电路ch12非正弦周期电流路和信号频谱

1、第十二章第十二章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路和信号的频谱和信号的频谱电路中的激励信号电路中的激励信号 周期信号周期信号 非周期信号非周期信号正弦周期信号正弦周期信号非正弦周期信号非正弦周期信号一、定义：一、定义：12.1 12.1 非正弦周期信号非正弦周期信号按非正弦规律变动的电源和信号按非正弦规律变动的电源和信号二、常见的非正弦周期信号：二、常见的非正弦周期信号：音频信号、脉冲信号音频信号、脉冲信号三、产生原因：三、产生原因：电路和元件的非线性；生产和科研的信号。电路和元件的非线性；生产和科研的信号。四、非正弦周期信号作用下的稳态解四、非正弦周期信号作用下的稳态解-谐波分析法：谐波

2、分析法：1)应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号压、电流或信号分解分解为一系列不同频率的正弦量之和为一系列不同频率的正弦量之和;2)根据线性电路的叠加定理，根据线性电路的叠加定理，分别计算分别计算在各个正弦量单独作在各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；3)把所得分量按时域形式把所得分量按时域形式叠加叠加，就可得到电路在非正弦周期，就可得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。激励下的稳态电流和电压。12.2 12.2 周期函数分解为傅里叶级数周

3、期函数分解为傅里叶级数1. 三角函数形式：三角函数形式：式中，式中，t为周期函数为周期函数f(t)的周期，的周期，k=0,1,2,3,当周期信号满足狄里赫利条件：在每个周期上满足当周期信号满足狄里赫利条件：在每个周期上满足(1)连续连续或有有限个第一类间断点；或有有限个第一类间断点；(2) 有有限个极值点，则有有限个极值点，则它就能它就能展开成一个收敛的傅里叶级数展开成一个收敛的傅里叶级数(此时它是三角级数此时它是三角级数)： kttftf .tksinbtkcosa.tsinbtcosatsinbtcosaa)t (fkk 1112121111022 一、周期函数的分解一、周期函数的分解对周

4、期性的信号，可以成：对周期性的信号，可以成： 1110kkktksinbtkcosaa ( 10-1 )式中式中 1为为f(t)的角频率，的角频率， 1=2 /t( 10-1 )经三角变换后可转换成经三角变换后可转换成另一种形式：另一种形式： .tkcosa.tcosatcosaa)t (fkkmmm 121211102 110kkkmtkcosaa ( 10-1 )和和( 10-2 )中系数称为傅里叶系数，中系数称为傅里叶系数，各系数关系为：各系数关系为： 00aa 22kkkmbaa kkmkcosaa kkmksinab kkkabarctan 谐波分析：谐波分析：式式( 10-2 )中

5、中第第1项项a0称为周期函数称为周期函数f(t)的的恒定分量恒定分量(或或直流分量直流分量)；上式第上式第2项称为项称为1次谐波次谐波(或或基波分量基波分量)，其周期与，其周期与f(t)相同；相同；其它各项称为其它各项称为高次谐波高次谐波，即，即2次、次、3次次。( 10-2 )系数计算系数计算(也可通过查表也可通过查表(p287)得出得出)： dttftdttftattt 220011 tdtkcostftdtkcostfdttkcostftdttkcostftatttk111120122101122 tdtksintftdtksintfdttksintftdttksintftbtttk11

6、1120122101122 可见，一个周期函数可以展开成三角级数形式。这种数学可见，一个周期函数可以展开成三角级数形式。这种数学表达式详尽，准确，但不直观。表达式详尽，准确，但不直观。2. 频谱图频谱图为表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含那些分量以为表示一个周期函数分解为傅里叶级数后包含那些分量以及各分量所占比重，用长度和各次谐及各分量所占比重，用长度和各次谐 波振幅大小相对应波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，所得到的图形，称为频谱图。因只表示各谐波分量的振幅，所以的图形，称为频谱图。因只表示各谐波分量的振幅，所以

