机械结构模态分析分解学习教案

1、会计学1机械结构模态分析机械结构模态分析(fnx)分解分解第一页，共111页。第1页/共110页第二页，共111页。第2页/共110页第三页，共111页。机械振动的研究(ynji)对象、意义振动，是指物理量在它的平均值附近不断(bdun)地经过极大值和极小值而往复变化的过程。机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。机械振动研究的对象是机械或结构，即具备质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把机械或结构按照力学原理，通过数学建模，抽象为力学系统（又称为数学模型）。可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。第3页/共110页第四页，共111页。第4页/共110页第五页，共111页。系统

2、(xtng)识别：分析已知的激励与响应，确定振动系统(xtng)的性质环境预测：已知振动系统和在未知激励下的响应，研究该未知激励的性质第5页/共110页第六页，共111页。第6页/共110页第七页，共111页。第7页/共110页第八页，共111页。第8页/共110页第九页，共111页。第9页/共110页第十页，共111页。第10页/共110页第十一页，共111页。第11页/共110页第十二页，共111页。阀体阀芯电磁铁第12页/共110页第十三页，共111页。第13页/共110页第十四页，共111页。x1kx2x1cx2第14页/共110页第十五页，共111页。按激励(jl)分：自由振动 受迫

3、振动自激振动 参数共振第15页/共110页第十六页，共111页。按自由度分：单自由度振动(zhndng)多自由度振动(zhndng)连续体振动(zhndng)第16页/共110页第十七页，共111页。一、简谐运动一、简谐运动(jin xi yn (jin xi yn dn)dn)按时间的正弦函数(hnsh)(或余弦函数(hnsh)所作的振动sinxAt振幅(zhnf)相位初相位圆频率第17页/共110页第十八页，共111页。简谐振动(zhndng)的速度和加速度sinxAt位移(wiy)速度(sd)加速度cosxAt2sinxAt 大小和位移成正比方向和位移相反，始终指向平衡位置第18页/共1

4、10页第十九页，共111页。拍1212sinsin,atbt不同(b tn)频率振动的叠加频率(pnl)接近于相等时拍的频率：每秒中振幅(zhnf)从最小值经过最大值到最小值的次数拍的圆频率：w1-w212第19页/共110页第二十页，共111页。简谐振动(zhndng)的复数表示复平面上的一点z代表一个(y )矢量使该矢量以等角速度w在复平面内旋转（复数旋转矢量） tPA实轴虚轴cossini tzAtitAesinImImi tyAtzAecossiniexi第20页/共110页第二十一页，共111页。速度(sd)、加速度(sd)的复数表示位移(wiy)i txAe速度(sd)i ti t

5、dxAei Aedt加速度2i ti tdxdxi AeAedtdt 1ie /2iei/2itA e2itAe对复数Aeit每求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转/2第21页/共110页第二十二页，共111页。谐波分析把一个周期函数展开成傅立叶级数(j sh)，亦即展开成一系列简谐函数之和一般的周期振动可以(ky)通过谐波分析分解成简谐振动第22页/共110页第二十三页，共111页。谐波分析傅立叶级数(j sh) 0112111210111coscos2.2sinsin2.cossin2nnnaF tatatbtbtaantbnt1:基频

6、n 002TaF t dtT 102cosTnaF tntdtT 102sinTnbF tntdtT第23页/共110页第二十四页，共111页。谐波分析两个(lin )频率相同的简谐振动可以合成一个简谐振动111cossinsinnnnnantbntAnt22nnnAabtannnnab把谐波分析 的结果形象化：An，jn和w之间的 关系(gun x)用图形来表示，称为频谱第24页/共110页第二十五页，共111页。第25页/共110页第二十六页，共111页。第26页/共110页第二十七页，共111页。O隔离体受力分析kx( )x tmk第27页/共110页第二十八页，共111页。000(0)

