线性代数-总复习学习教案

1、会计学1第一页，共91页。一、内一、内 容容 提提 要要 v行列式的性质行列式的性质(xngzh)性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到(t do)行列式行列式记号的外面记号的外面.性质性质1 行列式与它的转置行列式与它的转置(zhun zh)行列式相等行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行, 行列式值反号行列式值反号. 性质性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开则该行拆开, 原原行列式可以表为相应的两个行列式之和行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一

2、数加到另一行对应的把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去元素上去, 行列式的值不变行列式的值不变.性质性质5 若有两行元素对应成比例若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零则行列式值为零. 设设 A, B 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则有则有 | AB | = = | A | | B | . 第1页/共91页第二页，共91页。一、内一、内 容容 提提 要要 vLaplace Laplace 按行列展开按行列展开(zhn ki)(zhn ki)定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素与其对应的元素与其对应(duyng)的代数余的代数余子式乘积之和子式乘积之和. 即

3、即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain=1122|, (1,2, )jjjjnjnjAa AaAa Ajn= 设设 A = (aij)为为 n 阶方阵阶方阵(fn zhn), 则有则有111,11,111,1,11jjnnn jn jnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb=第2页/共91页第三页，共91页。一、内一、内 容容 提提 要要 v伴随伴随(bn su)阵阵 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵(fn zhn), Aij 为为(i, j)元的代数余子式元的代数余子式, 记记112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA = =称

4、称 A 为方阵为方阵(fn zhn) A 的的转置转置伴随阵伴随阵.v伴随阵的性质伴随阵的性质(1)|;nAAA AA E=1(2)|.nAA= = 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 A 的伴随阵的伴随阵, 则有则有第3页/共91页第四页，共91页。 如果如果 | A | 0, 那么那么, 称方阵称方阵(fn zhn) A 为非奇异矩阵为非奇异矩阵.v逆阵计算公式逆阵计算公式 非奇异非奇异(qy)矩阵矩阵 A 的逆阵为的逆阵为11|AAA= =v逆矩阵逆矩阵(j zhn) 如果存在矩阵如果存在矩阵 B, 使使 AB = = BA = = E那么那么, 称方阵称方阵 A 为为可逆的可逆的, 并称

5、并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.v定理定理 设设 A, B 为为 n 阶方阵阶方阵, 若若 AB = = E, 则则 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.ABBA=一、内一、内 容容 提提 要要 第4页/共91页第五页，共91页。v逆矩阵逆矩阵(j zhn)的性质的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵(j zhn), 则有11(1)|;|AA = =11(2)();AA= =111(3)()(0);kAkAk=111(4)();ABBA= =T11 T(5)()() ;AA= =111(6)()().|AAAA =一、内一、内 容容 提提 要要 第5页/共91页第六页，共91页。v分

6、块对角分块对角(du jio)阵的性质阵的性质1diag(,).sAAA= =1(1)|;sAAA= =(3) A 可逆的充分可逆的充分(chngfn)必要条件是必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA= =一、内一、内 容容 提提 要要 n1(2)diag(,);nnsAAA= = 设设 Ai(i=1,s)都是方阵都是方阵(fn zhn), 设设 A, B 都是方阵都是方阵, 则有则有| |AAOABOBB = 第6页/共91页第七页，共91页。 矩阵矩阵(j zhn) A 与与 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是: 存在可存在可逆矩阵逆矩阵

7、(j zhn) P, 使使 B = PA. 矩阵矩阵(j zhn) A 与与 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是: 存在可存在可逆矩阵逆矩阵(j zhn) Q, 使使 B = AQ. 具体具体(jt)地有地有( ,)(,),rPEPAAcQQAAE一、内一、内 容容 提提 要要 v等价矩阵等价矩阵 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行, 列列)变换变换, 化为矩化为矩阵阵 B, 就称矩阵就称矩阵 A 与与 B (行行, 列列)等价等价, 记为记为 AB.第7页/共91页第八页，共91页。v行最简形矩阵行最简形矩阵(j zhn) (j zhn) 1 2(0)ra aa

8、v行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn) (j zhn) 一、内一、内 容容 提提 要要 12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000第8页/共91页第九页，共91页。v矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的秩的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价的等价(dngji)标准形为标准形为 rEOUOO= =那么称那么称 U 中单位中单位(dnwi)阵的阶数阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A). 性质性质1 等价矩阵有相等的秩等价矩阵有相等的秩.性质性质

