高中数学三角形四心的一种向量表示doc

1、二角形四心的一种向量表示D，连结记：BO并延长交CA 于 E,uur,BD tB连结CO并延长交ABuuuAFuuutAB FBuuirC DC ,uuu CEuiutCA EA ；uuuuuu uuuuuruuuuuuAEt ACEC , CD tCB DB,AEt ACEC ;且有: tAB tBAtAC tCAtBC tCB1uuiruuruuruuuuuiruuu记：AOa AD,BObBE ,COcCF引理1线段的定比分点的向量关系式于F。山西大同机车中学 李学军几个记法：在 ABC中，0是其内部不包括边界一点，连结OBAFAO并延长交BC于C(1)uurAD1 uuu AB1tBC

2、tBC uur厂BC-acLbc(1.1.1)；uuuBEuuu1 BC1 tCAtcA1tCAuuuBA ；(1.1.2)uuuCFuur CA tABt uuucB。1 tAB(1.1.3)(2)假设AFAB AB，BD BC BC , CEcaCa，mrUUUuuurAD(1bc ) ABBC AC(1.2.1)；ULUuuruuuBE(1ca) BCca BA ;(1.2.2)uuuULUuurCF(1AB )CAAB CB °(1.2.3)证明:只证明1.1.1 ),其它同理。uuruuuuuuuuuuuuuuu那么有:uuir BDuuirt BC DCuuu BDuuu

3、BC那么有tBC nBCuur uuu umr AD AB BDuuu t uuuAB BBC1 tBCuuu t umr uuu AB 汁(AC AB)1 tBCuuutuur AB匹 AC1 tBC1 tBCuur引理2. AOtABuurAB 1tABtACtACuuurAC 1(2.1.1)tABtACtABtACAtABtAC1(2.1.2)uuuuuruuuBO* BCBC* BABA(2.2.1)tBCtBA1tBCtBA1tBCtBA(2.2.2)BtBCtBA1uuruuuuuuCOkCACAkCBCB(2.3.1)tCAtCB1tCAtCB1tcAtcBCtcAtcB1(2

4、.3.2)且有ABC2(2.4)证明：uiuruur点B、0、E共线,且BObBEuuiruuuuuuuuuuuir AO (1b)ABBAE(1b)ABACB 1tAC-ACtuiruuu同理，点C、0、F共线，且COcCFUULT二 AOUULT c)ACUULTcAF(1UULT c)ACUUUd ABtABUUUAB (11 tABtABUULT c)ACtABt AC解得:代入得:UULTAO (111 tABUUU)AB1 tAB又由引理1:UUU1ABmuAD1ULUT1ABtBCUULT , UULTAO与 AD共线得:由塞瓦定理得：tBCtCA tAB由得A BtABC 1

5、t111 tABtACAB tACtABtACtAC!tACUULT1ACtBC1 tBCmurACtBCuuurACtAB (1 tBC )tAB tACIac;代入上式得:tAB1 tACtABtactAB tACtACAB tAC1 tABtAC1 tAB式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。UULTAO定理1.假设O是三角形 ABC的重心，那么1 UUU1ab1 UULTUJIT1 AC，且 AO2 UULT舟ad.当O为三角形ABC的重心时，有tAB1，代入引理2可得。定理2.假设O是三角形 ABC的内心，贝UUULTAOUULTAC ,uuir

6、 AD .UULT且AObc当O为三角形ABC的内心时，内三角形的内角平分线定理，有tAB b,tAC -，代入aa引理2可得。定理3.假设O是三角形 ABC的垂心，那么：UULTUUUUUITAO cot A (cotC AB cotB AC).(3.1)O为三角形 ABC的垂心时，有:tABbcosA t acosB,tAC臨，代入引理2 有:UULTAObcosA acosB bcosA ccosA a cosB acosCUUU -AB 1ccosAa cosC bcosA ccosA a cosB acosCUUU -AC =1bcos AcosC acosB cosC bcos A

7、cosCccosAcosBUUUABccosAcosB acosB cosC bcosA cosCccosAcosBUUUACUULT且AOcosA Ad sin BsinC证明：当三角形不为直角三角形时再由正弦定理得：a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2Rsinc代入上式，分子、分母同除以2Rsi nAsi nBs inC,口UUUUUUUUUurnrAOcosA ADD sin Bsin C可得：AO cot A cotC AB cot A cotB AC。把擁"證，代入引理2整理得: 假设三角形为直角三角形，当A为直角时，ABC的垂心即为点uultA，所以AO0，而 c

