高中函数图像大全(2)

1、指数函数概念：一般地，函数y=ax a>0,且1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R。注意：1.指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否那么不能为指数函数。2. 指数函数的定义仅是形式定义指数函数的图像与性质：规律: 1.当两个指数函数中的 a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不丿丿A匕-4 一 3 二2 J。1234-v具有奇偶性。2当a> 1时，底数越大，图像上升的越快，在 y轴的右侧，图像 越靠近y轴；当Ov av 1时，底数越小，图像下降的越快，在 y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高；在y轴左边“底大图低。3. 四字口诀：“大增小减。

2、即：当a> 1时，图像在R上是增函数；当Ovav 1时，图像在R上是减函数。：j 4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比拟幕式大小的方法：1.当底数相同时，那么利用指数函数的 单调性进行比拟；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，那么需要 引入中间量 进行比拟；4. 对多个数进行比拟，可用0或1作为中间量进行比拟 底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(4, + *)上是单调函数，所以它 存在反函数，

3、我们把指数函数y=ax(a>0, a 1)的反函数称为对数函数，并记 为 y=logx(a>0, az 1).因为指数函数y=ax的定义域为(亠，+ *)，值域为(0, +*), 所以对数函数y=logax的定义域为(0, +*)，值域为(-*, +*).2对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为 反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画 岀对数函数的图像，并推知它的性质为了研究对数函数 y=logax(a>0, a工1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2X, y=log 10X, y=log iox,y=log 1 x,y=log 1 x 的

4、草图2To由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数 函数y=logax(a>0, az 1)的图像的特征和性质.见下表.图 象a> 1av 1性质(1)x > 0当x=1时，y=0(3)当 x> 1 时，y>00v xv 1 时，yv 0(3)当 x> 1 时，yv 0 0vxv1 时，y>0在(0,+ *)上是增函数在(0, +* )上是减函数补 充 性 质设 yi=logaxy2=logbx 其中 a> 1, b> 1(或 0v av 10 v bv 1)当x> 1时“底大图低即假设a>b那么y1>y2

5、当0vxv 1时底大图高即假设a>b,那么y“>y2比拟对数大小的常用方法有：(1) 假设底数为同一常数，那么可由对数函数的 单调性直接进行判断.(2) 假设底数为同一字母，那么按对数函数的单调性对底数进行分类讨_ aIVi论.(3) 假设底数不同、真数相同，那么可用 换底公式化为同底再进行比拟.(4) 假设底数、真数都不相同，那么常借助1、0、-1等中间量进行比拟.3指数函数与对数函数比照名称指数函数对数函数一般形式xy=a (a>0, a 1)y=logax(a>0, a 1)定义域1(X, +x)(0, + x )值域(0, +X)(X, +X)函 数 值 变 化

6、 情 况当a> 1时，当Ov av 1时，当a> 1时当Ov av 1时，门1单调性当a> 1时，ax是增 函数；当Ov av 1时，ax是减函数.当 a> 1 时，logax是增函数；当Ov av 1时， logax是减函数.图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.幕函数幕函数的图像与性质幂函数y=xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取 按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y=xn，当n z,1,1"的2 3图像和性质，列表如下.I I从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1 ，除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任

7、何幕函数图像都不过第四 象限. "1,2,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,=上是增函数.32 -j,-1, -2时，幂函数图像不过原点且在0：上是减函数. 何两个幕函数最多有三个公共点奇函数偶函数非奇非偶函数x1'i, _ ' f/定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象 限的增减 性在第I象限单-调递 增在第 I象 限单 调递 增在第 I象 限单 调递 增在第 I象 限单 调递 增在第 I象 限单 调递 减O幂函数八 X . R, ：是常数的图像在第 一象限的分布规律 是： 所有幂函数x R '是常数的 图像都过点；i 当:j,2,込时函数的图像都过

