离散时间信号、系统和Z变换

1、本章主要学习： 时域离散信号的表示方法和典型信号; 线性时不变系统的性质及其因果性和稳定性; 信号的频域表示; 信号的抽样和恢复； Z变换第一章第一章 离散时间信号、系统和离散时间信号、系统和Z Z变换变换信号分类连续时间信号时域离散信号数字信号在连续时间范围内定义的信号，幅值可为连续数值，也可为离散数值；时间为离散变量的信号，幅值仍然是连续变化的；时间离散而幅值量化的信号；1.2 时域离散信号序列对连续时间信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到说明： xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字

2、序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。 对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。n),nT(x| )t (xanTtan取整数1.2 时域离散信号强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列值)等于信号的采样值，即： 序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。例如：公式法： 集合法： x(n)=xa(nT)， -nx(n)=1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0,4. 1 例：x(n)= 0.5 n=0和负整数。 y(n)= 0 n= (，0) 1 n取正整数。 2 n= 1, 1

3、.5, 2, , 判断两函数是否为序列？序列不是序列x(n) = cos(0.5n)1.2 时域离散信号1.2.1 常用的典型序列1、正弦序列如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么： 因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为x(n) = sin(n)称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，表示序列变化的速率，或表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。 xa(t)=sin(t) xa(t)|t=nT = sin(nT)x(n) = sin(n)表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系 T /fs为角频率，单位是弧度/秒。1

4、.2 时域离散信号2、实指数序列 如果|a| 1，则称为发散序列。其波形如图所示。 x(n)=anu(n)， a为实数1.2 时域离散信号复指数序列 式中：1)若A=1，=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： 2）若A=1， 0，x(n)为幅值递增的正弦信号； 若A=1， 0，x(n)为幅值递减的正弦信号；由于n取整数，下面等式成立：复指数序列具有以2为周期的周期性。 x(n) = Aesn=Ae(+j0)n0为数字域频率e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n) 指数信号0a 0a 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数

5、形式。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。0 0 K K0 OO( )etf tK表达式：直流(常数)0a 指数衰减指数增长( )f tt实际应用较多的是衰减指数信号：实际应用较多的是衰减指数信号：1通常把通常把 称为指数信号的时间常数，记作称为指数信号的时间常数，记作 ，代表代表信号衰减速度，具有时间的量纲。信号衰减速度，具有时间的量纲。 0 0e0ttf tt1( )0.368fe1.2 时域离散信号3、单位抽样序列d(n)：也称为单位脉冲序列公式表示：0n00n1)n(d101231n(n)( a )(t)t0( b )单位抽样序列单位冲激信号1.2 时域离散信号4、单位阶跃序

6、列u(n) (n)与u(n)之间的关系： u(n)01231n0n00n1)n(u公式表示：图形表示：类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)(n)= u(n) - u(n-1).)2() 1()()()(0nnnknnukdddd1.2 时域离散信号5、矩形序列RN(n)当N=4时，R4(n)的波形如图所示矩形序列可用单位阶跃序列表示： R4(n)01231nn01Nn01)n(RN其它N称为矩形序列的长度RN(n)=u(n)-u(n-N)1.2 时域离散信号6、周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： 则称序列x(n)为周期性序列。例：x(n)是周期为8的周期序列。 (

7、)sin()4x nn x(n)=x(n+N), -n1原信号被压缩0-12121原信号被扩展0|a|1，压缩，压缩a倍；倍； a0n0时向右平移时向右平移n0n0时向左平移时向左平移c c-1 -1mmf f2 2(n-m)(n-m)0 0n nn-1n-1)()(22nmfmnf随n取值不同，f2(n-m)出现在不同位置4) 相乘：将f1(m)和 f2(n-m)相乘1 12 2mmf f1 1(m)(m)c cmmf f1 1(m)f(m)f2 2(n-m)(n-m)0 0n nn-1n-15) 相加c c f f2 2(t-(t- ) )0 0t tt-1t-1c cmmf f1 1(

8、(mm)f )f2 2(n-(n-mm) )0 0n nn-1n-1阴影的面积，即阴影的面积，即g(n)g(n)的值，的值，是是n n时刻的卷积结果。时刻的卷积结果。12mf1(m)f1(m) f2(-m)m0c-1mf2(-m)0c1mf2(1-m)0f1(m) f2(1-m)m01c1mf2(2-m)0f1(m) f2(2-m)m02c3mf2(3-m)0f1(m) f2(3-m)m0g(n)n21c12mf1(m)12mf1(m)12mf1(m)cc作业线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下： x(n)*h(n) = h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n

9、) = (x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)h2(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）*两系统级联两系统并联3、线性卷积的性质( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nndd两个有用的公式：序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身00( )( )()( ) ()my nx nnnx mnnmdd00( )( )()( ) ()my nx nnnx mnnm

10、ddx(n- n0)序列与一个移位的单位取样序列(nn0)的线性卷积等于序列本身移位n01.3.4 系统的因果性和稳定性1、因果性定义1 ：当n0时,序列值恒等于零的序列称之为因果序列。定义2：系统的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性。定理：线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足： h(n)=0，n 0结论：因此，因果系统的单位取样响应必然是因果序列模拟非因果系统是不能实现的，对于有些数字非因果系统，利用系统中的存储性能，可以近似实现，只是系统的输出有延时。0121nx(

11、n)01 11nh(n)0121nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0121ny(n)3 1230121ny (n)323（ d ）（ e ）进行卷积计算先存储(延时一个单位)延时一个单位2、稳定系统 系统稳定的意义：关系到系统能否正常工作。定义1 ：若存在一个数M，对于任意n都满足|x(n)|M，称该序列有界。定义2：输入序列有界，能保证输出信号序列也有界的系统称为稳定系统。定理：LTI系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为： ( )nh n 【例】设线性时不变系统的单位取样响应h(n) = anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：1、因果性： 由于n 0时，h(n)=0，所以系统是因