多元函数的泰勒公式PPT学习教案

1、会计学1多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式00000020000100(,)( ,)( ,)11( ,)( ,)2!1(,), (01)(1)!nnf xh ykf x yhkf x yxyhkf x yhkf x yxynxyhkf xh yknxy00000(,().:),mmmppm ppm pmpf xyhkf xyh kxyxyC记号第1页/共12页证明证明：引入函数：引入函数00( )(,), (01).F tf xht yktt 则则F(t)F(t)是关于是关于t t的一元函数的一元函数, ,在在t=0t=0的邻域内有的邻域内有n+1n+1阶导数阶导数, ,利用一元函数的麦克劳

2、林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得2( )(1)11( )(0)(0)(0)2!11(0)( ), (01).!(1)!nnnnF tFFtFtFtFtnn第2页/共12页0000:(0 )(,), F (1)(,).Ffxyfxhyk显 然( )(1)1(1)(0)(0)(0)2!11 (0)( ), (01).!(1)!nnFFFFFFnn特别地,当t=1时,有第3页/共12页由由F(t)F(t)的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则, ,可得可得000000( )(,)(,) (,),xyF thfxht yktkfxht ykthkf xht yktxy20

3、020000200( )(,)2(,)(,) =(,),xxxyyyF th fxht ykthkfxht yktk fxht ykthkf xht yktxy第4页/共12页0011(1)1(,)110100( ) (,).nnpnpnpxht yktpnpnpnfFth kxyhkf xht yktxyC 100200(0)(,),(0)(,), Fhkf xyxyFhkf xyxy 从而第5页/共12页( )001(1)00(0)(,),( )(,),nnnnFhkf xyxyFhkf xh ykxy( )(1)1(1)(0)(0)(0)2!11 (0)( ), (01).!(1)!nn

4、FFFFFFnn把上面各式代入第6页/共12页00000020000100(,)(,)(,)1(,)2!1(,)!1 (,), (1)! nnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyxyhkf xynxyhkf xh yknxy有 (01) ,证明完毕00( , )( ,)f xnyx y上面式子称为二元函数在点的 阶泰勒公式第7页/共12页1001(,), (1)! (01) nnRhkf xh yknxy令00( ,)(,)nRfx yxy拉我格们称为在点的朗日余项.上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.000000000,: (,) (,)(,)

5、 (,)xynf xh ykf xyhfxh ykkfxh yk当时 泰勒公式变为第8页/共12页例例 1 1解解: :1( , )( , ),1xyfx yfx yxy因为,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p第9页/共12页(0,0)(0,0)(0,0),xyxyfxfyfxyxy2222(0,0) (0,0)2(0,0)(0,0) () ,xxxyyyxyfxyx fxyfy fxy 332233(0,0)(0,0)3(0,0)3(0,0)(0,0)2() ,xxxxxyxyyyyyxyfx fx yfxyxy fy fxy第10页/共12页又又0)0 , 0( f, ,故