7、, (0)mxkxxxxx2n000(0), (0)xxxxxxnkm第28页/共110页第二十九页，共111页。12cossincos()nnnxAtAtAt10Ax02n xA22002n xAx00narctan xx 第29页/共110页第三十页，共111页。 n22mTknn1122kfTm第30页/共110页第三十一页，共111页。 dd0ddxxmxkxtt22d110d22mxkxt221122TEmxUkxTEUE第31页/共110页第三十二页，共111页。 TEUE222nn1sin ()2TEmAt22n1cos ()2UkAt222002n11()22TxEUkAx第3

8、2页/共110页第三十三页，共111页。 22max1122TmAmx 动能(dngnng)系数 2maxnUkmT第33页/共110页第三十四页，共111页。 000(0),(0)0mxcxkxxxxkxcxckxmmO20020(0),(0)0nnxxxxxxn22ccmmk第34页/共110页第三十五页，共111页。 estxA特征方程20mscsk2220nnss临界阻尼 22encmkm22enccccmmk第35页/共110页第三十六页，共111页。 21,21nns 第36页/共110页第三十七页，共111页。 1212( )s ts tx tAeA e三种(sn zhn)情况

9、1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼=1，重根。阻尼等于临界阻尼 1=121,2(1)ns 221112( )()nnntttx teAeA e1,2ns 12( )()ntx tAA t e第38页/共110页第三十九页，共111页。 121,2(i 1)ns 阻尼(zn)固有频率 2n1d 12( )(cossin)ntddx tectct( )cos()ntdx tXet1020,()/ndcx cxx第39页/共110页第四十页，共111页。 对数(du sh)衰减率121121cos()cos(nntdtdXetxxXet12()nn dttTee21n dTxx e1222ln1

10、ndxTx第40页/共110页第四十一页，共111页。222cosnnnxxxAtk xc xckxmmxO0cosFt 方程(fngchng)解22 2nncoscos()1 () 2ntdXtxBet第41页/共110页第四十二页，共111页。 系数(xsh)220001000tanndndxxBxxxx222nn1n2n1 ()22tan1 ()AX第42页/共110页第四十三页，共111页。 放大系数222nn11 ()2XA01234X/A 0.51/ n10.70.40.30.21 . 00第43页/共110页第四十四页，共111页。00123210.70.50.20.10 相频特

11、性1n2n2tan1 ()第44页/共110页第四十五页，共111页。 全解第45页/共110页第四十六页，共111页。 全解振动计01234675012ABCy0/a0/n位移(wiy)测量计扰动频率大于仪器的固有频率（B点），记录的振幅逐渐(zhjin)接近于扰动频率的振幅仪器的固有频率应该比要记录测量的频率低2倍当振动包含高阶频率时，不影响位移振动计的测量第46页/共110页第四十七页，共111页。 振动(zhndng)加速度计01234675012ABCy0/a0/n2020/1/nnya 2002nay振动加速度计的固有频率应该是所记录(jl)测量的最高频率的2倍以上第47页/共11

12、0页第四十八页，共111页。 振动(zhndng)加速度计振幅r0/a/n00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0抛物线c/cc=0.5c/cc=0.7为了(wi le)避免高阶谐振共振影响振动加速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼0.5和0.7临界阻尼比无阻尼曲线更接近理想加速度计曲线第48页/共110页第四十九页，共111页。 振动(zhndng)加速度计-相位12300306090180/nc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150当阻尼在0.5-0.7临界阻尼之间时，相

13、位差特性曲线很接近低于共振(gngzhn)区域的对角线：相位差近似正比于频率，记录的波的合成与实际波相同。2n 第49页/共110页第五十页，共111页。 振动的隔离(gl)原理0sinPt0sinPtk通过弹簧传给下层(xicng)结构的力？012345-12-3-41x0/xstABC/n00000/stxxkxxPkP弹簧力传递力可传性外力外力可传性第50页/共110页第五十一页，共111页。 振动的隔离(gl)原理: 阻尼/n隔振系数(xsh)10201230.250.50.5c/cc=0l/n1.41区域中，阻尼使隔振系数减小(但仍然比1大)l阻尼的存在使隔振系数更坏？2l阻尼的存在

