信号与系统连续时间信号的时域分析

1、1第2章 连续时间信号的时域分析2.5 2.5 信号的分解信号的分解2.4 2.4 信号的运算信号的运算2.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号2.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号2.1 2.1 信号的分类信号的分类本章小结本章小结22.1 2.1 信号的分类信号的分类5. 5. 一维（一维（1-D1-D）信号与多维（）信号与多维（M-DM-D）信号）信号4. 4. 因果信号与非因果信号因果信号与非因果信号3. 3. 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号2. 2. 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号1. 1. 确定性信号与随机性信号确定性信号与随机

2、性信号3 2.1 2.1 信号的分类信号的分类 对于各种信号，可以从不同角度进行分类。1、确定性信号确定性信号与随机性信号与随机性信号 对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应，这样的信号称为确定性信号。不可预知的信号称为随机信号。确定信号t随机信号的一个样本t4 2.1 2.1 信号的分类信号的分类2、周期信号与非周期信号、周期信号与非周期信号 在确定信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号。时间上不满足周而复始特性的信号称为非周期信号。周期信号周期信号tf (t)1非周期信号非周期信号52.1 2.1 信号的分类信号的分类3、连续时间

3、信号与离散时间信号、连续时间信号与离散时间信号 如果在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外），都可给出确定的函数值，这样的信号称为连续时间信号。 在时间的离散点上信号才有值与之对应，其它时间无定义，这样的信号称为离散时间信号。、幅度也不连续数字信号：时间不连续、幅度连续取样信号：时间不连续离散信号连续时间信号连续时间信号离散时间信号离散时间信号62.1 2.1 信号的分类信号的分类4、因果信号与非因果信号、因果信号与非因果信号 将 接入系统的信号（即在 时为零的信号），称为因果信号。反之，若 时不等于零的信号，则称为非因果信号。0t 0t 0t 5、一维（一维（1-D）信号）信

4、号与多维（与多维（M-D）信号）信号 如果信号只有一个独立的自变量， 这个信号就是一维信号，而如果信号的自变量不止一个，就是多维信号。72.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号5. 单位斜变信号单位斜变信号4. 复指数信号复指数信号3. 抽样函数抽样函数2. 正弦信号正弦信号1. 指数信号指数信号82.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号 下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。 1. 指数信号指数信号 指数信号的表达式为 ( )(2.21)tftA et0(0)tAe)(tf(0)tAe(0)tAeA92.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号常见的指数信号是单边指

5、数衰减信号，其表达式为 e0( )(2.22)00tAtf tt式中， 0。其波形如下图所示：1102.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号2. 正弦信号正弦信号 正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，统称为正弦信号，一般写作2( )sin()(2.2 3)f tAtAf(t)tT2112.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号 在信号与系统分析中，经常要遇到单边指数衰减的正弦信号，其表达式为 esin0( )(2.24)00tAttf tt其波形如下图所示：122.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号3. Sa(t)函数（抽样函数）函数（抽样函数） 所谓抽样函数是指s

6、in t与 t 之比构成的函数，以符号Sa(t)表示sinSa( )(2.2 5)ttt波形如图：132.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号 tSa 的性质： tSa （1） 是偶函数，在 t 正负两方向振幅都逐渐 衰减。Sa( )dtt0Sa( )d2tt （2） 142.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号4. 复指数信号复指数信号 如果指数信号的指数因子为复数，则称为复指数信号，其表达式为()( )cossinstjtttf tKeKeKetjKet 复指数信号概括了多种情况，可以利用复指数信号来描述各种基本信号，如直流信号 、指数信号 、正弦或余弦信号 ，以及增长或衰

7、减的正弦与余弦信号 。(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)152.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号11t0R(t)1t0t0R(tt0)t0+10( )(2.29)00ttR tt0000()(2.2 10)0ttttR tttt5. 单位斜变信号单位斜变信号 斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。其表达式为 162.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号3. 冲激偶信号冲激偶信号2. 单位冲激信号单位冲激信号1. 单位阶跃信号单位阶跃信号172.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续点或其导数与

8、积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。1. 单位阶跃信号单位阶跃信号10( )(2.3 1)00tu tt1t0u(t)工程中会不会出现工程中会不会出现 u（t）呢？请看下例：）呢？请看下例：182.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号如果开关S在t = t0 时闭合，则电容上的电压为u（t - t0) 。u（t - t0）波形如下图所示：u（t- t0 ）t01t0解：解：由于S、E、C 都是理想元件，所以，回路无内阻，当S 闭合后，C上的电压会产生跳变，从而形成阶跃电压。即：)(0100)(tutttvc例：图中假设例：图中假设S、E、C都是理想元件都是理想元

