解析几何简化运算的几种方法含答案

1、博文教育讲义课题：简化解析几何运算方法教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结教学重点：简化运算方法归纳教学难点：有关的规律总结与运用教学过程：解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运 算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化 甚至避免的。1. 回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的， 在分析求解时若考虑回

2、归定义，可以使许多问题化繁为简。例1过椭圆左焦点倾斜角为 60 '的直线交椭圆于点 A, B且FA =2FB，贝U此椭圆离心率为 '22x y _解析 本题的常规解法是:联立|必 任"1,再结合条件FA=2FB求解，运算量大，作为填空题,y =】3(x +c)不划算！如图1,考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： 111 AFFM = BB (AA -BB ) = (AA 2BB )=(竺 333 e另一方面，在 RtABCF 中 NBFC'=60°n BF =2FC，= fc*cm=既+理e 2BF BF,e 22e .3故FM1 AF3(7

3、2BF)=FMe又FA =2FB ,所以可得2 x 练习：设F1, F2是双曲线 a2y2 =1(a A0,b >0 )的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使(op+of2)f2p =0.(o为坐标原点)，且pf1=J3|pf2，贝u双曲线的离心率是()am.2B. .3 2D.、3 1【分析】根据向量加法的平行四边形法则,OP OF2=OQ,二OQ _L F2P且OQ必过F2P的中点.可知APF1F2为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令PF2 =r,则 PFi =归,，. 2a=(右1)r ,但是Nf1PF2=90：.pf；2

4、 + pf；2 = fF；F gj2 22r2 =4,得r =1.2. 活用几何性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为 复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质， 并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果例2已知点P到两定点M (1,0), N(1,0)的距离比为J2 ,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的 方程。解析 本题若按常规做法为：设P(a,b)，贝U PM的方程为y=(x+1),'a 1即 bx(a+1)y+b =0 ,于是2b-1 = NH =二

5、 22 一 a+1=±j3b.厂 |PM|V(a+1)2+b222 分又花=、(a 3)2 +b2 =8|PN|(a1)2 +b2将代入可得a = 2 ± /3 , b = ±(3 ±1).于是kpN因此直线PN的方程为y = ±(x_1).若能进一步观察题设条件：如图3,在RtAMNH中斜边MN =2，直角边NH =1可得 NHMN =30 '，在APMN中由正弦定理得M |=llsin .PNMsin ./PMNn sinNPNM =切讷30°=龙二 NPNM =45 或 135 =.PN2于是kPN =tanNPNM =

6、±1.因此直线PN的方程为y=±(x1).评注：本题为02年全国高考文科第 21题，分值为14分，重点考查学生通过联立消参解方程 组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出:运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以 达简捷解题之目的。练习：过圆C： x2 +y2 =R2内一定点M(x0,y。)作一动直线交圆C于两点P、R,过坐标原点O作直线ON± PM于点N过点P的切线交直线 ON于点Q,则OM OQ =【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又

7、有切线，容易构成直角 三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段【解析】如图4,连OP,则OH PQ.但是O(U PR于N,根据 y直角三角形的射影性质有：OQ MOP-_ 2,- OM OQ = OQ OM cosa = OQ ON = R即 OM OQ = R2.3. 数形结合对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。22例3、 a,b是已知椭圆 笔十% =1(ab >0止的两点，线段AB垂直平分线与 x轴交于点P(x°,0), ab22,22. 2a -ba

8、-b求证： 一:X0 :aa简析着眼于寻求“线段 AB垂直平分线”的几何意义，可考虑构造圆(xX0 2 + y2 = r2(r =|PA )(如图 10)，22它与椭圆 与+4 =1有四个不同交点(或 3个，a b当A、B之一为长轴端点时)，由消去y得2.222222 2a - b x -2a x 0 x a b - a r a22a x0xi X2 =2a b方程有两个不同实根，则X1 X 2 -a :92X0 =0 ，22一 a b 2a2 a，即 X0 =2.2a -ba:X 0 :X1X 22°-b23练习：设点 p(o,9)， 动点A, B在椭圆 二+虹=1上且满足PA =

9、2-PB，试求君的取值范围。解析本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察：如图11所示，三点P,A,B共线，当A(0,3), B(0,-3)时九=1为最小；将直线 PA绕点P逆时针旋转至相切5(A, B重合)有舄=1 ；回转至A(0,3), B(0,3)有兀=5为最大,故有-4. 巧设参数例题4:过抛物线y2=乂上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点，求证：直线BC的斜率是定值.证明：(参数法)y2=x 上。C(c2,c)Kab=1/(b+2).Kac=1/(c+2).两点B, C均在抛物线可设其坐标为：B(b2,b)可得两条直线的斜率为由题设可