8、otA= 0，故(3.1)成立当B为直角时，ABC的垂心即为点UULTB，AOUUUAB，cotB=0, 3.1成立;当C为直角时，ABC的垂心即为点UULTC，AOUULTAC，cotC= 0， 3.1成立。UUUUUUUULT T引理 3.OA tAB OB tAC OC 0于是有：tAB、，tAC 1tABtABtAC tAC1tABXtABtAC1tACy tABtAC1tAB1tABtAC1tAC 1J tAC1tABx(tAC1)y tABXab即：八解得：tACX tACy(tAB1)ytACuuuuuiruuur OAt ABOBt ACOC0uun证明：由引理2: OAt A

9、BtACuuu -AB 1tABtACLuur-AC1uuuOBtBCuuu1BCtBAtBCtBA1 BCtBABCtBCtBAuuur1(ACuuuAB)厂一tBCtBAtBCuurA A QtBCtttBAtBAtBCtBAtBC tBA 1uurBAuuu1AB=(uuur1AC由前边的记法及由塞瓦定理得:tBA1tAC1 AC代入上式得:tcAtABtABuurtAC 1LuuACuuurOBACABACtAB tAC 1tAB tAC1umr同理：OCabuuu AB如 1 “ACtAB tAC1Ab tAC 1由平面向量的根本定理，可设uur uuu uuu OA xOB yOC

10、uuu uuu uiur r定理4. O是三角形ABC的重心的充要条件是：OA OB OC 0 。证明:必要性：假设 O是厶ABC的重心，那么tAB tAC1由引理UUU 3得OAUUL OBUULT TOC 0UUT UUU UUT TUUU UUUIUITUULT充分性：由OA OB OC 0得：OA OB2OFOC其中F是AB的中点点O、C、F共线，即点O在中线CF 上;同理，点O在中线AD、BE上， OABC的重心。UULUUTUULTr定理5. O是三角形ABC的内心的充要条件是:aOAb OB cOC0其中a、b、c分别是角A、B、C的对边。 证明：必要性：/ O是三角形ABC的内

11、心，由内角平分线定理 t b t c"tAB a,tAC a，UUL h UUU Q LULT r由引理3得：OA -OB -OC 0a auuu uuuluit r即：a OA b OB c OC 0UlIDUlID充分性：由a OA b OBnir c OC变形得:UUlULU UUlHIUa OA b (OA AB) c (OAmrAC)nir(a b c) AOuuuUrnb AB c ACuuluuirbc(-ABACF)|AB| |AC|由向量加法的平行四边形法那么，点O在角A的平分线上；同理，点O在角B和角C的平分线上，点O是厶ABC的内心。uuluulnirr定理6.

12、 O是三角形ABC的垂心的充要条件是：ta nA OA ta nBOBta nCOC0。6.1注：当三角形不为直角三角形时成立。假设三角形为直角三角形，可把结论改为：UUUsin AcosB cosCOAuurcosAsin B cosCOBuuir rcosAcosBsin COC = 0。(6.2)事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。 证明：必要性：当三角形不为直角三角形时/ O是三角形 ABC的垂心.tbcosA tccosA Laba cos B , ACacosC '由引理uuu3可得OAbcosALJBccosAunr r OC 0a cosBacosCuuuuuru

13、uir r即：acosBcosCOA bcosAcosCOB ccosAcosBOC 0再由正弦定理得：a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2Rsinc代入上式，然后两边同除以2RcosAcosBcosCuuuuuu得：tan A OA tanB Obuur rtanC OC 0当三角形为直角三角形时，经验证，6.2成立。充分性：假设三角形不为直角三角形uuuuuruur变形得：unruuuuuu(tan A ta nB tanC) AO ta nB AB ta nC AC0uuu 即：AOtan BtanA tanB tanCuuuABtanCtan A tanB tanCuurACu

