高中数学_圆锥曲线知识点小结

1、?圆锥曲线?知识点小结、椭圆：1椭圆的定义：平面内与两个定点F2的距离的和等于常数大于| F_,F2 |的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2a IF1F2I表示椭圆；2a | F,F2 |表示线段F- F2 ； 2a |F1F2 |没有轨迹;2椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x轴上中心在原点，焦点在 y轴上标准方程2 2异討1(a b 0)2 2yx2 21 (a b 0)ab图形xPA v.AQ02/B1B1顶点A( a,0),A2(a,0)R(0, b),B2(0,b)A( b,0),A2(b,0)BJO, a),B2 (0,a)对称

2、轴x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a隹占八、八、F1( c,0), F2(c,0)£(0, c),F2(0,c)焦距| F1F21 2c(c 0) c2 a2 b2离心率ce -0 e 1离心率越大，椭圆越扁a通径2b22 过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段a2 23常用结论：1椭圆 笃 X- ia b 0的两个焦点为 £丁2，过F,的直线交椭圆于 A,B两 a b点，那么 ABF?的周长= 2 22设椭圆务 斗 1a b 0左、右两个焦点为，过F1且垂直于对称轴的直线a2 b2交椭圆于P,Q两点，_那么P,Q的坐标分别是 | PQ |二、双曲线:1双曲线的定义：平

3、面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于常数小于| F1F2 | 的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意:|PF1 | | PF2| 2a 与 | PF2 | | PF訂 2a ( 2a| F1 F2 |表示双曲线的一支。2a| F-|F2 |表示两条射线；2a | F1F2 |没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、标准方程图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x轴上2X2a2每 1(a 0,b 0) b中心在原点，焦点在 y轴上2 2iyx1oX(3)对称轴隹占八、八、Ai( a,0), A2(a,0)x轴，y轴；虚轴为Fi( c,0),F2(c,0)焦距

4、IF1F2I离心率C e(e渐近线yabX通径a2c(c 0)1)双曲线的渐近线:2y_b2求双曲线兰2a1的渐近线，可令其右边的 1为0,2b，离心率越大,2 b22即得2y_2X与双曲线-2a2厶 1共渐近线的双曲线系方程是b22y_Fi(0,a2 b2开口越大0)c), F2(0,c)o，因式分解得到冬y4等轴双曲线为x2y2t2，其离心率为,22 24常用结论：1双曲线 冷 厶 1ao,b 0的两个焦点为Fj, F2，过F1的直线交双曲线的a2b2同一支于A, B两点，贝U ABF2的周长= 2 22设双曲线 与 爲 "a 0,b 0左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直

5、于对称轴的 a2 b2直线交双曲线于P,Q两点，那么P,Q的坐标分别是 |PQ| 三、抛物线：1抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。2抛物线的标准方程、图象及几何性质：p 0焦点在x轴上,开口向右焦点在x轴上,开口向左焦点在 y轴上，焦点在 y轴上,开口向下标准方程图形顶点对称轴隹占八、八、离心率准线通径焦半径开口向上2x 2 pyF*，0F弓,02e 1pF0,专F0,卫2x卫x -Pp yy舟222p22|PF|y0| 1|PF | |x。|焦点弦焦准距四、弦长公式：|AB| 1 k2|xiX2I1k2.(XiX

6、2)24x1X2|A|其中，A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程2的判别式和x的系数求弦长步骤：1求出或设出直线与圆锥曲线方程；2联立两方程，消去y,得关于x的一元二2次方程Ax Bx C 0,设Ax1, y-j， Bx2, y2，由韦达定理求出x1 x2Cx1x2； 3代入弦长公式计算。A0,那么相应的弦长公法二假设是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程 Ay2 By Cy2)24y2注意1上面用到了关系式 区 x2 | . x1 x2 4x1 x2和1 A|/ 2厂y1y2、(y1 y2)4y1 y2|A|注意2求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长

