12导数的计算

1、(1)求函数求函数f(x)=2的导数；的导数；xyo022)()( xfxxfy 解：根据导数定义，解：根据导数定义，. 00limlim2)(00 xxxyxf(2) 求函数求函数f(x)=0的导数；的导数；(3) 求函数求函数f(x)= sin的导数的导数.00).(01为常数为常数公式公式CC ,)(Cxfy 证明：证明：0)()( CCxfxxfy , 0 xy . 0lim)(0 xyCxfx (1) y=x的导数的导数求下列函数的导数求下列函数的导数,)()(xxxxxfxxfy 解解：根根据据导导数数定定义义，11limlim)(00 xxxyxf(2) y=x2的导数的导数,2

2、)()()(222xxxxxxxfxxfy 解解：根根据据导导数数定定义义，.2)2(limlim)(00 xxxxyxfxx (3) y=x3的导数的导数.3)()(23xxxf 220021)1(limlim1)()(11)()(xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxxxxfxxfxyxx 所以所以解：因为：解：因为：的的导导数数求求函函数数xy1)4( )()(21Rnnxxnn 公公式式算一算算一算(1) y=x4 ;(2) y=x-5 ;)3(xy ;1)4(2xy 注意公式中注意公式中,n的任意性的任意性.4x3-5x-62121 x-2x-3.cos)(sin3xx公式.sin

3、)(cos4xx 公式公式不需推导，但要注意符号的运算不需推导，但要注意符号的运算.aaaxxln)(5 公式公式xxee )(6公式公式axxogaln1)1 (7公式xnx1)1(8 公式公式记记 一一 记记记忆公式记忆公式5遍遍!1下列各式正确的是下列各式正确的是（ ）6551).(cos).(sinsin)cos.(cos).(sin xxDxxCxxBA（为常数）为常数） C2下列各式正确的是（下列各式正确的是（ ）3ln3)3.(3)3.(10ln).(log1).(logxxxaaDxCxxBxxAD3.填空填空(1) f(x)=80，则，则f (x)=_;_;)2(32的导数是

4、的导数是xy _)1(_;)(,)()3(等于等于等于等于则则fxfexfx 03132 xxee_)1 ()4(xogaaxln14.求下列函数的导数求下列函数的导数3153412)6()5()4(1)3()2()1(xyxyxyxyxxyxy 5、基本初等函数的导数公式、基本初等函数的导数公式（1）若）若f(x)=c,则则f (x)=_; （2）若）若f(x)=xn(nR),则则f (x)=_;（3）若）若f(x)=sinx,则则f (x)=_;（4）若）若f(x)= cosx,则则f (x)=_;（5）若）若f(x)=ax,则则f (x)=_;nxn-1axlna(a0)cosx-sin

5、x0（6）若）若f(x)=ex,则则f (x)=_;（7）若）若f(x)=logax,则则f (x)=_ (a0,且且a1);（8）若）若f(x)=lnx,则则f (x)=_。exaxln1x1例例1 假设某国家在假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为年期间的平均通货膨胀率为5，物价物价p(单位：元单位：元)与时间与时间t（单位：年）有如下函数关（单位：年）有如下函数关系系 其中其中p0为为t = 0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第那么在第10个年头，这种商品的价格上个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到涨的速度大约是多少（精确到0.01）?tp

6、tp%)51 ()(0解：根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的年的速度上涨。速度上涨。思考？ 如果上式的某产品p0=5,那么10个年头，这种产品的价格的速度大约是多少？当p0=5时，tttp05. 15%)51 (5)(求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与ttg05. 1)(乘积的导数法则法则1:f(x) g(x) = f (x) g(x);1: 求下列函数的导数求下列

7、函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x4-x2-x+3.xxycos321243xxyy=x3-x+3y=3x2-1法则法则2:应用应用2:求下列函数的导求下列函数的导数数(1)y=(2x(1)y=(2x2 2+3)(3x-2)+3)(3x-2)(2)y=(1+x(2)y=(1+x6 6)(2+sinx)(2+sinx)9818)23()32()23)(32(222xxxxxxyxxxxycos)1 ()sin2(665)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法则法则3:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf3:求下列函数的导数求下列函数的导数33)2(2x

8、xy(1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)cossin(222)3(36xxxy例例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨吨水净化到纯净度水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90 （2）98解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数解：净化费用的瞬时变化率

9、就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90( ) 1 (2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨1.求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=2xtanx 23) 13() 2() 2(xxyxyxln2)3(3

10、2) 12()4(xxy三三.综合应用综合应用:xxxy2cos2tan2)3415()2(322xxxyxxyxxln2ln2262) 12() 1() 12(2xxxxy2.已知函数已知函数y=xlnx(1)求这个函数的导数求这个函数的导数(2)求这个函数在点求这个函数在点x=1处的切线方程处的切线方程xxxxxyln1)(ln)(ln) 1 (解：11ln1)0 , 1 ()2(kP斜率切线过点切线方程是：切线方程是：y=x-1思考？如何求函数思考？如何求函数 的导函数的导函数：2lnxy 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,

11、y可以表示成可以表示成x的函数，那么称的函数，那么称这个函数为函数这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念如下函数由多少个函数复合而成如下函数由多少个函数复合而成：2ln. 4) 12(sin. 312. 22sin. 122xyxyxyxy)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (22xuuyxy1284)32()(2xuxuuyyxu

12、x105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux105. 005. 005. 0)105. 0()(xuuxuxeexeuyy)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux小结小结： 复合函数复合函数y=f(x)要先分解成基本要先分解成基本初等函数初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等，等，再求导：再求导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择根据函

13、数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求基本初等函数求导公式或复合函数求导方法导方法作业本：作业本：“基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则及导数的运算法则”例例5.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2) 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12