高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率—递推法解排列、组合、概率问题

1、高三理科数学一轮总复习第八章 统计与概率一递推法解排列、组合、概率问题一、an=pan-i+q 型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的1 1 2概率都是2,从开关第二次闭合起，假设前次出现红灯的概率是3出现绿灯的概率是3假设前次出现绿灯，那么32下次出现红灯的概率是 3,出现绿灯的概率是 2,记开关第n次闭合后出现红灯的概率为Pn55求：P2； (2)求证：Pn<2(n > 2； (3)求imPn.解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红13 7灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于

2、是P2=P1 3+(1 P1)3=175.35 15(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率 Pn,要考虑第n 1次闭合后出现绿灯的情况,有1Pn = Pn-1 3+(1 3Pn1) 5=43叭1+5，49再利用待定系数法：令Pn+x= 15(PnT + X)整理可得X=局99二Pn 19为首项为(P1亦)、4公比为(一)的等比数列Pn19=(P1-19)( - T5)n1=38(4、n-115)当n?2时,91 1Pn<+38=29由得nim Pn =19.【例2】A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规那么如下：假设掷出的点数之和为 3的倍数时，那么由原掷骰子的人继续掷；假

3、设掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第n次由A掷的概率为Pn,(1)求Pn ；求前4次抛掷中甲恰好掷 3次的概率.解析：第n次由A掷有两种情况： 第n 1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为12Pn 1；3612 第n 1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1 )(1 Pn-1). 两种情形是互斥的1212加12- Pn = 36Pn 1+(1 36)(1 PnT)(n > 2,)即 Pn= ?Pn-什?(n?2)c 111- Pn 2=尹-1 2 , (n > 2,)又 P1=11 1 1- Pn 2是以2为首项，一3为公比的等比数列.1 1 1 即

4、Pn=2+2( 3)n28.二、an+仁p an+f(n)型【例3】(传球问题)A、B、C、D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过 5次传球后， 球仍回到A手中，那么不同的传球方式有多少种？假设有 n个人相互传球k次后又回到发球人 A手中的不同传 球方式有多少种？分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但假设人数、次数较多时树形图法那么 力不从心，而建立递推数列模型那么可深入问题本质4人传球时，传球k次共有3k种传法设第k次将球传给A的方法数共有a«k N*)种传法，那么不传给 A 的有3k ak种，故a1=0,且不传给 A的下次均可传给 A,即ak+

5、1=3k ak。两边同除以3k+1 得3= 1 ak+3，ak111111 k-1令 bk=3，那么 3=0, bk+1 4= 3(bk 4)，那么 bk 4= 4( 3)k 1 3k 3-ak=4+3( - 1)k当 k=5 时，a5=60.(n 1)k n 1当人数为n时，分别用n 1, n取代3, 4时，可得ak=L + ( 1)k.nn '丿【例4】(环形区域染色问题)将一个圆环分成 n(n N* , n?3个区域，用m(m?3种 颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色， 但同一颜色可重复使用， 那么 不同的染色方案有多少种？分析：设an表示n个区域染色的方案数，

6、那么1区有m种染法，2区有m 1种染法， 3, , n 1, n区各有m 1种染色方法，依乘法原理共有m(m 1)n 1种染法，但是，区可能和1区染上相同的颜色.而n区与1区相同时，就是 n1个区域涂上m种颜色符合条件的方法n 1- an=m(m 1) an 1,且 a3=m(m 1)(m 2)an (m 1)n= an1 (m 1)n j16432621354an (m 1)n=a3 (m 1)'( 1)"'- an=(m 1)n+(m 1)( 1)n(n> 3)用这个结论解：2003年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6个局部如图，现要栽种 4

7、种不同颜色的花且相邻局部不能同色，由不同的栽种方法有种只需将图变形为圆环形，1区有4种栽法.不同的栽法数为N=4 a5=120.三、an+1=an f(n)型【例5】(结草成环问题)现有n(n N*)根草，共有2n个草头，现将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数分析：将2n个草头平均分成n组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数 m2=an. 将早头编号为1，2， 3， ， 2n 1, 2n.草头1可以和新草头3, 4, 5,2n 1, 2n共2n 2个新草头相连，如右图所示 .假设1和3相连，那么与余下共 n 1条相连能成圆环的方

