复变函数余家荣PPT学习教案

1、会计学1复变函数余家荣复变函数余家荣令, 存在极限如果nS的积分，记作沿可积，并称此极限为沿曲线则我们称 )( LfLzf显然，是光滑曲线：设 L则证第1页/共54页复积分的性质复积分的性质其中第2页/共54页则时的弧长，当是光滑曲线设,| )(| , )4(MzfLzLl例.为半径的正向圆周为心，是以其中ac证明的方程为 c所以第3页/共54页闭曲线，证明：是一条设Jordan )2(c和证明计算 )3(是其中c第4页/共54页xyo1i1. 1 1 2 1 ) 1 (的折线，及点连接原点）（的线段；及点连接原点iOiO解: 1 ) 1 (的线段的方程为及点连接原点iO所以的线段方程为：及点

2、连接原点）（1 2O的线段方程为：及点连接点 1 1 i 第5页/共54页2. Cauchy定理定理 问题问题，有内任意按段光滑闭曲线那么在什么情况下对内的复函数是定义在区域如果cDDzf, )( 内有一阶连续偏导数，在及是单连通区域，设DyxvyxuD),(),( 则. )(内解析在 Dzf第6页/共54页闭曲线，则内一条按段光滑是内单值解析在单连通区域如果Jordan , )( DcDzf边形的边界，则内一个多是内单值解析在单连通区域设 , )( DcDzf2. Cauchy定理定理 证明证明引理引理.c的边界，也记作是一个三角形设 (1)假设分成四个小三角形，则，将三角形连接三角形各边的

3、中点第7页/共54页.4M于或等于至少有一个的绝对值大等式右边的四个积分中，即为记此积分的三角形路径）（ 1，满足重复上述过程，得对）（）（21满足由此的序列, )(n第8页/共54页. U的长度为设 .2)(nUn的长度为则时，由于当n. )(0中包含在每一个三角形所以存在唯一的一个点nz时，有且使得当 |0 , 0 , 0 0zzDz或. | 00)(内的邻域就会包含在充分大，只要zzznn所以有时当, )(nz第9页/共54页由于所以因此由此得即. 0 M 是一个任意正数，所以由于第10页/共54页ABCDE. (2)中多角形的边界是设Dc注注. 结论仍成立中一条闭折线，则上述是若Dc定

4、定义义. )( )( 上的复函数是定义在区域和设Dzzf. )( )( , )()( 上的一个原函数在区域称作则解析且Dzfzzfz上在若 D . )( )(上的不定积分在区域作上的所有原函数之集称在DzfD zf定定义义有及如果对任意设,10.DyxtCD,)1 (Dyttx.为凸集则称区域D引理引理2内在内解析，则在是一个凸集，设DzfDzfD )( )( .存在有原函数第11页/共54页0zzL1L2L证明 . D设, Dz对于任意D其中 , 0Dz 设因为所以定义则第12页/共54页Dz zzf使得当存在连续，所以任取在由于, 0 , 0 )( 0时，有且 |0 zz所以因此第13页/

5、共54页 ,),( )( 3是内连续且有原函数在区域若引理cDDzFDzf则的逐段光滑曲线与内连接,D证明且的方程为为光滑曲线设, c则因为所以第14页/共54页2K3K1nK2nKD11K231nnC定理的证明Cauchy使得 , 0 , 1c).( )(11zFKzf内有原函数在存在有限个圆盘使得得由引理 2.3 第15页/共54页所以得由引理构成一条闭折线，所以由于2.11kk. )( 关内与路径无内解析，则复线积分在在是单连通域，如果推论DDzfD? )( 无关吗内与路径在内解析，那么复线积分在是多连通域，如果问题DDzfD.:不一定答第16页/共54页0C1C2C3C. )( )(

6、内有原函数在内解析，则在是单连通域，如果推论DzfDzfD则上解析在如果远保持在左手边内部永的正向移动时区域沿边界曲线内部曲线而且所有这些曲线都在域内的外区中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线有限条由曲线是复连通区域，其边界设积分定理复连通区域的,)(. ., Jordan Cauchy 0110DzfDcccccccDcDnn或. ), 2 , 1 , 0( 的方向为逆时针方向其中nkck第17页/共54页ac计算积分例 1 .,Jordan , 方向为逆时针方向闭曲线的逐段光滑是一条不通过是正整数其中acn解的外面在曲线 ) 1 (ca的内部在曲线 )2(caac)2() 1 ()为整数n第