9、2 性质性质4 ()min, .m nR Am n 性质性质3 n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 R(A) = = n. 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质性质5 T()( ).R AR A= =第9页/共91页第十页，共91页。v矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的秩的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵(j zhn) A 的等价标准形为的等价标准形为 rEOFOO= =那么那么(n me)称称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A). 性质性质7 性质性质8 性质

10、性质9 ()( )( ).R ABR AR B()min ( ),( ).R ABR A R B 若若 ,nnmlABO= =则则 ( )( ).R AR Bn性质性质6 1234().iAAR ARAA 第10页/共91页第十一页，共91页。 逆矩阵逆矩阵(j zhn)的初等变换求法的初等变换求法1()()rA EE A v矩阵矩阵(j zhn)初等变换的应用初等变换的应用 线性方程组的最简形解法线性方程组的最简形解法(ji f) 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解写出同解方程组方程组, 解便一目了然解便一目了然. 矩阵方程矩阵方程 AX = =

11、 B, XA = = B 的初等变换解法的初等变换解法1()()rA BA BE 1cEABBA 一、内一、内 容容 提提 要要 第11页/共91页第十二页，共91页。(1) 当当 R(A, b) R(A) 时时, 方程组无解方程组无解;(2) 当当 R(A, b)= =R(A) = = n 时时, 方程组有唯一方程组有唯一(wi y)解解; (3) 当当 R(A, b)= =R(A) n 时时, 方程组有无穷方程组有无穷(wqing)多解多解. 设设 n 元线性方程组元线性方程组 Ax = = b. n 元方程组元方程组 Ax = = 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A)

12、Xf0)0(=f)(XfA0A0X0)(Xf)(XfA0A第39页/共91页第四十页，共91页。判断实二次型正定的充要条件判断实二次型正定的充要条件（1) 1) 实二次型标准形中的个系数全为正；实二次型标准形中的个系数全为正；（2) 2) 实二次型的矩阵的特征值全为正；实二次型的矩阵的特征值全为正；（3) 3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子实二次型的矩阵的各阶顺序主子(zh zi)(zh zi)式式全大于零全大于零. .至于至于 的负定性可通过的负定性可通过 的正定性来判断的正定性来判断. .)(xf)(-xf一、内一、内 容容 提提 要要 第40页/共91页第四十一页，共91页。二、典二、典

13、 型型 例例 题题 例例1 设设 a1, a2, a3, b 均为均为3维列向量维列向量(xingling), 矩阵矩阵A = (a1, a2, a3), 解解23det(3)det(0,3)ABaab=B = (3a1, 2a2, b), 且已知行列式且已知行列式 det A = 2, det B = 6.计算计算(j sun) det (3A-B) 和和 det (3A+B).0= =123det(3)det(6,5,3)ABaaab=12330det(,3)a aab=1231230det(,3)det(, )a aaa a b=1303detdet6AB=150= =第41页/共91页

14、第四十二页，共91页。3133342.MMM31125134,12341533D = =3112513415332011 = =21415rrrr 31128046201116027 8462111627= = 12322cccc 16420102025 162( 8040)40205= = = = =解解例例2 设设 计算计算(j sun)3133342MMM31323334201( 1)AAAA =知识点第42页/共91页第四十三页，共91页。例例3TTTA = = = = =,)2 , 1, 2(,)1 , 2 , 1(101A求求 = = = =2124242122 , 1, 2121

15、A= = =)(2TTATT )(TTTA )()(101= = =T )( T 21212 , 1, 2= = = = T100ATT1001002)()(= = = 第43页/共91页第四十四页，共91页。11211nnnnnababAcdcd= =2(1)()|nnn nna db cA =1111222 22()()()|nnn nnnnna db cadbca db cA=1()niii iia db c= =例例4 计算矩阵计算矩阵(j zhn) A2n 的行列式的行列式, 其中其中解解22(1)|nnnnnnabAcdA = =11112(2)()()|nnn nnnnnna d

