4.3 罗必达法则(新)ppt课件

1、1函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化本节研究本节研究:4.3(L4.3(LHospital)Hospital)()(limxgxf( 或或 型型)00 )()(limxgxf 第四章 2型型未未定定式式一一、004.1( )( )f xg x法则设函数和满足条件：0)(lim)(lim)1( xgxfaxax0)()2( xga的的空空心心领领域域内内可可导导，且且在在点点( )(3) lim( )xafxAgx( )( )limlim( )( )xaxaf xfxAg xg x则有定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方定义这种在一

2、定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则法称为罗必塔法则. .注意：在注意：在x=ax=a处，处，f(x),g(x)f(x),g(x)可以没有定义。可以没有定义。 型型003推论推论1.定理定理 1 中中ax 换为换为, ax, ax, x x之一之一,推论推论 2.若若)()(limxgxf 满满足足定定且且型型仍仍属属)(, )(,00 xgxf 理条件理条件, 则则)()(lim)()(limxgxfxgxf )()(limxgxf 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x)()(lim)()(limxgxfxgx

3、faxax 洛必达法则洛必达法则 型型00411lim131 xxx、求求例例 型型0011lim231 xxx）法法 322113121limxxx23lim23611 xx)1()1(lim31 xxx ）有有理理化化法法法法1解:5123lim22331 xxxxxx、求求例例 型型0012333lim123lim2212331 xxxxxxxxxx 型型00266lim1 xxx23 661 可否满足条件。可否满足条件。每一次都要判断一下每一次都要判断一下多次用罗必塔法则时，多次用罗必塔法则时，解:6例例3. 3. 求求原式原式 思考思考: 如何求如何求 ( n 为正整数为正整数) ?

4、.1arctan2limxxx 型型00 lim x211x 21x 解:221limxxx 11lim21 xx1 型型 nnn1arctan2lim 76220sin)cos1(lim4xxxx 、求求例例 型型00)0(sin22xxx由由于于)0(21cos12 xxx6222021limxxxx 所以原式所以原式411212 用罗必塔法则也不一定总是最简便用罗必塔法则也不一定总是最简便,有时可灵活选用其他简便方法，或者两者结合有时可灵活选用其他简便方法，或者两者结合起来应用。起来应用。解:8xxeexxxsinlimsin0 xxeexxxxsin1limsinsin0 原式原式ye

5、yy1lim10 )sin(xxy 型型0011lim0 yye:极极限限的的方方法法相相结结合合将将罗罗必必塔塔法法则则和和其其他他求求这些方法包括：这些方法包括：1.1.该分出的因子应及时分出；该分出的因子应及时分出；2.2.能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；3.3.能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。解:9)11ln(1sinlim4xxx 、求求例例 型型00 2211111cos1lim)11ln(1sinlim:xxxxxxIxxxxx1cos11lim 于于是是时时，

6、则则令令：. 0,1 xxII)1ln(sinlim0 原原式式1cos)1(lim0 1解:10型型未未定定式式二二、 4.2( )( )f xg x法则设函数和满足条件： )(lim)(lim)1(xgxfaxax0)()2( xga的的空空心心领领域域内内可可导导，且且在在点点( )(3)lim( )xafxAg x( )( )limlim( )( )xaxaf xfxAg xg x则有 型型定定理理。其其他他极极限限类类型型有有类类似似的的可多次用罗必塔法则可多次用罗必塔法则11)0(lnlim5 axxax、求求例例 型型axxxlnlim 01lim1 axxaxxex2lim6

7、、求求例例 型型xxxxexex2limlim2 02lim xxe 型型)n,a(axlimxnx为为自自然然数数1 )(1lim1 axaxx解:解:12或或求求解解。时时需需用用别别的的方方法法来来判判断断则则罗罗必必塔塔法法则则失失效效。这这或或求求导导后后发发生生循循环环时时，也也不不为为不不存存在在如如果果极极限限,)()(lim xgxfxxxxxcossinlim7 、求求例例 型型由由于于极极限限xxxxxxxxsin1cos1lim)cos()sin(lim 。，故故不不能能用用罗罗必必塔塔法法则则不不存存在在，也也不不为为 为为有有界界量量，于于是是和和为为无无穷穷小小量

8、量，时时，当当xxxxcossin1 xxxxxcos11sin11lim 原式原式,)()(lim,)()(lim不一定不存在不一定不存在极限极限不存在不存在极限极限xgxfxgxf 1 解:13xxxxsin1sinlim20求求xxxxxxxcos)1(1cos1sin2lim220 原式原式不不存存在在 )1cos(lim0 xx xxxx1sinlim20 原式原式xxx1sinlim0 正正xxxxxeeee limxxxxxeeee lim原原式式xxxxxeeee lim(循环循环)xxxee2211lim 原式原式正正 型型00 型型xxx21lim xxxxsinlim 0

9、 10101 14关关键键：或或其其他他办办法法求求解解。然然后后再再利利用用罗罗必必塔塔法法则则型型，型型或或先先将将它它们们化化为为 00型型 0. 1步骤步骤: :,10 .0100 或或型型未未定定式式解解法法三三、00100 ,xxxlnlim80 、求求例例)0(型型 xxxxxx1)(lnlimlnlim00 型型)1(1lim20 xxx 0lim0 xx).0(lnlim0 nxxnx求求解:15 11190 xxexlim、求、求例例)(型型 )1(1lim0 xxxexxe原原式式 型型00 xxxxxeee 11lim0 型型00 xxxe )x(elim 200101

10、 0000 型型 . 2步骤步骤: :0021 . )1(cotlim0 xxx 求求解:16步骤步骤: :)(,.特殊的幂指函数特殊的幂指函数型型00103 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 xxxlim 010、求求例例)0(0型型xxxexln xxxxxexln00limlim 10 e例例8.0 .0 xxxelnlim0 解:17xtanx)x(tanlim2411 、求、求例例)(型型 1xxxxxextanln)2(tan42tan4lim)(tanlim xxxtanln)2(tanlim4 而而)2csc2(tanseclim224xxxx 12sinlim4 xx 124 e)x(tanlimxtanx 型型00 xxxetanln)2(tanlim4 xxx2cottanlnlim4 )2(2sincossin1lim24 xxxx 解:18例例1 12 2.)(cotlimln10 xxx 求求型型)(0 )ln(cotln10ln10lim)(cotlimxxxxxex 取取对对数数得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式 型型)ln(cot