7、，再求这边上的高点到直线的距离，但假设三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法一：1求出或设出直线与圆锥曲线方程；2联立两方程，消去y,得关于x的一元二次2B方程Ax Bx C 0,设Ax1, y1， Bx2, y2，由韦达定理求出x1 x2； 3设中A点MX。，y°，由中点坐标公式得 x0 ' x2 ；再把x xo代入直线方程求出y y2法二：用点差法，设 Ax1, y1，Bx2, y2，中点M x0, y0，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过 A B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,

8、 y0。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e 求e时，要注意椭圆离心率取值范围是 0< e< 1,而双曲线 离心率取值范围是e> 1例1：设点P是圆x2 y2 4上的任一点，定点 D的坐标为8, 0，假设点M满足uuur uuunPM解2MD 当点P在圆上运动时，求点 M的轨迹方程.umu，由PMUULU 2MD ,设点M的坐标为x, y，点P的坐标为x°,y°得x X0,y y° 28 x, y，即 X0 3x16,y02y 因为点P X0,y

9、6;在圆2 2x y4 上,所以X! 2y。4 .即2x2 2162y4,216y2 4，这就是动点 M的轨迹方程.29例3.健匱抚4話=【上有一点卩它到砸I帆左焦点兀的巨舉为&求AP空 的面轨.赂 由椭圆的定天T得|P£|亠|円；= 所以|昭|=12.| PR f 亠| PF： F 此耳 F _ 炉亠 I亍-2x|x|PF；|2乂的 127'*=22 那么t2Vr?.例2 :椭圆的两个焦点为5-2，0, 2,0且过点一2|，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为2 2笃占1a ba b0，由椭圆的定义可知:2a22 2 20 -.'

10、;；222。22 10a .10 又 c2,b26所以所求的标准方程为2 X10解法2 Q c 2,b24，所以可设所求的方程为2 X 2 a2y_a24点I，3代人解得:、10X2所以所求的标准方程为扁2 y6-4Wr 比 2*例4.过權圆£22=1<1. U 引厲弦討从 求強刖的屮点盯曲轨逝方捏94设(jrj) , St.习彷)*肋的111点M(旳y)*-Y =罚，町r y ="；乃T且4彳+=箔 4x? +9>?.-得 4(r -r;|jr +rj+ 9y+ v2)-0w所求的轨迹方程为 - $十g長却习题：1.椭圆长半轴与短半轴之比是 标准方程是()2

11、2(A) - + 匚=1535:3，焦距是8,焦点在x轴上，那么此椭圆的2 2乞+厶925)2X+25匚=192.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,(B)2 2x y 丿+ = 135那么椭圆的离心率是(C)(D)(A)(B)3(C)2(D)_333.椭圆x2+ 2y2=(A)焦点坐标m,(B)m无关的是()(C)焦距4.椭圆 mX+ y2 = 1那么以下与准线方程的离心率是 ，那么它的长半轴的长是(2(D)离心率(A) 1(B) 1 或 2(C) 25椭圆的中心为O,右准线的距离与长半轴的长之比是(左焦点为Fi,P是椭圆上一点，)(D) 1 或 1PF1O为正三角形，贝U P点到(A)3

12、 1(B) 33(D) 1x26.假设椭圆3m 122=1的准线平行于y轴，那么m的取值范围是m7椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2那么此椭圆的标准方程是。8.椭圆的中心在原点， 焦点在x轴上，假设椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又直线2x y 4=0被此椭圆所截得的弦长为，求此椭圆的方程。2e=2，长轴长为6,那么椭圆的方程是()。332 211曲线务+ L1与曲线x225 k2+ 丄 =1 (k<9)，具有的等量关系是9 k(A)有相等的长、短轴(B)有相等的焦距(C)有相等的离心率(D) 相同的准线12.椭圆4x2 + 1