16、b cadbcA= =第44页/共91页第四十五页，共91页。例例5 设设122212 ,221A = = 且且 A2 AB A = = E, 求求 A9 和和 B.解解29000909009AE=82 448()(9)3AAEE=983AA= =656113122131221312265611312213122131226561 = = 119AA = =2ABEAA=12()BAEAA =1AEA =19AEA=89EA=11616116116916161 =第45页/共91页第四十六页，共91页。证明证明(zhngmng) 例例6 设设 A 满足方程满足方程 A2 +2A-E = O,

17、证明证明(zhngmng) A 与与 A+3E都可逆都可逆, 并求它们的逆阵并求它们的逆阵. 由由 A2 2A E = = O, 得得(2)A AEE=因此因此(ync) A 可逆可逆, 且有且有12.AAE =22(3)AAEA AEAE=(3)(3)2A AEAEE=()(3)2AEAEE=()(3)2AEAEE= = 1()(3)2EA AEE=因此因此 A 3E 可逆可逆, 且有且有11(3)().2AEEA =第46页/共91页第四十七页，共91页。20002200,04200068A = = 且且 AB = = B A, 求求 B. 已知已知 11()BEA=解解例例7 由由 AB

18、 = = B A, 得得 1,BA BE =1()EABE =3|64,AA =|4,A = =1200011 2200,0420|40068AAA= 1100011100021020032EA = 110001100202100032 = = 第47页/共91页第四十八页，共91页。10001000110001000210001000320001 2000220044206631= = 21rr 322rr 433rr 40.5 r 100010000100110000102210000266311000100001001100001022100001321.50.5 11()BEA=110

19、001100202100032 = = 第48页/共91页第四十九页，共91页。例例8 设设 求求 An.1 2 3 40 1 2 3,0 0 1 20 0 0 1B= =2 3 3 41 2 2 30 0 3 40 0 0 3C= =1TT(),AECBC =解解1TT()AECBC =1T ()C ECB =T()CB=11001100,00200022= =则有则有 211222,22AA=1112,nnAA = =2102,11A= =210211nnnA= =102,1nn= =12nnnAOAOA= =111001100200200022nn = =令令 111,11A= =220

20、,22A= =第49页/共91页第五十页，共91页。例例9设设A为为3阶方阵阶方阵(fn zhn) , ,21= =A求求 AA5)2(11121 = = =AAAA1111225215)2( = = = = AAAAA161)2(3 = = = =A第50页/共91页第五十一页，共91页。例例10TT)6 , 6, 1 , 1(,)3 , 4 , 1 , 2(21 = = = TTT)9 , 4 , 4 , 2(,)7 , 2, 1 , 1(,)9, 2 , 2, 1(543= = = = = = 54321, 求向量求向量(xingling)一个一个(y )最大无关组最大无关组,并把其并把

21、其余余向量向量(xingling)用该最大无关组表出用该最大无关组表出. = =97963422644121121112,54321 00000310003011040101r矩阵的秩矩阵的秩=?421, 线性无关吗线性无关吗?421, 是最大无关组吗是最大无关组吗?解解第51页/共91页第五十二页，共91页。 = =97963422644121121112,54321 00000310003011040101r213 = = = =97963422644121121112,54321 00000310003011040101r4215334 = =第52页/共91页第五十三页，共91页。21

22、3 = =213 = =4215334 = =4215334 = =421, 是右边的最大无关组是右边的最大无关组421, 是左边的最大无关组是左边的最大无关组 97963422644121121112 0000031000301104010154321 54321 r矩阵的行初等变换不改变矩阵的行初等变换不改变(gibin)矩阵的列向量组的线性关系。矩阵的列向量组的线性关系。第53页/共91页第五十四页，共91页。()( )R ABR B= =证证1 例例11 设设 mn 矩阵矩阵(j zhn) A 的秩的秩 R(A) = n, 证明证明 于是于是(ysh)存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵

23、 P, 使使 A = PF.因此因此(ync)()()R ABR PFB= =因因 R(A) = = n,可知可知 A 的等价标准形为的等价标准形为BRO= =( )R B= =nEFO= =()R FB= =(也是行最简形也是行最简形)知识点第54页/共91页第五十五页，共91页。()( )R ABR B= =证证2 若若 x 满足满足(mnz) Bx = 0,则有则有 A(Bx) = = 0,即即 (AB)x = = 0;若若 x 满足满足(mnz) (AB)x = 0,则有则有 A(Bx) = = 0,因为因为(yn wi) R(A) = n, 综上可知综上可知 (AB)x = = 0