10、知：直线 AB与直线AC的斜率是互为相反数. .1/(b+2)+1/(c+2)=0通分，整理可得：(b+c)+4/(b+2)(c+2)=0.必有(b+c)=-4又直线BC的斜率 Kbc=1/(b+c)=-1/4直线BC的斜率为定值-1/422例5、已知P(x, y)是椭圆切+奏=1上的点，试求x + y的取值范围？解：设椭圆的参数方程.x =12 cos ry=5sine 奶参数，且 ew 0，22_.125 .、x y =12 cos 35sm- 13( cos n sin n)1313=13(sin ： cos cos： sin。(其中 sin :=123，cos . = 5估)=13si

11、n(:。71壬sin。+e）苴1二x+y的取值范围为（ 13 ,13 ）5. 利用设而不求，整体代换例6 : A,B是已知椭圆22亳+与=1（a Ab >0 的两点，线段 a bAB垂直平分线与x轴交于点P（xo,0）,求证:22则 * / =1,22a b2222xi -x2y1 y2k -2 '72 =0= kl -abxi -x2y1 72-2 /a (y V，)b2(x1 x2)b2x则直线L的方程为y y'=MX'x x).令y=°得x里 W / b2 *z'02xa2,22,2a ba b又a <x <a ,所以一<

12、x0 <aa22例7、椭圆二十匕=1上有两点P、Q, O是原点，若OR OQ斜率之积为1641。(1)求证：|OP|2+|OQ|24为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。1 解：（1）设P、Q的两点坐标分别为PS" ）、Q x2,y2 ,P、Q分别在椭圆上，且KOPKoq=,4221,16422.”公+也=1尸164y1 y21T=x1 x244y/ =16 -x",(1 )4y?2 =16 - x?2,_ 24y1y2 =乂1乂2.3(1 R(2 崎 16y12y21616(x1x2+x12x22,4)(3)代入(4)得 x12 +x22 =16 ,( 1)+(2

13、)得 y12 + y22 = B x/ + x22 )=44 OP2 +|oq|2 =x12 +y12 +x22 +y22 =20。（2）设 P、Q的中点 M的坐标为 M（x,y ），则有 x1+x2=2x , y1+y2=2y,(1 )+( 2 )+ ( 3乂 2 得 4(y12 + y22 +2y1y2 f = 32 (x12 + x22 + 2x1x2),2, 22, 2a -ba -b<x0: aa解设 A(xi , y1) , Bg,y2), AB 的中点为 M(x, y),22宜+之=1,二式相减得a2b24(yi + y2 2 =32 _(xi +X2 2。22二 4x2

14、+16y2 =32 即： + =1 , .8222PQ中点M的轨迹方程为已+匕=182练习1:已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于MN两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若 BMN勺重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l的方程是()A.6x-5y 28=0B.6 x+5y- 28=0C.5 x+6y28=0D.5 x 6y 28=0【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN勺重心，容易求出边 MN的中点坐标，那么求直线l的方程，关键在求该直线的斜率若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是:y2,xO3,- 2)【解析

15、】由4x2 5y22x y = 80n +=1.麟阿圆上顶点20 16B (0, 4)，右焦点 F (2,0 ).为 BMN勺重心，故线段 MN勺中点为C (3, -2)设直线l的斜率为k.,点 M (x，y), N (x2,y2 )在椭圆上，.4 x 一乂2 为 x2 5 * 一 y y2 i=0= k = y2x1 - x2224x 5y24x25y；=80= 80 x1x24y y25-456-所求直线万程为 y+2=6 x3尸6x5y28 = 0,选A.5练习2、已知直线y-ax-1=0与双曲线3x2y2=1相交于A、B两点,问a取何值时，以 AB为直径的圆经过原点。解：设A(x1,

16、y1), B(x2, y2)，若以AB为直径的圆过坐标原点必有OA_LOB，即得:x2yy2 =0把y-ax-1 =0代入双曲线方程3x2 _y2 =1得：x2 - 2a2x- 2 2 = 0 3-a3-a2a所以x1 +x2 =33 -a2不xx2 23 fy1y2 =(ax +1)(ax2 +1) =a2xx2 +a(x +x2) +1解组成的方程组得a = ±1【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做 设而不求.6. 引入向量用向量形式叙述题设条件，或引入向量分析解决解析几何问题，已经成为处理解几问题的基本方图13法，也是高考设计试题考查相关能力的一大特点。22例8已知椭圆C+匕=1，直线L: -L+1 =1, P是L24 16128上一点，射线 0次 C于点R。又点Q在射线OP上且满足：-OQ OP