13、6y2=l的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦点坐标13.两点 A( 3, 0)与 B(3, 0)，假设 |PA|+ |PB|=10,那么14.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为P点的轨迹方程是°4 O5，焦距为2 - 5，那么椭圆的5方程为15.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆1共焦点，并经过点 P(3, 2)，那么椭圆的方程为2 xy216. 在椭圆 +=1内有一点M(4, 1),使过点M的弦AB的中点正好为点 M，求弦AB4010所在的直线的方程。217. 椭圆+k 8y21=1的离心率e=,那么k的值是9-18.平面内有两个定点F1( 5, 0)和的轨迹方程是

14、(x2(A)162x(C)16)°2 红=1 (xw 4)9=1 (x> > 4)92F2(5, 0)，动点2(B) 92(D)P满足条件|PF1| |PF2|= 6，那么动点 P2J = 1(xw 3)16仝=1 (x> 3)916(A)2 2xy+ =1(B)2x +2y2=1或X2+L=13620362020362 22222(C)xy+ =1(D)x+y=1或X+ y=195955910.椭圆25x2 + 16y2=1的焦点坐标是()°133(A)(± 3, 0)(B) (±, 0)(C)(±,0)(D) (0,

15、77; 一320209.椭圆的对称轴是坐标轴，离心率2 219双曲线-L36491的渐近线方程是3649(B)丄±仝=0364920.双曲线X2 ay2= 1的焦点坐标是(C) X ± 2 = o (d)2X ± 丄=o6776)(B) ( 1 a , 0), ( ,1 a , 0)(A)( .1 a, 0) , ( 一 1 a, 0)2(D)0)21.设双曲线与 1b>a>0的半焦距为c,直线I过a, 0、0, b两点，原点到 b直线l的距离是c，那么双曲线的离心率是4(A) 2(B).3(C)2(D)2、332222.双曲线xy =1的离心率是。9

16、7x2+ y223,方程x=1表示双曲线，那么k的取值范围是3 k2k24. 双曲线4x2 =1的渐近线方程是。92 13(A) y= ± x ( B) y= ± x (C) y= ± x ( D) y= ± 6x3 6225. 假设双曲线与椭圆x2+ 4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是 x+，3 y=0 ,那么此双曲线的标准方程只能是(2122x +252(A)3626.和椭圆(B)O2y362 2計(C) x62J=± 112(D)2y362x , =± 1122-=1有共同焦点，且离心率为92的双曲线方程是。2 2 2 2

17、(A)宁-I (B)- £=14 14412(C)2红=11227.双曲线的两准线间的距离是它的焦距的那么它的离心率为28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，那么离心率e=。29. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 1, 3的等轴双曲线的方程是 30. 渐近线是x ± *=0,且经过P(6 2 8)的双曲线方程是 22<531. 和椭圆 + =1有公共的焦点，离心率 e=H 的双曲线方程是。94232. 59.实系数一元二次方程ax2+ bx+ c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。2 233

18、. 过双曲线 =1的左焦点Fi,作倾斜角为a=的直线与双曲线交于两点A、B,9164求|AB|的长。34. 抛物线y2=8x的准线方程是()。(D) y= 一 2A, B两点的横坐标分别是X1 和 X2 ,且 X1 + X2(A) x= 2( B) x=2( C) x= 435. AB是过抛物线y2= 4x焦点F的弦， =6那么|AB|等于()(A) 10( B) 8 ( C) 7( D) 636. 经过(1, 2)点的抛物线的标准方程是()(D) y2= 4x 或 x2= 4y11(A) y2= 4x(B) x2=y(C) y2= 4x 或 x2=y2237. 顶点在原点，焦点是 F(6, 0)的抛物线的方程是 38. 抛物线x2= 4y的焦点为F, A是抛物线上一点，|AF|= 4 + 2 2，贝V AF所在直线方程是。2x39, 抛物线y=的准线方程是()。811(A) y=-( B) y=2(C) y=-(D) y=432440. 点(一2, 3)与抛物线y2=2px (p>0)的焦点的距离是5 ,那么抛物