8、法数为an 1.a n二 an=(2n 2)an-1, (n>2 n N*), a1=1，得2n 2an 1anan1an=an1 an2a2p 1 a1=(2n 2)(2n 4)2x 1=n21(n 1)! a1变式游戏：某人手中握有2n(n N*)根草，只露出两端的各自 2n个草头，现将两端的2n个草头各自随机平均分成n组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率分析：两端的2n个草头随机两个相连不同的方法数为N=( C2nC2n 2n!能够构成圆环的连接方法分两步:第一步，先将一端的2n个草头平均分成n组，每两根连接起来，得到n组草，认为得到n根新

9、草2 2 2连接方法数m1=C2第二步，将另一端的2n个草头平均分成n组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数m2=2n* n 1)!.信号源所求的概率Pn= Nm1m2 (n 1)!n!21(2n)!变式：(江苏)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否那么就不能接收到信号将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，那么这五个接收器能同时接收到信号的概率是(D)(A)45(B)丄(C)36(C) 15四、an+1=p an+q an1 型【例6】 某人玩硬币

10、走跳棋的游戏.硬币出现正反面的概率都是1，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站.一枚棋子开始在第 0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，假设掷出正面，棋 子向前跳一站(从k到k+1);假设掷出反面，棋子向前跳两站(从k到k+2),直到棋子跳到第99站(胜利大本营) 或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1) 求 Po、Pl、P2 的值；1(2) 求证:Pn Pn-1=-2(PnT - Pn-2),其中 n N, 2WK 99(3) 求玩该游戏获胜的概率及失败的概率(1)解：棋子开始在第 0站为必然事件，P0=1.1 1第一次掷硬币出现正面，棋子

11、跳到第1站，其概率为1，卩1=2棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：11前两次掷硬币都出现正面，其概率为才；第一次掷硬币出现反面，其概率为?证明：棋子跳到第 n(2箱w 99站的情况是以下两种，而且也只有两种：1 棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为1Pn-2；1 棋子先到第n- 1站，又掷出正面，其概率为*Pn-1.1 1Pn=2Pn-2+qPnT.1-Pn Pn- 1= 2(Pn-1 Pn-2).1 1解：由知当1 wnw 99时，数列Pn- Pn- 1是首项为P1-Po=-2，公比为一2的等比数列1f12f13f1 nP1 1 = 2， P2 P1 = ( 2 , P3 P2=( 2

12、,，P n Pn -1=(刁1 1 1以上各式相加，得 Pn- 1=(-刁+( - 了 +(-初,c1121 n 21n+1-Pn=1+(-2)+(-p 1 【例7】 从原点出发的某质点 M，按向量a=(0, 1)移动的概率为3按向量b=(0 , 2)移动的概率为-,设M可到达点(0, n)的概率为Pn1(1)求 P1 和 P2 的值；(2)求证：Pn+2 - Pn+1 = - §(Pn+1 - Pn) ； (3)求 Pn 的表达式.+(-2)n=3【1 -(-2)】(n=o，1, 2，99).2 1获胜的概率为P99=3【1 -100,1 12 111失败的概率已00=护98 = 2 £1 -(-捫=31+(捫.2217解析:(i)pi=3, p2=(3)2+3=9证明：M到达点(0, n+2)有两种情况：i 从点(0, n+1)按向量 1=(0, 1)移动，即(0, n+1) t(0, n+2)1 从点(0, n)按向量b=(0, 2)移动，即(0, n) t(0, n+2).2 1 Pn+2=§Pn+1 +3Pn1 pn+2 一 Pn+1 =一 3(P n+1 一 Pn)1数列Pn+1 Pn是以P2 P1为首项，3为公比的等比数列1 n1 1 1