多元函数偏导数PPT学习教案

1、会计学1多元函数偏导数多元函数偏导数第1页/共23页同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.第2页/共23页同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.第3页/共23页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广

2、到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 第4页/共23页例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 第5页/共23页例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln

3、1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立第6页/共23页例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 第7页/共23页 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在第8页/共23页例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV R

4、pVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 一个变量关于另一个变量的变化率一个变量关于另一个变量的变化率第9页/共23页偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf ).0, 0(),0, 0(,0, 00,),(222222yxffyxyxyxxyyxfz求求 第10页/共

5、23页、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，即：多元函数的偏即：多元函数的偏导数与本身的连续性无必然联系导数与本身的连续性无必然联系.第11页/共23页4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为

6、曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图 ),(00yxfx是 曲 面是 曲 面被平面被平面0yy 所截得曲所截得曲线 在 点线 在 点0M处 的 切 线处 的 切 线xTM0对对x轴的斜率轴的斜率. ),(00yxfy是曲面被平是曲面被平面面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴轴的斜率的斜率.第12页/共23页),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏纯偏导导混合偏导混合偏导定义定义：二阶及二阶以上的偏导数

7、统称为：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导高阶偏导数数.第13页/共23页例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx第14页/共23页原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关

8、系：象间的关系：第15页/共23页例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 第16页/共23页问题问题：二阶混合偏导数都相等吗？具备怎样的条二阶混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？件才相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu( ,)( , ); ( , )()( , )x yyx yx yf xxf x y

9、 第17页/共23页解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 第18页/共23页22222207 ( ,),2.xytxffyffx yedtyxx yxy 例已知求yexfxy2)( 解：解：xeyfxy2)( 22)(32)(222)2(xyxyexyyxyexf )2()2(3)(2)(2222yxexyxeyfxyxy yxyeeyxfxyxy)2(2)()(222 222222yfxyyxfxfyx 2)(2xye 第19页/共23页偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）切记：切记：题目中条件出现了连续的二阶偏导数，则题目中条件出现了连续的二阶偏导数，则暗示计算过程中必然有可以合并的项。暗示计算过程中必然有可以合并的项。第20页