14、可以有效防止共振l阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补第51页/共110页第五十二页，共111页。 脉冲脉冲(michng)力力t = 时的单位时的单位(dnwi)脉脉冲力冲力重要性质：重要性质：F F( (t t) )在在t t = = 连续，则有连续，则有 ()0()d1tttt( ) ()d( )F tttF第52页/共110页第五十三页，共111页。 系统系统(xtng)(xtng)的单位脉冲响应的单位脉冲响应 条件：条件：t=0t=0以前系统静止，以前系统静止，t=0t=0时刻受到一个时刻受到一个(y )(y )单位脉冲单位脉冲力作用力作用 解为单位脉冲响应解为单位脉冲响

15、应 ( )(0 )0, (0 )0mxcxkxtxx1( )sin0nitddh tettmh(t) = 0 t0 第53页/共110页第五十四页，共111页。 卷积极卷积极(jj)分分把任意激励把任意激励F(t)F(t)看成看成(kn chn)(kn chn)一系列脉冲函数的叠加一系列脉冲函数的叠加 0( )() ( )dtx th tF定解问题定解问题00( )(0), (0)mxcxkxF txx xx解解0000( )e(cossin)() ()dntndddtxxx txtth tF第54页/共110页第五十五页，共111页。第55页/共110页第五十六页，共111页。 例例1 11

16、2122121221222 12322 12322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xf tm xc xcc xk xkk xf t第56页/共110页第五十七页，共111页。 x =x1，x2TT12 ,x xxT12 ,x x x1002mmM122223ccccccC122223kkkkkkKf(t) =f1(t)，f2(t)T( ) tMxCxKxf第57页/共110页第五十八页，共111页。 质量质量(zhling)矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质性质对称性对称性正定性正定性(dng xng)耦合耦合惯性耦合惯性耦合阻尼耦合阻尼耦合弹性

17、耦合弹性耦合耦合的消除耦合的消除000TTx Mxx Mxx000TTx Cxx Cxx000TTx Kxx Kxx第58页/共110页第五十九页，共111页。 2 反向运动反向运动例：对称例：对称(duchn)系统，系统， 特殊初始条件下的振动特殊初始条件下的振动1 同向运动同向运动(yndng)x1(0)= x2(0)= x0， 120(0)(0)xxxx1(0)= x2(0)= x0120(0)(0)xxx1km122kkm第59页/共110页第六十页，共111页。 第60页/共110页第六十一页，共111页。 3 任意任意(rny)初始条件初始条件 分解分解(fnji)为两个初始条件为

18、两个初始条件110220110220(0),(0),(0),(0)xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx 第61页/共110页第六十二页，共111页。 数学数学(shxu)提法提法 方程方程(fngchng)0MxKx特征值问题特征值问题频率方程频率方程K = 2Mu|kij2mij|=0解为解为固有频率固有频率 12，n振型振型 1 ， 2 ， ， n固有频率矩阵固有频率矩阵 =diag(1，2，n)振型矩阵振型矩阵 = 1， 2， nK = K 1 ，K 2 ，K n= 1

19、2 1 ，22 2 ，n2 n第62页/共110页第六十三页，共111页。 振型的正交性振型的正交性 当当 r s时，如果时，如果(rgu)rs，则有，则有00TsrTsrKM可证：振型之间线性无关可证：振型之间线性无关(wgun)可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交K=xTKy, M=xTMy 当当y=x时时K=xTKx, M=xTMx 第63页/共110页第六十四页，共111页。 振型正交性的物理振型正交性的物理(wl)意义意义 如果如果(rgu) x= arr +