9、件（内阻为（内阻为0），当），当 t = 0 时时S闭合，求电闭合，求电容容C上的电压。上的电压。CSE=1V+-)(tvc192.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 u(t)的性质：的性质：单边特性，即：0)(00)()(ttfttutf 某些脉冲信号可以用阶跃信号来表示。 u(t)与与R(t)的关系：的关系：d ( )( )(2.33)dR tu tt ( )( )d(2.34)tR tu202.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号例例1：Et2)(tG212( )( )( ) ()()22G tf tf tE u tu t所以，矩形脉冲G(t)可表示为因为1(

10、)(),2f tEu t),2()(2tEutf2Et)(1tftE)(2tf2212.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号( ) ( )(1)f tt u tu t或： 1)sgn(21)(ttu例例2：f(t)011t011t)(1tf011t)(2tf例例3：利用阶跃信号来表示利用阶跃信号来表示“符号函数符号函数”（signum）sgn(t)01-1t1 0sgn( )10ttt2 ( ) 1u t222.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号2. 单位冲激信号单位冲激信号2t0)(tvc10 我们先从物理概念上理解如何产生冲激函数)(t(1)()(tti0td(

11、)( )dCvti tCt例：例：图中假设S、E、C都是理 想元件（内阻为0），当 t = 0时S闭合，求回路电流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V22t01i(t)232.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（i） 的定义方法的定义方法( ) t 这种定义方式是狄拉克提出来的，因此， 又称为狄拉克（Dirac）函数。)(t 同理可以定义 ，即)(0tt 000()0 ()(2.3 10)()d1ttttttt0（1）t)(0tt 0t（1）用表达式定义）用表达式定义( )0 (0)(2.39)( )d1tttt（1）)(tt0242.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激

12、信号(t)t(1)t212442001( )lim ()()(2.3 12)22tu tu t(2) 用极限定义用极限定义)(t我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义 。例如例如:（a）用矩形脉冲取极限定义252.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（b）用三角脉冲取极限定义t(1)(t)001( )lim(1) ()()(2.3 13)ttu tu t222t1262.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（ii） 冲激函数的性质冲激函数的性质00() ( )d( )(2.3 19)ttf ttf t000( ) ()( ) ()(2.3 18)f tttf tt

13、t( ) ( )(0) ( )(2.3 16)f ttft( ) ( )d(0)( )dt f ttftt综合式（2.3-17）和式（2.3-19），可得出如下结论： 冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。（1）取样特性）取样特性(0)(2.3 17)f)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf272.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号例：例：00() (2 )dtt u ttt000010tt0 ( )()djtetttt0001jtjtjttt teee 000(2 )()t tu

14、ttut)(t（2） 是偶函数，即 ( )()(2.320)tt（3）( )dt 00()d()ttu tt 0010tt( )(2.321)u t282.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号d( )( )du ttt00d()()du ttttt（1）)(tt01t0u(t)u(t)与 的关系：)(t)(tu( )dt 00()d()ttu tt 292.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号3. 冲激偶信号冲激偶信号 冲激信号的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 表示。( ) t)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0d ( )

15、ds tt21210t00302.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号)()(tt （1）冲激偶是奇函数，即00() ( )d( )t tf t tf t( ) ( )d(0)t f ttf （4） （2）0)(dtt)() 0()() 0()()(tftfttf（3） 冲激偶的性质冲激偶的性质312.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号积分积分积分求导求导求导)(tt00)(tt(1)(ttu0t)(tu01t322.4 2.4 信号的运算信号的运算5. 信号的卷积信号的卷积4. 信号的微分与积分运算信号的微分与积分运算3. 信号的反褶、时移、尺度变换信号的反褶、时移

16、、尺度变换2. 信号的乘法和数乘信号的乘法和数乘1. 信号的加减信号的加减332.4 2.4 信号的运算信号的运算 两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即12( )( )( )f tf tf t12( )( )( )f tf tf t或 两个信号的积仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之积，即)()()(21tftftf1. 信号的加减信号的加减2. 信号的乘法和数乘信号的乘法和数乘1( )( )f tKf t 信号的数乘运算是指某信号乘以一实常数K，它是将原信号每一时刻的值都乘以K ，即342.4 2.4 信号的运算信号的