8、原点 0,0； 当*时，的的图像在第一象限是第一象限的分线如C2； 当。=2,3时，yM的的图像在第一象限是凹型曲线如1 当石时，心的的图像在第一象限是凸型曲线如 当«-1时,7的的图像不过原点0,0,且在第一象限是“下滑曲线 如 C4当0时，幂函数八x有以下性质：1图象都通过点0,0，“；2在第一象限内都是增函数；3在第一象限内，1时，图象是向下凸的；。J时，图象是向上凸 的；4在第一象限内，过点1后，图象向右上方无限伸展。当：0时，幂函数有以下性质：1图象都通过点；2在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；3在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地 接近；4

9、) 在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。Of 无论取任何实数，幕函数y卞的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数函数y = ax ? (a>0,b>0)叫做对号函数，因其在(0，+比)X的图象似符号“2而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，I 'I当X>0时，ax b_2,b (当且仅当ax = b即x=：b时取等号)，由此可得x ax a函数y=ax b (a>0,b>0,x 哎)的性质:X当x=艮时，函数y = ax+b (a>0,b>0,x 目)有最小值2少， ax 、 a特别地，当a=b=1时函数有最小值2

10、。函数y = ax b (a>0,b>0 )在 x区间(0，；：)上是减函数，在区间(a，+*)上是增函数。因为函数y=ax b ( a>0,b>0 )是奇函数，所以可得函数y=ax bxx(a>0,b>0,x R)性质：当x = -J|时，函数y=ax+? (a>0,b>0,x R )有最大值-2占， 特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数y=ax b (a>0,b>0)在 x区间(-，- b )上是增函数，在区间(-'，0)上是减函 a、a奇函数和偶函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f( - x)

11、=-(X)那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个X值，都有f( - x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数.说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的假设干区间时，才有可能是奇(2) 判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断 f(x) 是不易的为了便于判断有时可采取如下方法：计算 f(x)+f( x)， 视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便：f(x)(3) 判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值,当 XH 0 时，显然有 f( x)= f(x)，但当 x=0 时，f( x)=f(x)=

12、1， f(X)为非奇非偶函数.(4) 奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形.函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定 义出发来进行论证.例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+*)上是增函数，试判断 在(比，0)上的增减性.解设 x1，x2 ( x，0)，且 xlvx2v0那么有x1> x2> 0，Vf(x)在(0，+x)上是增函数，f( x1)>f( x2) 又T f(X)是奇函数，I f(X)= f(x)对任意x成立， = f(x1)> f(x2)二 f(x1) v f(x2) 二f(x)在(

13、比，0)上也为增函数.由此可得出结论：一个奇函数假设在(0, +)上是增函数，那么在 (X, 0)上也必是增函数，即奇函数在(0, +W)上与(比，0)上 的奇偶性相同.类似地可以证明，偶函数在(0, + X)和( X, 0)上的奇偶性 恰好相反.时，f(x)的解析式解T xv 0,一x>0.又 T f(x)是奇函数，二 f( x)= f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用I 1*| _. X / IJ、. 1 ./ z" s/ /./ I我们知道，如果对于函数y = f(x)定义域内任意一个x,都有f( x) = f(x)，那么函数y二f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y

14、轴对称，反之亦真.由此可拓广如下：如果存在常数a, b,对于函数y = f(x)定义域内任意一个x, a+x, b-x仍在刊 Irji定义域内，且f(ax)=f(b-x)T那么函数厂血)的图象关于直线沪丁对称；(这 样的函数我们不妨称之为广义偶函数)反之亦真4(a+b-x , f(x)，而 f(a + b x) = fa + (b x) = fb (b x) = f(x)，对称点 P'(a+b-x ,fg伯在函数日旧象上.的以函数厂旧的却象关于直澤=学齐祢.a. + b反之，如杲y二礙)的图象关于直线 对称，设P + & f(a + x)为图象上 任1点，贝陀关于直线X二邑J的对称点为P'(b-x, f(b-x)>因此，f(a + x) = f(b F以上拓广简记为：f(a +或二讹-刃O函