20、ass 则则 xTKx= ar2 rTK r + as2 sTK srrssxbb22111222TTTrrrsssx MxbMbM第64页/共110页第六十五页，共111页。 振型归一化振型归一化 1 令令1TrrM2TrrrK2 令令 r的某一分量的某一分量(fn ling)为为 1。比如取。比如取 r 的分量的分量(fn ling)中绝对值最大的分量中绝对值最大的分量(fn ling)为为 1， 2TrrrrrKMKTrrrMM第65页/共110页第六十六页，共111页。 振型坐标振型坐标(zubio)的解耦性的解耦性 阻尼矩阵阻尼矩阵(j zhn)的处理的处理 T12T12diag(,

21、)diag(,)dndnK KKM MMKKMMTdCC Rayleigh阻尼阻尼 C = M +K 11MCKKCM11KM CCMK11CKMMK C Fawzy证明证明C可对角化应满足下述条件之一可对角化应满足下述条件之一 第66页/共110页第六十七页，共111页。 方程方程(fngchng)2()0MCK 特征方程特征方程0MxCxKx令令 q= e t20MCKn对共轭复根对共轭复根(f n)i1,2,irrdrrrdr= + rn= 2|1,2,2rrdr +rn第67页/共110页第六十八页，共111页。 物理坐标物理坐标(zubio)下的方程下的方程 ( ) tMxCxKxf

22、x=y，且两边左乘，且两边左乘T ，得到振型坐标，得到振型坐标(zubio)下的方程下的方程( )dddtM yC yK yq11111112222222( )( )( )nnnnnnnM yC yK yq tM yC yK yq tM yC yK yq t写出分量形式写出分量形式 第68页/共110页第六十九页，共111页。 初始条件的处理初始条件的处理(chl) 00(0)(0)xxyy两边两边(lingbin)左乘左乘TM同样同样 00(0)(0)xxyy0120(0)(0)diag(,)nm mmMxMxMyy0012111diag(,)nmmmyMx0012111diag(,)nmm

23、myMx第69页/共110页第七十页，共111页。 展开展开(zhn ki)定理定理 1122nnyyyxy 弹性力弹性力 位移位移(wiy) 1122()snnyyy fKxKy =KKK 222111222()nnnyyy=MMM第70页/共110页第七十一页，共111页。 方程方程(fngchng) ( )MxCxKxf t引入辅助引入辅助(fzh)方程方程0MxMx令令( )xq tx ( )( )0f tp t0CMAM00KBM( )AqBqp t状态空间方程状态空间方程第71页/共110页第七十二页，共111页。 令令 q= e t()0AB0AB特征方程特征方程 n对共轭复根对

24、共轭复根(f n)i1,2,irrdrrrdr= + rn=2|1,2,2rrdr +rn第72页/共110页第七十三页，共111页。 由由()0rrAB得到得到(d do)n对对2n维共轭向量维共轭向量(特征特征向量向量) rr并有并有 1,2,rrrrrrrrrn 称称r为第为第r阶模态向量阶模态向量(xingling) 第73页/共110页第七十四页，共111页。 令令12,n 则则 这里这里(zhl) 称：称：为复模态矩阵为复模态矩阵(j zhn) 1212,nn 1212diag(,)diag(,)nn 为特征向量矩阵为特征向量矩阵 为频率矩阵为频率矩阵 第74页/共110页第七十五

25、页，共111页。 复特征向量的正交性复特征向量的正交性T0rsrrsars H0rsrrsars r，s=1，2，, ,nT0rsrrsbrs H0rsrrsbrs rrrrrrbbaa 第75页/共110页第七十六页，共111页。 上面上面(shng min)公式展开公式展开得得T0()rsrsrrsarsMCr，s=1，2，, ,nT0()rsksrrsbrs KH0()rsrsrrsarsMCH0()rsksrrsbrs K第76页/共110页第七十七页，共111页。 1212diag,nna aa a aaA分块有分块有12(2)diag,na aaCH12(2)diag,na aaC