14、ur1 uuu由引理1 得: AD1AB1 tBCtBC1tBCuuuAC =-1uuu AB ccosBbcosCccosBuuu bcosC ac 1 ccosB bcosCbcosCbcosC ccosBuuuABccosBbcosC ccosBumrAC由正弦定理得:a 2Rsi nA,b2Rsin B,c 2Rsinc由 tan A OA tanB OB ta nC OCsin C cosBsin BcosC sin CcosBuuuAC上式化为sin BcosC absin BcosC sin CcosBsin BcosC 趙 sin CcosB AC si nAsi nAtan

15、B而 tan A tanB tanC sin Asin BcosC(ta nA tanB ta nC)cos BcosCsin AtanCtan A tan B tanC sjn Asin C cosBtan A tanB tan Ccos BcosCsin Auuir uur AO与 AD共线，即点O在BC边的高线上；同理，点O也在CA、AB边的高线上， - O为O是三角形 ABC的垂心。假设三角形为直角三角形，uuu r当A为直角时，点A即为三角形的垂心。6.2化为：OA 0,即O与A重合，所以O为三角形的垂心。对B和C为直角时，同时可得。定理7. O是三角形ABC的外心的充要条件是：uu

16、uuuuuuur rsin 2AOA sin2BOB sin2COC 0 7.1证明此定理需要下面的引理：引理4.如图2:在厶ABC中，D、E、F分别是边 BC、CA、AB的中点，假设 O是厶ABC的外心，贝U O是厶DEF的垂心。证明：/ D、E、F分别是BC、CA、AB的中点 EF / BC, FD / CA, DE / AB,/ OAABC的外心， OD 丄 BC OD 丄 EF ,同理：OE丄FD , OF丄DE , ODEF的垂心。逆定理：如图3 :设O是厶ABC的垂心，过点 交于D、E、F三点，贝U O是厶DEF的外心。 证明：/ EF / BC, FD / CA, DE / AB

17、,四边形ACBF、ABCE分别是平行四边形， AF = BC = AE，即A是EF的中点，同理，B是FD的中点，C是DE的中点，/ O是厶ABC的垂心， OA 丄 EF , OB 丄 FD , OC 丄 DE, OA=OB=OC , O是厶DEF的外心。定理 4 的证明： 必要性： O是厶ABC的外心， O是厶DEF的垂心， 当三角形不为直角三角形时uuur uuur uuur ruuur uuur uuur sin 2 AOA sin 2BOB sin 2COC由定理 7 得： tan D OD tanE OE tanF OF 0，又由 D=A ， E=B ，F=C 有：uuurtan A

18、0Duuurtan B 0Euuurtan C 0Fr0uuur uuur uuuruuuruuur uuur0C 0A ，uuuruuur0Auuur 20D OB OC， 20E20F0B ，uuuruuuruuur r代入上式整理得：(tan BtanC)0A (tanCtan A)0B (tan AtanB)0C 0 。把各切化弦可得：假设三角形为直角三角形，当 A 为直角时，有 sin 2A 0,sin 2B sin 2C ，而外心 O 为uuuruuurr uuur uuur uuurrBC 边的中点， OBOC0 ，所以sin 2AOAsin 2BOBsin 2COC0 。当B或

19、C为直角时，同理可证。充分性：当三角形不为直角三角形时uuur uuur uuur r由 sin 2 AOA sin 2BOB sin 2COC 0用二倍角公式将 sin2A、 sin2 B 、 sin2 C 展开，两边同除以 cosAcosBcosCuuur uuur uuur r可得： (tanB tan C )OA (tanC tan A)OB (tanA tan B)OC 0uuur uuur uuur uuur uuur uuur r是： tan A(OB OC) tanB(OA OC) tanC(OA OB) 0uuuruuuruuuruuuruuuruuur0A，uuuruuur

20、uuur如图 2： 20D0B0C ，20E0C20F0A0B，且 D=A，E=B，F=C，代入上式得：uuuruuuruuur rtanD0DtanE0Etan F0F 0 O是是 DEF的垂心，由引理4的逆定理，那么 0是厶ABC的外心。 当三角形为直角三角形时。uuuO为BC假设 A 为直角，有 sin2A 0,sin 2B sin 2C , (7.2)化为：OB边的中点，所以O为三角形的外心。当B或C为直角时，同理可证。定理8.假设 O是厶ABC的外心,AO、BO、CO的延长线分别交E、F。那么有:uurAOcosB2sin AsinCuuuABcosC ACC2sin Asin BurnrBOcos A B