17、运算3. 信号的反褶、时移、尺度变换信号的反褶、时移、尺度变换 （1）反褶运算）反褶运算( )( )f tft以以 t = 0为轴反褶为轴反褶f(t)t-111f(-t)t-111 （2）时移运算）时移运算)()(0ttftft00时，时，f(t)在在 t 轴上整体右移轴上整体右移t00时，时，f(t)在在 t 轴上整体左移轴上整体左移352.4 2.4 信号的运算信号的运算t0f(t)11t0f(t-t0)1t0t0 +10tf(t+t0)1-t0-t0 +1 （3）尺度变换运算）尺度变换运算)2()(tftf 压缩压缩 扩展扩展)2()(tftf-1 0 1tf(t)1f(2t)-1/2

18、0 1/2t1 -2 0 2t1)2(tf362.4 2.4 信号的运算信号的运算解法一：先求表达式再画波形。解法一：先求表达式再画波形。241230( 23)1 02310 231231ttftttt 及110( )101011ttf tttt 及例例2.4-1(4)：信号如下图所示，求信号如下图所示，求f(-2t+3)，并画出波形。，并画出波形。)(tf11t1372.4 2.4 信号的运算信号的运算324223112012ttttt 及( 23)ft132t12241230( 23)1 02310 231231ttftttt 及)(tf11t1382.4 2.4 信号的运算信号的运算3(

19、 )()( 2 )( 23) 2()2f tftftftft反褶尺度时移解法二：先画波形再写表达式。解法二：先画波形再写表达式。)(tf11t1)( tf 11t10)2(tf 1t2112( 23)ft132t12392.4 2.4 信号的运算信号的运算4. 信号的微分与积分运算信号的微分与积分运算例例2.4-2 求下图所示信号求下图所示信号f(t)的微分的微分 ,并画出并画出 的波形的波形。 ( )f t( )f tf(t)t110（-1）t110)(tf( ) ( )(1) ( )(1)ftu tu tttt 解：解：f(t) = t u(t) - u(t-1) ( )(1)(1)u t

20、u tt（1）微分运算）微分运算)(tf 信号的微分 （也可写为 ）表示信号随时间变化的变化率。d ( )df tt402.4 2.4 信号的运算信号的运算(2) 积分运算积分运算0)(1tf解解 : 1）当 t 1 时，110( )2d2ft 例例2.4-3 求下图所示信号求下图所示信号f(t)的积分的积分 ，并画出其波形。并画出其波形。( 1)( )( )tftfd所以所以( 1)( )2 ( )(1)2 (1)2( )2(1) (1)ftt u tu tu ttu ttu t412.4 2.4 信号的运算信号的运算5信号的卷积积分信号的卷积积分卷积积分定义为 1212( )( )( )(

21、)d(2.41)f tftfft例例2.4-4 已知 ，求 。12( )( ),( )e( )tf ttf tu t12( )( )f tft()0e()e( )ttu tu t ()1212( )( )( )()d( )e()dtf tftfftu t 解：解：()(1)1e()e(1)ttu tu t12( )(1),( )e( )tf ttf tu t12( )( )f tft例例2.4-5 已知，求 。 ()1212( )( )( )()d(1)e()dtf tftfftu t 解：解：422.4 2.4 信号的运算信号的运算( )( )( )(2.42)tf tf t00()( )(

22、)(2.43)ttf tf tt 由例2.4-4和例2.4-5可以推广出冲激函数与任何函数卷积的性质，即 卷积积分的物理意义、图解法计算及性质将在4.6节和4.7节中介绍。432.5 2.5 信号的分解信号的分解3. 正交函数分量正交函数分量2. 脉冲分量脉冲分量1. 偶分量与奇分量偶分量与奇分量442.5 2.5 信号的分解信号的分解奇分量定义为奇分量定义为)()(tftfoo1(1)(2) :( )( )()(2.55)2eftf tft1(1)(2) :( )( )()(2.56)2oftf tft任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，即任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，即( )( )(

23、 )(1)eof tftft)2()()()(tftftfoe1. 偶分量与奇分量偶分量与奇分量偶分量定义为偶分量定义为( )()eeftft452.5 2.5 信号的分解信号的分解)()(tftfo0)(tfe例例2:t11)(tft11)(tf例例1：1212462.5 2.5 信号的分解信号的分解2. 脉冲分量脉冲分量当 t = 0 时，对应的矩形脉冲为 )()()0(ttutufttttutuft)()()0(lim0ttft)()0(lim0 任意信号任意信号f(t)可以用一系列矩形脉冲相叠加的阶梯信可以用一系列矩形脉冲相叠加的阶梯信号来近似表示。这种分割方法称为纵向分割。号来近似表示。这种分割方法称为纵向分割。 tk ) 1(tt2tkt)(tf0)0(f)(tkf472.5 2.5 信号的分解信号的分解tt2t)(tf0tktk ) 1(tttktutktutkft) 1()()(lim0ttkttkft)()(lim0) 1()()(tktut