26、H(2Re)0C第77页/共110页第七十八页，共111页。 分块有分块有1212diag ,nnb bb b bb 212()diag ,nb bbK H()0K H212()diag ,nb bbK 第78页/共110页第七十九页，共111页。 复模态质量复模态质量(zhling)Hrrrm 复模态参数复模态参数(cnsh)Hrkrr 复模态刚度复模态刚度HrcrrCr=1，2，, ,n复模态阻尼复模态阻尼并有并有2Re0rrrmc0rrrrkm r=1，2，, ,n第79页/共110页第八十页，共111页。 复模态阻尼复模态阻尼(zn)衰减衰减系数系数Rerrrrrc2m|rrrrrkm

27、复模态固有频率复模态固有频率( yu pn l)2rrrrrrc=m kr=1，2，, ,n复模态阻尼比复模态阻尼比并有并有复模态阻尼固有频率复模态阻尼固有频率2221rdrrrr22ii1ii1rrdrrrrrrrdrrrrr= + = 第80页/共110页第八十一页，共111页。( )AqBqp t 物理坐标物理坐标(zubio)下的方程下的方程 q=y，且两边左乘，且两边左乘T ，得到复特征向量坐标，得到复特征向量坐标(zubio)下的下的方程方程12121212diag(,)diag( , )( )nnnna aa a aab bb b btyywTTT(0)(0),(0)qxx初始条

28、件初始条件 120(0)(0)=diag(,)(0)na aazyAqz第81页/共110页第八十二页，共111页。0AqBq 物理坐标下的自由物理坐标下的自由(zyu)振动振动解解 特征向量坐标特征向量坐标(zubio)下下的解为的解为 12120diag(e ,e,e,e ,e,e)nnttttttyy 由由q= y中取出前中取出前n项，得项，得1212diag(e ,e,e) (0)diag(e ,e,e) (0)nnttttttxzz1(0)e(0)errnttrrrrrzz第82页/共110页第八十三页，共111页。 如果如果(rgu)系统以某阶阻尼固有频率振动时系统以某阶阻尼固有频

29、率振动时 ，有，有 其中其中(qzhng)第第s个坐标的运个坐标的运动为动为 设设(0)e(0)errttrrrrrzzx(0)e(0)errttsrsrrsrrxzziie(0) |(0)|esrrsrsrrr=|zz则则2|(0) ecos(+)rtsrsrrdrsrrxz|t+第83页/共110页第八十四页，共111页。 一般粘性阻尼系统以一般粘性阻尼系统以r阶主振动做自由振动时，每阶主振动做自由振动时，每个物理坐标个物理坐标(zubio)的初相位的初相位(srr)不仅与该阶主不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标振动有关，还与物理坐标(zubio)s 有关，即各物理坐有关，即各物理坐标标(

30、zubio)初相位不同。因而，每个物理坐标初相位不同。因而，每个物理坐标(zubio)振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振型节振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化的，即不具备模态保持性，主振型不再点（线）是变化的，即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点是驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点第84页/共110页第八十五页，共111页。 简支梁二阶振型半个周期简支梁二阶振型半个周期(zhuq)内的变化内的变化（a）实模态系统；（）实模态系统；（b）复模态系统）复模态系统第85页/共110页第八十六页，共111页。第86

31、页/共110页第八十七页，共111页。 假定：细长等截面杆假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截振动时横截面仍保持为平面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。则同一横截面上各点在则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。方向作相等的位移。参数：杆长参数：杆长l，截面积，截面积S，材料，材料(cilio)密度密度，弹性模量，弹性模量E第87页/共110页第八十八页，共111页。 第88页/共110页第八十九页，共111页。22222xuatu 微元分析微元分析(fnx)：mAEa 2第89页/共110页第九十页，共1

32、11页。 第90页/共110页第九十一页，共111页。 第91页/共110页第九十二页，共111页。 解解：设：设 u(x,t)=X(x)T(x) )()()()(2xXtTatTxX 即即 )()()()(2xXxXatTtT 0)()(2tTtT 0)()(22 xXaxX第92页/共110页第九十三页，共111页。)()(tiAetT 解解为为xaCxaCxXcossin)(21时间时间(shjin)域，初值问题域，初值问题空间空间(kngjin)域，边值问题域，边值问题固支边条件固支边条件x=0时时，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0 x=l时时，u(l,t)=X(0)

