部点B，则葛藤长 尺。例3：如图，欲在公路同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路10m、30m，且CD=30m，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短。找到堆放点P的位置；求PA+PB的最小值。附4：与“赵爽弦图”有关的问题要点简述:我们知道，赵爽弦图是我国古代数学家们通过不懈努力，潜心研究的结果。这个图处处透着一种美：和谐之美、对称之美、艺术之美。在我们欣赏它的美的同时，更不要忘记它在数学领域，为我们研究“勾股定理”、“完全平方公式”所作出的重大贡献。作用一: 验证勾股定理如图，四个全等的直角三角形三边分别为a、b、c，且ab，请写出右图验证勾股定理的过程。2（08湖州）利用右边两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 。3（山东）如图，有三张硬纸板，请你把它们拼成一个能验证勾股定理的图形。画出示意图；写出验证过程。作用二: 巧构正方形 从右图可以发现，一个大正方形总可以分为五部分：四个全等的直角三角形和一个小正方形。而且大正方形的边长是直角三角形的 ，小正方形的边长是直角三角形的 。请在网格中画出一个面积等于13的正方形，并将其分割成赵爽弦图。归纳：构造正方形的步骤：2请将