121导数的计算

1、 1.2.1几种常见函数的导数几种常见函数的导数求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00(2):()();f xxf xyxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数回顾回顾函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处求导数反映了函数在点处求导数反映了函数在点(x(x0,0,y y0 0 ) )附近的变化规律附近的变化规律; ;1) |F1) |F(x)|(x)|越大越大, ,则则f(xf(x) )在在(x(x0 0 ,y ,y0 0 ) )附近就越附近就越“陡陡”2) |F2) |F(

2、x)|(x)|越小越小, ,则则f(xf(x) )在在(x(x0 0 ,y ,y0 0 ) )附近就越附近就越“平平缓缓”03(2)fxxx00()6fxx解：解：f=yf=y=f(x=f(x0 0 x)-f(xx)-f(x0 0) )=3(2x=3(2x0 0 +x)x+x)x求函数求函数y=3xy=3x2 2在在 处的导数处的导数.=3(x0+ x)2-3x0200lim6xyxx又点点(x,y)x=xx=x0 000()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在

3、x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:00()6fxx( )6fxx2( )3f xxf(x)在在x=x0处的导数处的导数f(x)的导函数的导函数x=x0时的函数值时的函数值关系关系二、新课二、新课几种常见函数的导数几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式公式1: .0 ()CC 为常数0:( ),()( ),0,( )lim0.xyyf xC

4、yf xxf xCCxyf xCx 解1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.请同学们求下列函数的导数请同学们求下列函数的导数:232)( ),3)( ),4( )15)( ),yf xxyf xxyf xxyf xx）1y 21yx 2yx表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?23yx( )nf xx猜想？ 当时猜想？ 当时nRn-1n-1f(x)=nxf(x)=nx f(x)=?f(x)=?看几个例子:例.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。4;2)11.yxy例1

5、.已知，1),求求曲线在点（， ）处的切线方程3414yx1344yx14yx基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f

6、(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程12(2)22ln2yxcos5.6yxx例4.已知，求曲线在点 处的切线方程315()226yx 41(1).;(2).yxyxx例5：求下列函数的导数54yx 1232yx导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )(

7、 )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )(

8、 )f xfx g xf x g xg xg xg x例例4:求下列函数的导数求下列函数的导数:2212(1);(2);1(3)tan ;yxxxyxyx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 例例5.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t

9、=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2) 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.复合函数的导数：复合函数的导数：1.复合函数的概念复合函数的概念:对于函数对于函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以示可以示成成x的函数的函数,那么称这个函数为函数那么称这个函数为函数y=f (u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数. 记作记作y=f(g(x) 函函 数数内圈函数内圈函数 外圈函

10、数外圈函数 复合函数复合函数定义域定义域值值 域域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)xAUDUDyBxAyB问题问题1:指出下列函数的复合关系指出下列函数的复合关系)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23

11、3u uy yu uv v v vx xx x2.复合函数的导数复合函数的导数:如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,注注:1)y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的导数 的乘积的乘积.复合函数复合函数y=f(g(xy=f(g(x)的导数和函的导数和函y=f(u),y=f(u),u=gu=g( (x x) )的导数间关系为的导数间关系为2)2)法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量. .3)3)在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 , ,两者两者是不完全一样的是不完全一样的, ,前者表示对自变量前者表示对自变量x x的求导的

12、求导, ,而后者是对中间变量而后者是对中间变量 的求导的求导. .)(x )()(xfxfx ( ( ( )yf g u xguxyfgu;xuxuyy ( )( )( ).xfxf ux或或令令y=u2,u=3x-2,1218 xuyyxux则则 从而从而2 ,3,uxyu u问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)()1 1n nm my ya ab bx xm mn n1 1) )因因 y y= =u u, , u u= =a a + + b bx x解解:g m m - - 1 1 n n - - 1 1u ux x而而 y y= =m m u u, ,u u= =n n

13、b bx xg x xu ux x又又 y y= =y yu u n n - - 1 1n nm m - - 1 1x xy y= =n nm mb bx x( (a a + + b bx x) )问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)sin()1 12 2y yx xx x u ux x2 2 x xu ux x x x2 21 12 2 ) ) 因因 y y= =s s i i n n u u, , u u= =x x + +x x1 1 而而 y y= =c c o o s s u u , ,u u= =1 1 - -x x 又又 y y= =y yu u1 11 1y

14、y= = ( ( 1 1 - -) ) c c o o s s ( ( x x + +) )x xx x解解:问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:)ln3 33 32 2x xy ye e()3 32 2x xx xe ee e()3 32 23 31 11 12 23 32 2xyx xx xx xe ee ee exuux又yyyv,3 32 21 11 13 3uux而yyvx xe eu uv v)ln,3 33 32 2因x xy yu u u uv v v ve e问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:log ()2 22 22 23 34 43 3x xx xy y),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx xuuuvxuvx1 1y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2vln2vln2log ()()ln()lnx xx xx xx xy yx xx x2 22 22 23 32 22 21 1 3 33 32 23 32 2log ()log()()x xx xx xx xx x2 22 22 23 32 22 22 23 31 1