24、与与 Bx = = 0 同解同解, 所以所以 Bx = = 0.()( )dim( )R ABR BnS=设解空间为设解空间为 S, 则有则有 n 元方程组元方程组 Ax = = 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A) r, 则向量组则向量组 b1, bs 线性相关线性相关. 设向量设向量 b1, , bs 可由向量组可由向量组 a1, ar 线性表示线性表示, 定理定理 设向量组设向量组 线性无关线性无关, 1,raa若若 线性相关线性相关,1,raa b则向量则向量 b 可由可由 线性表示线性表示.1,raa而而 1, 1, , nr , nr 线性无线性无关关wguwgu

25、n,n,所以所以susuy y h, h1, h, h1, , hnr , hnr 线性无关线性无关. . 因因 1 1, , , , n r 的线性组合也是的线性组合也是 Ax = = 0 的解的解, h h 不可不可kk 由由 1, 1, , nr , nr 线线性表示性表示, , 证证2 由定理知由定理知h h, 1, n r 线性无关线性无关,从从而而1( ,)1n rRnrh h =易知易知 h h, h h 1, , h h n r 与与 h h, 1, n r 等价等价, 因因此此1( ,)1n rRnrh h =1( ,)n rRh hhh hh 所以所以例例17 设设 1,

26、, n r 是是 Ax = = 0 的一个基础解系的一个基础解系, 而而h h不不是是 Ax = = 0 的解的解, 证明证明 h h, h h 1, , h h n r 线性无关线性无关. 知识点第64页/共91页第六十五页，共91页。例例18求一个求一个(y )齐次方程组齐次方程组, 使它的基础解系为使它的基础解系为T)3,2,1 ,0(1= = T)0,1 ,2,3(2= = 记之为记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程(fngchng), 习惯习惯把未知把未知OABTT= =0= =xBT的的 A 放在右边放在右边, 转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再

27、把这些解拼成 的列的列( A 的行的行)即可即可. TA = =01233210TB解解 得基础解系得基础解系0= =xBT,)0 , 1 , 2, 1(1T = = T)1 , 0 , 3, 2(2 = = 设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 , 则则0= =AxOA= =,21 取取 = = = =1032012121TTA 即可即可.解解第65页/共91页第六十六页，共91页。例例19设四元非齐次线性方程组的系数设四元非齐次线性方程组的系数(xsh)矩阵的秩为矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量, 且且321,h hh hh h = = = =4321,5432

28、321h hh hh h求该方程组的通解求该方程组的通解(tngji).解解T)6 , 5 , 4 , 3()(2321= = = =h hh hh h 取取 , 则它就是解则它就是解,从而也是基从而也是基础解系础解系.基础基础(jch)解系所含向量个数解系所含向量个数 = 4 3 = 1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为)(1Rkkx = =h h 第66页/共91页第六十七页，共91页。解解 1234(,)a a a a1013 01220000 例例20 设设12341237(,)12372108a aaa= = (1) 求求(2) 说明说明(shumng) a1, a2 和和

29、 a3, a4 为为V 的两个基的两个基, 并求从基并求从基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的过渡矩阵的过渡矩阵.1234dim,:(,);V VL a aaa= =dim(,)VR=12342a a a a(,)(,),RR=12342a aa a易知易知故故a1,a2 和和a3,a4都是都是V 的基的基.从基从基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的过渡的过渡(gud)矩阵为矩阵为13.22= = P1237 00000366 知识点第67页/共91页第六十八页，共91页。例例 21 已知已知 的两组基为：的两组基为： 及及 其中其中(qzhng)：3R1123,B = =21

30、23,B= =1231(1,2,1) ,(2,3,3) ,(2,7,1) ;(3,1,4)TTTT=23(5,2,1) ,(1,1, 6)TT=（1）求向量）求向量 在基在基 下的坐标下的坐标(zubio)； （2）求从）求从 到到 的过渡矩阵；的过渡矩阵； （3）求向量）求向量 在基在基 下的坐标下的坐标(zubio)。(3,6,2)Tg g= =1B2B1B2Bg g解：（解：（1 1）设所求坐标）设所求坐标(zubio)(zubio)为为 ，即有：，即有： xxxgg=112233123123133233237622xxxxxxxxx= = = Txxx123(,)方程组整理得：方程组整