7、18页/共54页1z计算积分例 2 . 1 的光滑曲线到是从其中zc解. , ,在负实轴上沿认为为负实数时当如图所示作支割线zz. ln 为对数函数的主值支其中z第19页/共54页1ABCDEzF1一般第20页/共54页c0zr2. 2. 柯西积分公式柯西积分公式., )( 0内一条简单闭曲线为内解析在是一个单连通区域，设DcDzDzfDD问题：所以似乎应有时，由于),()( 0 0zfzfr第21页/共54页0c1c2czcD则上解析在如果保持在左手边内部永远的正向移动时区域沿边界曲线内部所有这些曲线都在曲线而且的外区域内中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线由有限条逐段光滑线是一个区域，其边界

8、曲设定理, )( . . , , Jordan 4.1 0110DzDzfDcccccccDcDnn柯西积分公式柯西积分公式证明由于第22页/共54页所以0c1c2czcD, 0, 0)(存在连续，所以对任意在点由于zf时，有使得当 | z则所以如果,第23页/共54页即所以那么如果问题, 1 Dz0 :答)()(21zfdzfic?)(21cdzfi第24页/共54页. : 可以答应用则对函数条件上满足柯西积分定理的在闭区域若 )()( , )( 0zfzzDzf柯西积分公式得?CauchyCauchy 2积分定理积分公式推出你能利用问题第25页/共54页则上解析在如果保持在左手边内部永远的

9、正向移动时区域沿边界曲线内部所有这些曲线都在曲线而且的外区域内中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线由有限条逐段光滑线是一个区域，其边界曲设定理, )( . . , , Jordan 4.2 0110DzDzfDcccccccDcDnn0c1c2czDdd2证明. | )(|max , zfMLccz的长为设有则对任何再假设 , ,|0 cdh第26页/共54页时，所以当 0 h即因此.用归纳法可以完成证明. )( )( 内有无穷阶导数在内解析，则在区域如果推论DzfDzf第27页/共54页则时，使得当正数上解析且存在在圆盘设不等式,| )(| ),( |:|),( )( Cauchy Mzfra

10、UzMRazzRaUzf证明 .0Rr 假设因为所以. 便得结论令 Rr第28页/共54页.f(z) 被称作整函数上解析的函数在定义C. 有界整函数必为常数定理Liouville.| )(| ,)( MzfCzzf并且对于所有是整函数设 z由于对任意复数证明,|:|),()(上解析在任何圆盘RzRzUf所以. 0)( , zfR得令. )(为常数所以zf第29页/共54页0c1c2cDaR. )( 0,)(, Jordan )( Morera 内解析在则有闭曲线内任意逐段光滑内连续，且对在区域设定理DzfdzzfcDDzfc证明, 0)(dzzf).( )( 2.2 zFGzf内存在原函数在可

11、证所以类似于引理 , 时由于当Gz, )( 内解析在所以Gzf . )( 可导点在从而a zf. )( 内解析在所以Dzf，有内任意三角形是凸集且对由于 GG.),( , 0 , DRaUGRDa使得),()(zfzF, 内任意一点是由于点Da.Morera 立即可中任一三角形的周界成只需对区域定理中的条件可减弱为注：D第30页/共54页o112计算积分例 1 . 1 0 向曲线，方向为逆时针方在其内部的简单光滑闭，是包含解方法一方法二第31页/共54页411c2c计算积分例 2 解所以o第32页/共54页0z0rrR练习因为所以,0rr 对于.是常数. 0 3 的结论知此常数为由习题第33页/共54页)5(.11)( 4zzf设内解析，在则 1| )( zzf时，所以当1r为常数|11|max)(4|zrMrz114r,1)(4rrrrM0)(limrrMr所以),1( 0)(rrF从而第34页/共54页内解析区域单连通在和 )( )( )(Dzgzf为其原函数内解析且在 )()( zgzfD第35页/共54页ii1BCEAOOA1) 1 ()2(第36页/共54页ii1AOFG)3(ii1AO1c2c)4(B第37页/共54页第38页/共54页.11) 1 ()2(方法一21o第39页/共54页方法二21c