第10章第1课时两个计数原理

1、第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率第第1课时两个计数原理课时两个计数原理 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题一些简单的实际问题 请注意请注意 两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重要的地位因此它是高考中必考的一个知识点要的地位因此它是高考中必考的一个知识点 1分类计数原

2、理的推广分类计数原理的推广 完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方种不同的方法，在第法，在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有mn种不同的办法，那么完成这件事共有种不同的办法，那么完成这件事共有N_种不同的方法种不同的方法m1m2mn 2分步计数原理的推广分步计数原理的推广 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方种不同的方法，做第法，做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n步有步有mn种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有方法，那么

3、完成这件事共有N 种不同的种不同的方法方法m1m2mn 1教学大楼共有教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为层共有走法种数为() A6 B23 C42 D44 答案答案B 解析解析由一层到二层有由一层到二层有2种选择，二层到三层有种选择，二层到三层有2种选择，种选择，三层到四层有三层到四层有2种选择，种选择，由分步计数原理可知走法种数为由分步计数原理可知走法种数为238. 2已知已知1,2X1,2,3,4,5，满足这个关系式的集合，满足这个关系式的集合X共共有有() A2个个 B6个个 C4个个 D8个个 答案答案D 3若集合若集合

4、P1,2,3，Q2,3,4,5，定义，定义PQ(a，b)|aP，bQ，则集合，则集合PQ中元素的个数为中元素的个数为() A4 B6 C12 D20 答案答案C 解析解析确定集合确定集合PQ中元素中元素(a，b)需要分两步：需要分两步： 第一步：确定第一步：确定a，有，有3种不同方法；种不同方法； 第二步：确定第二步：确定b，有，有4种不同方法种不同方法 由分步计数原理可知元素个数有由分步计数原理可知元素个数有3412(个个) 选选C 4(2015衡水调研卷衡水调研卷)为了应对乌克兰危机，俄罗斯天然为了应对乌克兰危机，俄罗斯天然气公司决定从气公司决定从10名办公室工作人员中裁去名办公室工作人员

5、中裁去4人，要求甲、乙人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_ 答案答案182 5(2015上海普陀区期末上海普陀区期末)2015年上海春季高考有年上海春季高考有8所高校所高校招生，如果某招生，如果某3位同学恰好被其中位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取所高校录取，那么录取方法的种数为方法的种数为_ 答案答案168 例例1(1)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？共有多少个？ 【解析解析】方法一按十位数上的数字分别是方法一按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8

6、的情况分成的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是两位数分别是8个，个，7个，个，6个，个，5个，个，4个，个，3个，个，2个，个，1个个 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8765432136(个个)题型一题型一 两个计数原理两个计数原理 方法二按个位数字是方法二按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类，在每一类中类，在每一类中满足条件的两位数分别是满足条件的两位数分别是1个，个，2个，个，3个，个，4个，个，5个，个，6个，个，7个，个，8个，所以按分类加法计数原理共有

7、：个，所以按分类加法计数原理共有： 1234567836(个个) 【答案答案】36 (2)已知已知a1,2,3，b0,1,3,4，r1,2，则方程，则方程(xa)2(yb)2r2所表示的不同的圆的个数有所表示的不同的圆的个数有_ 【解析解析】a1,2,3，a有有3种方法，同理种方法，同理b的取法的取法有有4种，种，r有有2种，又只有种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，依次确定后，才能确定圆，共有共有34224个不同的圆个不同的圆 【答案答案】24 探究探究1利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定如题是分类

8、，还是分步，必须由题而定如(1)题中完成这件题中完成这件事分事分4类即可；类即可；(2)题中完成这件事，需分三步，这三步完题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终成后这件事才算告终(1)设设x，yN*，直角坐标平面中的点为，直角坐标平面中的点为P(x，y) 若若xy6，这样的，这样的P点有点有_个个 若若1x4,1y5，这样的，这样的P点又有点又有_个个 【解析解析】当当x1,2,3,4,5时，时，y值依次有值依次有5,4,3,2,1个，不个，不同同P点共有点共有5432115(个个) x有有1,2,3,4这这4个不同值，而个不同值，而y有有1,2,3,4,5这这5个不同值，共个不

9、同值，共有不同有不同P点点4520(个个) 【答案答案】1520思考题思考题1 (2)设集合设集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐标平面是坐标平面上的点，上的点，a，bM，P可以表示可以表示 平面上多少个不同的点？平面上多少个不同的点？ 第二象限内的多少个点？第二象限内的多少个点？ 不在直线不在直线yx上的多少个点？上的多少个点？ 【思路思路】要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标，可要确定平面上点的坐标，需确定横纵坐标，可分两步完成，需用分步计数原理分两步完成，需用分步计数原理 【解析解析】分两步：第一步，确定横坐标分两步：第一步，确定横坐标6种方法，第二种方法，第二步确定纵坐标有步

10、确定纵坐标有6种方法，根据分步计数原理得种方法，根据分步计数原理得N6636. 分两步；第一步确定横坐标分两步；第一步确定横坐标(小于小于0)有有3种方法；第二步种方法；第二步确定纵坐标确定纵坐标(大于大于0)有有2种方法，根据分步计数原理得种方法，根据分步计数原理得N326. 分两步：第一步确定横坐标有分两步：第一步确定横坐标有6种方法；第二步确定纵坐种方法；第二步确定纵坐标有标有5种方法根据分步计数原理得种方法根据分步计数原理得N6530. 【答案答案】36630 例例2(1)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊

11、羊、暖羊羊荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争只小羊要争夺夺5项比赛的冠军，则有项比赛的冠军，则有_种不同的夺冠情况种不同的夺冠情况 【答案答案】45 (2)5名旅客投宿到一个旅店的名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同个房间，问共有多少种不同的住店方法？的住店方法？ 【解析解析】安排第安排第1名旅客有名旅客有3个房间个房间(3种方法种方法) 安排第安排第2名旅客也有名旅客也有3个房间个房间(3种方法种方法)，. 共有共有3333335(种种)不同的住店方法不同的住店方法 【答案答案】35 探究探究2解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？怎解决计数问题时一定要明确

12、研究的对象是什么？怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住店法店法(1)三封信投入到三封信投入到4个不同的信箱中，共有个不同的信箱中，共有_种不同的投法种不同的投法 【解析解析】方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完成，故分三步：算完成，故分三步： 第一步，将第一封信投进信箱，有第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法种方法 第二步，将第二封信投进信箱，有第二步，将第二封信投进信箱，有4种方法种方法 第三步，将第三封信投进信箱，有第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法种方法 由分步计数原理

13、得共有由分步计数原理得共有44464种不同投法种不同投法 方法二：本题相当于方法二：本题相当于3个人住个人住4间店间店 【答案答案】64思考题思考题2 (2)动物园的一个大笼子里，有动物园的一个大笼子里，有4只老虎，只老虎，3只羊，同一只羊只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？ 【解析解析】方法一：因为方法一：因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑每只羊都可能被逐一考虑每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有种可能，按照分步

14、乘法计数原理，故有4444364种种 方法二：本题相当于方法二：本题相当于3个人住个人住4间店间店 【答案答案】64 例例3(1)(2013山东理山东理)用用0,1，9十个数字，可以组成十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为有重复数字的三位数的个数为() A243B252 C261 D279 【解析解析】由分步乘法计数原理知：用由分步乘法计数原理知：用0,1，9十个数十个数字组成三位数字组成三位数(可有重复数字可有重复数字)的个数为的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组，则组成有重复数字的三位数的个数为成有重复数字的三

15、位数的个数为900648252，故选，故选B. 【答案答案】B题型二题型二 两个原理的应用两个原理的应用 (2)7名志愿者中安排名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排动若每天安排3人，则不同的安排方案共有人，则不同的安排方案共有_种种(用数字作答用数字作答)【答案】140 探究探究3在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法可类的方法可能要运用分步完

16、成，而分步时，每步的方法可能会采取分类的思想求另外，具体问题是先分类后分步，能会采取分类的思想求另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不重不漏不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步分类，准确分步(1)某校开设某校开设A类选修课类选修课3门，门，B类选修课类选修课4门，一位同学从中共选门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门若要求两类课

17、程中各至少选一门，则不同的选法共有门，则不同的选法共有() A30种种 B35种种 C42种种 D48种种思考题思考题3【答案】A (2)若将字母若将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有法共有() A12种种 B18种种 C24种种 D36种种【答案】A 例例4如图，一个地区分为如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，种颜色可供选择

18、，则不同的着色方法共有则不同的着色方法共有_种种(用数字作答用数字作答) 方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力本题能较深刻地测试逻辑变化后，需要有敏锐的观察力本题能较深刻地测试逻辑思维能力思维能力 因区域因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑区域与其他四个区域都相邻，宜先考虑区域1有有4种涂种涂法若区域法若区域2,4同色，有同色，有3种涂色，此时区域种涂色，此时区域3,5均有两种涂均有两种涂法，涂法总数为法，涂法总数为432248种；若区域种；若区域2,4不同色，先不同色，先涂区域涂区域2有有3种方法，再

19、涂区域种方法，再涂区域4有有2种方法此时区域种方法此时区域3,5也也都只有都只有1种涂法，涂法总数为种涂法，涂法总数为4321124种因此种因此涂法共有涂法共有482472种种 【答案答案】72 探究探究4做为两个计数原理应用之一的做为两个计数原理应用之一的“涂色问题涂色问题”，曾是，曾是高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓若给一个各边不等的凸五边形的各边染若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有允许相邻

20、的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有_种种 【解析解析】方法一：如图，染五条边总体分五步，染每一方法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步边为一步思考题思考题4 当染边当染边1时有时有3种染法，则染边种染法，则染边2有有2种染法种染法 (1)当当3与与1同色时有同色时有1种染法，则种染法，则4有有2种，种，5有有1种，此时染种，此时染法总数为法总数为3212112(种种) (2)当当3与与1不同色时，不同色时，3有有1种，种，当当4与与1同色时，同色时，4有有1种，种，5有有2种；种；当当4与与1不同色时，不同色时，4有有1种，种，5有有1种则此时有种则此时有321(1211)18(种

21、种) 综合综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种种【答案】30 对于分类计数原理，要重点抓住对于分类计数原理，要重点抓住“类类”字，应用时要注意字，应用时要注意“类类”及及“类类”之间的独立性和并列性，对于分步计数原之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住理，要重点抓住“步步”字，应用时要注意字，应用时要注意“步步”与与“步步”之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理知识混合使用两个计数原理 1从从1到到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是的不同情形的种数是() A10B15 C20 D25 答案答案D 解析解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有有5525(种种) 2从集合从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A5 B4 C6 D8 答案答案D 3(2014安徽