33、T(l)=0，即X(l)=0 自由边条件自由边条件x=0时时, , ，即，即 0)()0(), 0(tTdxdXxtu0)0(dxdXx=l时时, , ，即，即 0)()(),(tTdxldXxtlu0)(dxldX第93页/共110页第九十四页，共111页。0sinla 例：如果例：如果(rgu)两端固支，有两端固支，有xlxsin1lxlx2sin2x两端固支杆纵向振动特征方程（频率两端固支杆纵向振动特征方程（频率(pnl)方程）方程） 这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶固这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶固有振型是：有振型是： nla（n=1,2,） mEAlna

34、lnn（n=1,2,） C2=0 0sin1laC显然，显然，C10，故有：，故有： xlnxaxXnnsinsin)(第94页/共110页第九十五页，共111页。 方程方程(fngchng)dxMk22)(tdxxIdxxMkMk 弹性轴轴向坐标弹性轴轴向坐标x，扭转变形，扭转变形(x,t)，单位，单位(dnwi)长度对长度对x轴轴的转动惯量的转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度为为GJ(x)。 0)()(22txIxxGJx 当转动惯量当转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度GJ(x)与与x无关时无关时02222tIxGJ2222222xxIGJt第95页/共110页第九十六

35、页，共111页。02244tymxyEI 方程方程(fngchng)用分离变量用分离变量(binling)(binling)法求解，法求解，令令 )()(),(tTxYtxy02244tYmYxYEIT令令 ，则上式为：，则上式为： TdtTdYdxYdamEIIV 22442,TTYYaIV 222TTYYaIV 第96页/共110页第九十七页，共111页。)(tiAeT 方程方程(fngchng)02TT 022)4(YaYxaCxaCxachCxashCxYcossin)(4321边界条件边界条件简支简支0022dxYdYlx，处，第97页/共110页第九十八页，共111页。 固支固支自

36、由自由(zyu)000dxdYYx，处，0003322dxYddxYdx，处，00dxdYYlx，处，003322dxYddxYdlx，处，第98页/共110页第九十九页，共111页。 固支固支自由自由(zyu)000dxdYYx，处，0003322dxYddxYdx，处，00dxdYYlx，处，003322dxYddxYdlx，处，第99页/共110页第一百页，共111页。第100页/共110页第一百零一页，共111页。 样本样本(yngbn)函数函数 xr(t) t ( ， ) 随机随机(su j)函数函数 txtXk状态状态 1tX数字特征数字特征 均值均值 x=EX(t) 均方值均方值

37、 x=EX2(t) 方差方差 E(X (t) x )2 第101页/共110页第一百零二页，共111页。 相关相关(xinggun)函数函数 自相关自相关(xinggun)(xinggun)函数函数 平稳随机过程平稳随机过程 统计性质、趋势与时间无关统计性质、趋势与时间无关 1212,xRt tE X tX t互相关函数互相关函数 1212,xyRt tE X t Y t均值、均方值和方差为常数均值、均方值和方差为常数 相关函数是时差的函数相关函数是时差的函数 xRE X t X t xyRE X t Y t各态遍历过程各态遍历过程 第102页/共110页第一百零三页，共111页。 自相关自相关(xinggun)函数性质函数性质 1 1 偶函数偶函数 2 周期随机过程的自相关函数周期随机过程的自相关函数(hnsh)仍是周期函数仍是周期函数(hnsh)( )()xxRR xxX tX tRRT( )()( )() 320( )xxR 220( )( )xxxxRR 45 如果不是周期随机过程如果不是周期随机过程2lim( )xxR 第103页/共110页第一百零四页，共111页。 互相关函数互相关函