31、理得：对其增广矩阵进行初等行变换：对其增广矩阵进行初等行变换：第68页/共91页第六十九页，共91页。1( 2,1,1)TBg g= = 1232,1,1xxx= = =即方程组得解为：即方程组得解为：即即12331002(| )2376010113120011A b =第69页/共91页第七十页，共91页。于是于是(ysh)：（2）设所求过渡）设所求过渡(gud)矩阵为矩阵为 即有：即有：A123123(,)(,)A = =11123123123351(,) (,)237121131416187535152112121141627714192094128A = = =第70页/共91页第七十

32、一页，共91页。（2 2）设）设 ，解方程组，解方程组 （1 1）因为）因为(yn wi) (yn wi) 所以所以（3 3）设向量）设向量(xingling) (xingling) 则则TTxyyyAxx =111123232771412(,)92091412811(153, 106,83)42123(,)Byyyyg g= = = 本题如果直接利用公式本题如果直接利用公式 来求来求 ，计算，计算 时计算量较大，为了避免繁琐的运算，可采用如下时计算量较大，为了避免繁琐的运算，可采用如下(rxi)(rxi)方法之一求解：方法之一求解：11123123(,)(,)A = =1123123(,)

33、(,)A = =2123(,)TBy y yyg g= = =y112233yyy g g = =1A 1.yA x = =即可即可 由例由例6知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，就易计知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，就易计算出向量在新基底下的坐标。算出向量在新基底下的坐标。第71页/共91页第七十二页，共91页。例例22 设设 是是 的一组基，而的一组基，而nR12,n 1121212,nn=（1）证明：）证明： 也是也是 的一组基，并写出由的一组基，并写出由 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵(j zhn)；（2）设）设 在在 下的坐标为下的坐标为 求求 在在 下的坐标。下的坐

34、标。12,n12,n12,n12,n 12,n ,nR ( ,1,2,1)n n 解：解：1 1）设矩阵）设矩阵(j zhn) (j zhn) 对矩阵对矩阵(j (j zhn)Bzhn)B进行初等列变换：后一列减去前一列得：进行初等列变换：后一列减去前一列得：12(,)nB = =1212( )(,)(,)nnr Brrn =所以所以(suy) (suy) 也是也是 的一组基。的一组基。12,nnR而而1212111011(,)(,)001nn = = 或由定理知或由定理知 也是也是 的一组基。的一组基。12,nnRnR第72页/共91页第七十三页，共91页。故从故从 到到 的过渡的过渡(gu

35、d)矩阵为：矩阵为：12,n 12,n111011001A= = 2）1121211(,)(,)11nnnnnnA =则则 在基在基 下的坐标下的坐标(zubio)为：为：11001010011001021000111Bnn = 12(,)n第73页/共91页第七十四页，共91页。0111101111011110A = = 解解方阵方阵(fn zhn) A 的特征多项式为的特征多项式为111111|111111EA=l ll ll ll ll l例例23 求方阵求方阵(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2011101010011111= =lllllllllllllll l3

36、111(1) 101011 = = l ll l3111(1) 012003 = = l llllll l3(1) (3)=llll方阵方阵(fn zhn) A 的特征值为的特征值为12343,1.= = =llllllll第74页/共91页第七十五页，共91页。解解0111101111011110A = = 例例23 求方阵求方阵(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l1 = = 3 时时, 解方程组解方程组 ( 3). 0EA x=由由 31111311311311113EA=11131311113131111113040400440448101201010044

37、00441001010100110000 得基础得基础(jch)解系解系T1(1, 1, 1,1) ,p =方阵方阵(fn zhn) A 对应于对应于 l1 = -3 的全部特征向量为的全部特征向量为111(0).k pk 第75页/共91页第七十六页，共91页。解解0111101111011110A = = 例例23 求方阵求方阵(fn zhn)的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l2 = = l l3 3 = = l l4 4 = = 1 时时, 解方程组解方程组 ()0.EA x=由由 1111111111111111EA=1111000000000000得基础得基础(jch

