多元函数积分法PPT学习教案

1、会计学1多元函数积分法多元函数积分法第一节 二重积分的概念与性质第二节 二重积分的计算法第三节 二重积分的应用第1页/共37页一、曲顶柱体的体积柱体体积=底面积高特点：平顶.),(yxfz D柱体体积=？特点：曲顶.第2页/共37页XZyODM如右图的立体，底是XOY面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线，而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面z=f(x,y)。当点(x,y)在D上变动时，高f(x,y)也随着变动。第3页/共37页利用与求曲边梯形面积类似的办法来求曲顶柱体的体积。（1）分割 用一曲线网把闭区域D分成n个小闭 区域则原来的曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体。12,n（2）近似代替 以

2、 为底的小曲顶柱体可近似地看作以 为高的平顶柱体。i,iif （3）求和 11,nniiiiiiVVf 则 为曲顶柱体体积。01lim,niiiif （4）取极限令每个小闭区域直径中的最大值（记为 ）趋于0第4页/共37页xzyoD),(yxfz i),(ii第5页/共37页第6页/共37页第7页/共37页第8页/共37页第9页/共37页第10页/共37页二、二重积分 1、对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二

3、二重重积积分分必必存存在在.（1）当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积2、二重积分的几何意义（2）当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值；（3） 当被积函数有正也有负，则二重积分等于xoy面上方的柱体体积减去xoy面下方的柱体体积。第11页/共37页在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为xyoddxdy( , )( , )DDf x y df x y dxdy第12页/共37页3、二重积分的性质性质1,DDkf x y dkf x y d性质2,DDDf x yg x y df x y dg x y d性质3二重积分在闭区域上有可加性。12

4、,DDDf x y df x y df x y d（与定积分有类似的性质）第13页/共37页性质4在闭区域D上f(x,y)=1， 为D的面积。1DDdd几何意义： 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质5在闭区域D上 ,f x yg x y则,DDf x y dg x y d第14页/共37页性质6M、m是f(x,y)在D上的最大值和最小值，则有DS,Dmf x y dM性质7（中值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续， ，则在D上至少存在一点 ，使DS, ,Df x y df 第15页/共37页一、利用直角坐标计算设 ，则 等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体体积

5、。,0f x y ,Df x y d现用 ， 来表示底面区域D。 ， 在a,b均连续。 12xyxaxb 1x 2xa0 xbzyx),(yxfz )(1xy)(2xy0 xab第16页/共37页201000,xxA xf xy dy下面用元素法求曲顶柱体体积a0 xbzyx),(yxfz )(1xy)(2xy0 xab再在a,b上取一点 ,用同样方法得到另一曲边梯形.0 xdx红色曲边梯形面积为在a,b上取一点 ，作平行于yoz的平面，它截得曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底，曲线为曲边的曲边梯形。 12xyx0 x0,zf xy第17页/共37页以曲边梯形为底的薄柱体体积,即体积元素为20

6、100,xxdVf xy dy dx则以dV作为被积表达式的定积分即为曲顶柱体体积20100,bxaxVf xy dydx .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 将上式中 一般化,得到二次积分公式0 x 21( , ),bxaxDf x y df x y dy dx 第18页/共37页当给出的积分区域D为则 12yxycyd 21,dycyDf x y dxdydyf x y dx)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第19页/共37页 若积分区域D可用 , 表示也可用 , 表示,则 2211( )( ),( , ),bxdyaxcyDf x y

7、ddxf x y dydyf x y dx 12xyxaxb 12yxycyd由此可见,二次积分的积分次序可以调换.-xdyyxfdx1010),(例1 改变 的积分次序第20页/共37页例2 计算 ，其中D由直线y=1、X=2及y=x所围成的三角形闭区域。Dxyd第21页/共37页例3 计算 ，其中D是由x轴、y轴及抛物线 所围成的在第一象限内的闭区域。223Dx y d21yx - 可以看出，X-型与Y-型公式的选取很重要，主要是由积分区域D的特点来定。 但是这也不能绝对化，还要顾及到被积函数，应尽量使求积过程简单。第22页/共37页例4 计算 ，其中D是由抛物线 及直线y=x-2所围成的

8、闭区域。Dxyd2yx第23页/共37页例5 计算 ，其中D与上例相同.sin(1)1DyxIdx-第24页/共37页例6 求两个半径相等的直交圆柱面所围成立体的体积。第25页/共37页二、利用极坐标计算二重积分根据二重积分定义01,lim,niiiiDf x y df 1、用从极点发出的一族射线和以极点为中心的一族同心圆把闭区域D分成n个小闭区域。Ox第26页/共37页二重积分直角坐标到极坐标的转换公式,cos ,sinDDf x y dxdyfd d 只要把x,y换成 ， dxdy 换成 即可。cossind d dxdy 称为直角坐标系中的面积元素， 称为极坐标系中的面积元素。d d 第

9、27页/共37页2、极坐标系中二重积分的计算（1）设极点在闭区域D外，且区域D用 表示。 12 OX 1 2 2 1 21cos , sincos , sinDfd ddfd 第28页/共37页（2）极点在闭区域的边界上 D 0 0cos , sincos , sinDfd ddfd 第29页/共37页（3）极点在区域D内 D 0 02 200cos , sincos , sinDfd ddfd 第30页/共37页例1 试导出极坐标计算闭区域D的面积公式。例3 计算 ，其中闭区域D为22xyDedxdy-222xya例2 课本第145页第3题。第31页/共37页-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012例3 求球体 与圆柱体 的公共部分的体积。22224xyza222xya