空间向量数量积运算

1、1S FW= |F| |s| cos 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.空间向量数量积21)两个向量的夹角的定义:OABa a b b 32）两个向量的数量积注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.abA1B1BA4运算律是否成立(3)空间两个向量的数量积性质注：性质 是证明两向量垂直的依据；性质是求向量的长度（模）的依据；5练习运算(4)空间向量的数量积满足的运算律注意： 数量积不满足结合律即)()a bcab c （6课堂练习222222)()()( )3)()( )4

2、)( )a bcab cpqp qpqpqpq 135 7ABCD ABCD 4AB 3,5,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 8a b a b , a b 92答案答案4答案答案ABCD3.(课本第课本第99页第页第3题题)已知线段已知线段AB、BD在平面在平面 内内,BDAB,线段线段AC ,如果如果ABa,BDb,ACc,求求C、D间的距离间的距离. 222abc 第第3题题:12第第4题题:10综合综合分析分

3、析数形结合数形结合妙妙!1112逆命题成立吗逆命题成立吗? 另外另外, ,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, ,证两直线证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. . P O A la 解答解答13证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗?1

4、4 P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.15解答解答分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求

5、证: . lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理, ,有了有了!ye!ye!16lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解: 在在

6、 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: .lll 17答案答案1819答案答案202122 小小 结：结： 通过学习通过学习, ,体会到我们可以利用向量数量积解决立体体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：几何中的以下问题： 1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直