38、)解系解系211,00p = = 310,10p = = 410,01p = =方阵方阵 A 对应对应(duyng)于于 l2 = l3 = l4 = 1 的全部特征向量为的全部特征向量为223344k pk pk p( k2, k3, k4 不同时为零不同时为零)第76页/共91页第七十七页，共91页。20002000Bb= =111242 ,33Aa =解解例例24 设矩阵设矩阵(j zhn) A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 因因 A 与对角与对角(du jio)阵阵 B 相似相似,知知 A 的特征值为的特征值为 2, 2, b.由特征值的性质由特征值的性质(xngzh)得得11

39、1|24233Aa =6(1)a=4b= =tr( )5Aa=4b=求得求得5,a = =6.b = =知识点(1) 求常数求常数 a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.第77页/共91页第七十八页，共91页。111242 ,33Aa =20002000Bb= =解解例例24 设矩阵设矩阵(j zhn) A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 求常数求常数(chngsh) a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P -1AP = B. (3) 求求 An.T1( 1,1,0) ,p = = (2) 当当 l = 2

40、时时, 解方程组解方程组 (2E-A)x = 0, 得基础得基础(jch)解系解系当当 l l = = 6 时时, 解方程组解方程组 (6E A)x = = 0, 得基础解系得基础解系T2(1,0,1)p = =T3(1, 2,3)p =取可逆矩阵取可逆矩阵123111(,)102013Pppp =则有则有 P 1AP = = B.知识点第78页/共91页第七十九页，共91页。111242 ,33Aa =20002000Bb= =解解例例24 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似(xin s), 其中其中(1) 求常数求常数(chngsh) a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使

41、 P -1AP = B. (3) 求求 An.222331111P = = (3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1. |1 2( 1) ( 3)1 14P = = = = 122211331|4111PPP= = 第79页/共91页第八十页，共91页。111242 ,33Aa =20002000Bb= =解解例例24 设矩阵设矩阵(j zhn) A 与与 B 相似相似, 其中其中(1) 求常数求常数(chngsh) a, b; (2) 求可逆矩阵求可逆矩阵 P, 使使 P -1AP = B. (3) 求求 An.(3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1

42、. 20011122211020203314013111006nnnnA= = 211135311322(13 )2(31)2(31)333331nnnnnnnnnn = = 第80页/共91页第八十一页，共91页。证明证明(zhngmng)例例25 设设 A, B为为n阶矩阵阶矩阵(j zhn), l 为为AB的非零特征值的非零特征值, 证明证明l l 也也为为 BA 的特征值的特征值.存在存在(cnzi)非零向量非零向量 p, 使使 ABp = l p. 于是于是()()()()=BA BpB ABpBpBpllll由由 l l 0, , p 0,可知可知 Bp 0.(而而 Bp 为对应的

43、特征向量为对应的特征向量)因此因此 l l 为为 BA 的特征值的特征值.第81页/共91页第八十二页，共91页。例例26 设矩阵设矩阵(j zhn)求求 a 的值的值, 并讨论并讨论(toln) A 可否相似对角化可否相似对角化.有一个二重特征值有一个二重特征值, 12314315Aa = = 解解方阵方阵(fn zhn) A 的特征多项式为的特征多项式为|EAl l 22014315alllll ll l=200133115al ll ll l = 2(2)(8183 )allllll=12314315al ll ll l=第82页/共91页第八十三页，共91页。12314315Aa =

44、= 解解求求 a 的值的值, 并讨论并讨论 A 可否可否(k fu)相似对角化相似对角化.若若 l = 2 是二重是二重(r zhn)特征值特征值, 则则 l l = = 2 是是281830allll=的根的根, 求得求得 a = = 2. |EAl l 例例26 设矩阵设矩阵(j zhn)有一个二重特征值有一个二重特征值, 1232123123EA =123 000000 R(2E A) = = 1,从而从而 A 可相似对角化可相似对角化.l l = = 2 的几何重数为的几何重数为 2,等于代数重数等于代数重数,2(2)(8183 )allllll=知识点第83页/共91页第八十四页，共91页。12314315Aa = = 解解求求 a 的值的值, 并讨论并讨论 A 可否相似可否相似(xin s)对角化对角化.若若 l = 2 不是不是(b shi)二重特征值二重特征值, 则则281830allll=有重根有重根 l l = = 4,求得求得 3234