7、称为贴身睛度频谱。由于各谐波的角频率是称为贴身睛度频谱。由于各谐波的角频率是 1的整数倍，的整数倍，所以这种频谱是离散的。所以这种频谱是离散的。akm 12 13 14 15 1k 1o二、利用函数波形的对称化简系数二、利用函数波形的对称化简系数周期函数常常具有对称性，其傅里叶级数中不含某些谐波，周期函数常常具有对称性，其傅里叶级数中不含某些谐波，利用函数的对称性，可使系数利用函数的对称性，可使系数a0、ak、bk的确定简化。的确定简化。1. 偶函数偶函数 tftf to2t 2tf(t)to2t 2tf(t)偶函数有纵轴对称的特点，即偶函数有纵轴对称的特点，即对所有的对所有的k，b bk k

8、=0=0 dttkcostftatk1204 此时此时 110kktkcosaatf 2. 奇函数奇函数 tftf 奇函数有原点对称的特点，即奇函数有原点对称的特点，即对所有的对所有的k，ak=0to2t 2tf(t)to2t 2tf(t) dttksintftbtk1204 此时此时 11kktksinbtf 3. 奇谐波函数奇谐波函数 2ttftf奇谐波函数有镜对称的特点，具有这种性质的函数的正半奇谐波函数有镜对称的特点，具有这种性质的函数的正半波无论是后移或前移半个周期都与负半波互成镜像。其数波无论是后移或前移半个周期都与负半波互成镜像。其数学表达式为学表达式为对所有的对所有的k，a2k

9、= b2k=0 a0=0to2tf(t)t不包含直流分量和偶次谐波分量。不包含直流分量和偶次谐波分量。4. 函数的对称性与计时起点的关系函数的对称性与计时起点的关系在傅里叶级数中，在傅里叶级数中，akm与计时起点无关，而与计时起点无关，而 k与计时起点与计时起点有关，由于系数有关，由于系数ak和和bk与初相与初相 k有关，所以它们也随计时有关，所以它们也随计时起点变动而变动。起点变动而变动。由于系数由于系数ak和和bk与初相与初相 k有关，所以函数的奇偶性质就可有关，所以函数的奇偶性质就可能与计时起点的选择有关，如方波函数的波形，就可因选能与计时起点的选择有关，如方波函数的波形，就可因选择的起

10、点不同，函数的奇偶性质也不同。奇谐波函数与计择的起点不同，函数的奇偶性质也不同。奇谐波函数与计时起点无关。因此对某些周期性函数可以适当选择计时起时起点无关。因此对某些周期性函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅里叶的系数计点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅里叶的系数计算。算。12.3 12.3 有效值、平均值、平均功率有效值、平均值、平均功率设一非正弦周期电流设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数可以分解为傅里叶级数一、有效值一、有效值任一周期信号任一周期信号f(t) 的有效值的有效值f定义为：定义为： 110kkkmtkcosiii tdttftf021def

11、将将i 带入有效值公式带入有效值公式 tkkkmdttkcosiiti021101 求得求得 i 的有效值为：的有效值为： 1220222120kkii.iiii即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各谐即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各谐波有效值的平方之和平方根。波有效值的平方之和平方根。依此可求得正弦电流的平均值为依此可求得正弦电流的平均值为二、平均值二、平均值任一周期电流任一周期电流 i 在电工中的平均值在电工中的平均值iav定义为：定义为： 40400441tmtmtmavtsintidttcostidttcositi tavdtiti01defi.i.m898063

12、70 因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值，所以其平均值相当于正弦电流经全波整流后的平均值，所以其平均值相当于正弦电流经全波整流后的平均值。值。三、测量正弦周期信号的有关量时，应选择适当的仪表三、测量正弦周期信号的有关量时，应选择适当的仪表对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。用时，会得到不同的结果。用磁电系仪表磁电系仪表(直流直流)仪表测量，仪表测量，所得结果是电流的所得结果是电流的恒定分量恒定分量；用；用电磁系仪表电磁系仪表测得的结果为测得的结果

13、为电流的电流的有效值有效值；用全；用全波整流仪表波整流仪表测量时，所得结果为电流测量时，所得结果为电流的的平均值平均值。因此在测量非正弦周期电流和电压时，应注意。因此在测量非正弦周期电流和电压时，应注意选择合适的仪表。选择合适的仪表。四、非正弦周期电流电路的平均功率四、非正弦周期电流电路的平均功率任意一端口的瞬时功率任意一端口的瞬时功率(吸收吸收)为：为： 110110kikkmkukkmtkcosiitkcosuuuip 平均功率平均功率(有功功率有功功率) 为：为： tpdttp01则有：则有：.cosiu.cosiucosiuiupkkk 22211100式中：式中：ikukkkmkkm

14、k,ii,uu 22即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。率的代数和。考虑非同频的电压谐波和电流谐波只形成瞬时功率而不形考虑非同频的电压谐波和电流谐波只形成瞬时功率而不形成平均功率，成平均功率，12.4 12.4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 将给定的非正弦周期信号将给定的非正弦周期信号分解成傅里叶级数，看分解成傅里叶级数，看作是各次谐波串联的结果；作是各次谐波串联的结果；非正弦周期电流电路的分析计算方法基于正弦交流电路的非正弦周期电流电路的分析计算方法基于正弦交流电路的相量法叠加定理，即谐波分析法，

15、可归结为三个步骤：相量法叠加定理，即谐波分析法，可归结为三个步骤：2. 应用相量法分别计算各次谐波单独作用时所产生的响应用相量法分别计算各次谐波单独作用时所产生的响应；应；3. 应用叠加定理将所得各次响应的解析式相加，得到用应用叠加定理将所得各次响应的解析式相加，得到用时间函数表示的总响应。时间函数表示的总响应。1. 电感、电容元件对不同频率的谐波分量有不同的感抗电感、电容元件对不同频率的谐波分量有不同的感抗和容抗，如设基波角频率为和容抗，如设基波角频率为 ，对，对k次谐波有：次谐波有：在计算时注意：在计算时注意：1kllkxlk 111cckxkckx 对直流分量，电感视作短路，电容视作开路

16、。对直流分量，电感视作短路，电容视作开路。2. 求最终响应时，一定是在时域中叠加各次谐波的响应，求最终响应时，一定是在时域中叠加各次谐波的响应，若把不同次谐波正弦量的相量进行加减是没有意义的。若把不同次谐波正弦量的相量进行加减是没有意义的。3. 非正弦周期电压、电流、平均功率与各次谐波有效值非正弦周期电压、电流、平均功率与各次谐波有效值和平均功率的关系为：和平均功率的关系为：.cosiu.cosiucosiuiupkkk 22211100.iiii 222120.uuuu 222120例例12-2 。和和电电阻阻吸吸收收的的平平均均功功率率求求电电流流。输输入入电电源源为为，图图示示电电路路中

17、中，p971157202052828313474014110459c13r111111iv.tcos.tcos.tcos.tcos.tcos.u.s 解：解：则电路中的电流相量表达式为：则电路中的电流相量表达式为：+-usirc ckjruiksmkm11 式中，式中，im(k)为为k次谐波电流的振幅。根据叠加定理，次谐波电流的振幅。根据叠加定理，按按k=0,1,2顺序，逐一求解：顺序，逐一求解：已知已知 1为基波频率，设为基波频率，设k为谐波次数，为谐波次数， 作作用用下下，响响应应为为即即在在基基波波时时，当当v.ksm 04141u 11+-usirc 响响应应时时，当当 0134733

18、v.uksm 当当k=0时，即直流分量时，即直流分量u0=11v作用下，电容相当于开路，电作用下，电容相当于开路，电 感相当于短路，则感相当于短路，则i0=0，p0=0 a.a.jv.im 397226144593041411 a.tcos.i 3972261411 w.ripm0230521211 a.a.jv.im 44683101533013473 a.tcos.i 4463831013 w.ripm9317521233 w.p,a.im5295213298755 同理求得：同理求得： w.p,a.im5556232414677 w.p,a.im6036291994499 最后按时域形式

19、叠加：最后按时域形式叠加： a.tcos.tcos.tcos.tcos.i 232471462132598744638310397226141111 w.p.pppp806699310 分析：分析：从本例可看出，从本例可看出，us各次谐各次谐 波的振幅与波的振幅与k成反比衰减，电成反比衰减，电路输入阻抗的虚部也与路输入阻抗的虚部也与k成反比减小，所以各次谐波的电流振成反比减小，所以各次谐波的电流振幅误差非常缓慢。幅误差非常缓慢。例例12-3波波分分量量。求求负负载载两两端端电电压压的的各各谐谐。正正弦弦全全波波整整流流波波形形。设设为为负负载载电电阻阻，图图示示电电路路中中，vu, s/rad,hlm157314u,2kr f10c 51s 解：解：从表从表12-1中查得中查得us的傅里叶级数为：的傅里叶级数为： .tcostcosus11415123121