区庄—空间几何体1

1、第 课 空间几何体1 东山口 杨文江【教学目标】一、知识目标1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2、能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3、会画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；二、能力目标 让学生通过观察立体几何体，概括出柱、锥、台、球的几何结构特征，提高归纳概括的能力，培养空间思维能力3、 情感目标使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力【教学重点】1、柱体、锥体、台体、球体的结构特征；2、画出简单组合体的

2、三视图，或给出三视图和直观图，还原或想象出原几何体的结构特征【教学难点】1、柱、锥、台、球的结构特征；2、三视图与直观图与实物图之间的转化【知识点梳理】一、注意空间几何体结构特征：多面体：棱柱、棱锥、棱台；旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球1、一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正

3、棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形中心的棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

4、2、几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分二、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）、俯视图（从上向下正投影）1、三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等2、常见简单几何体的三视图（1）球的三视图都是圆，并且三

5、个圆全等；（2）长方体的三视图都是矩形；（3）圆柱的正视图、侧视图是矩形，而俯视图是圆；（4）圆锥的正视图、侧视图是等腰三角形，而俯视图是圆及圆心点；（5）圆台的正视图、侧视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；（6）棱柱的正视图、侧视图都是平行四边形，俯视图是棱柱的底面多边形；（7）棱锥的正视图、侧视图都是三角形，俯视图是棱锥的底面多边形；（8）棱台的正视图、侧视图都是梯形，俯视图是各边平行的相似多边形3、在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来三、空间几何体的直观图1、 空间几何体的直观图常用斜二测画法画法来画，基本步骤是：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴、

6、y轴 ，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于O，且使xOy，他们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x 轴、y 轴的线段；（3）已知图中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半推论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为：12、 空间几何图形的直观图增加以下画法（1）画轴：增加z轴，；（2）画底面；（3）画侧棱（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）；（4）成图注意：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线四、中心投影与平行投影 在一束平行光线照耀下形成的投影，叫做平行投影；光由一点向外散射

7、形成的投影，叫做中心投影(1)平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线交于一点(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形(3)平行投影的性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且相等；与投影面平行的平面图形，它的投影与这个平面图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；投影效果：三视图是

8、正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形【典型例题】题型一、 柱、锥、台、球的结构特征例题1：将下列几何体按结构分类填空：集装箱；油罐；排球；羽毛球；橄榄球；氢原子；魔方；金字塔；三棱镜；滤纸卷成的漏斗；量筒；量杯；十字架 （1）具有棱柱结构特征的有 ；（2）具有棱锥结构特征的有 ； （3）具有圆柱结构特征的有 ；（4）具有圆锥结构特征的有 ； （5）具有棱台结构特征的有 ；（6）具有圆台结构特征的有 ； （7）具有球结构特征的有 ；（8）是简单集合体的有 ； （9）其它的有 【解析】；无；.【点评】将生活中常见的物品与简单的空间几何体联系起来，主要考查对立体几何体结构特征的认识

9、例题2：下面有四个命题，其中正确命题的个数是（ ）(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A，命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题(3)缺少第二个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备【点评】主要考查对正棱锥的正确理解，正棱锥必备两点缺一不可例题3：圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（ ）等边三

10、角形 等腰直角三角形顶角为30°的等腰三角形 其他等腰三角形【解析】如图4所示，取圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为，它的底面圆周长等于圆锥侧面展开图的弧长，即，故轴截面的底边长为，所以此圆锥的轴截面为等边三角形【点评】旋转体有关的计算变式1：用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是 （ ）A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱，圆锥，球体的组合体【解析】选C，由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.变式2：下图是由哪个平面图形旋转得到的 （ ）【解析】选A，图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是

11、直角三角形，下面应是直角梯形题型二、空间几何体的三视图例题4：画出下列空间几何体的三视图 【解析】（1）的三视图如下： 正视图 侧视图 俯视图 （2）的三视图如下： 【点评】主要考查空间几何体三视图的画法，必须对三视图有正确的理解例题5：下列几种关于投影的说法不正确的是 （ ）A平行投影的投影线是互相平行的B中心投影的投影线是互相垂直的C线段上的点在中心投影下仍然在线段上 D平行的直线在中心投影中不平行【解析】选B，根据平行投影的定义，A是正确的；中心投影的投影线是相交于一点，但不一定互相垂直【点评】对平行投影和中心投影的正确理解在一束平行光线照耀下形成的投影，叫做平行投影；光由一点向外散射形

12、成的投影，叫做中心投影平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线交于一点例题6：将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何体按图(2)所示方向的侧视图为（ ） 【解析】选A，由正三棱柱的性质得侧面AED底面EFD，则侧视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部【点评】根据正三棱柱的性质，找出空间体的三视图例题7：长方体三条棱长分别是，则从点出发，沿长方体的表面到的最短矩离是（ ） 【解析】选A，如图7所示，在长方体的表面从点到由三条路径（1）从点沿着面和面到点，如图8所示，将长方体的侧面和侧面沿着棱展开使得矩形和矩形在同一个平面上，则此时

13、，从点到点的最短距离；（2）从点沿着面和面到点，如图9所示，将长方体的侧面和侧面沿着棱展开使得矩形和矩形在同一个平面上，则此时，从点到点的最短距离；（3）从点沿着面和面到点，如图10所示，将长方体的侧面和侧面沿着棱展开，使得矩形和矩形在同一个平面上，则此时，从点到点的最短距离由于，故最短距离为，答案为选项【点评】简单几何体侧面展开图的应用变式3：说出下列三视图所表示的几何体： 正视图 侧视图 俯视图【解析】该三视图表示的是一个正四棱台从给定的三视图可以看出变式4：如图（1），E、F分别是正方体的面ADDlAl，面BCClB1的中心，则四边形BFDlE正在该正方体的面上的射影（即本节所指的正投影

14、）可能是图（2）中的_（把可能的序号都填上）【解析】 变式5：如图13所示，水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示图13中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面则“祝”“你”“前”分别表示正方体的 【解析】后面，上面，左面（提示：“祝”和“似”相对，“你”和“程”相对，“前”和“锦”相对）变式6：用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它至少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？俯视图正视图【解析】（图形不唯一）最少需要9个小立方块，最多需要14个小立方块题型三、空间几何体

15、的直观图例题8：用斜二测画法画出正六棱锥的直观图【解析】画法为：（1）画出六棱锥的底面.在正六边形中，取所在的直线为轴，对称轴所在的直线为轴，两轴相交于点（如图10（1）所示），画相应的轴、轴、轴，三轴相交于点，使，（如图10（2）所示）；在图10（2）中，以为中点，在轴上取，在轴上取，以点为中点画平行于轴，并且等于；再以点为中点画平行于轴，并且等于；连接、，得到六边形水平放置的直观图（2）画正六棱锥的顶点，在轴上截取点，使；（3）连线成图：连接、，被遮挡的部分改为虚线并擦去轴、轴和轴，便得六棱锥的直观图，如图10（3）所示【点评】画空间几何体(1)画轴:xoy=，；（2）画底面；（3）画侧棱

16、（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变）（4）成图例题9：有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图15所示），则这块菜地的面积为 【解析】法一：设菜地的原面积为，直观图（即直角梯形）的面积为，根据平面图形的原面积与其直观图面积之间的换算关系是，法二：根据斜二测画法的原则将原图形进行还原得到图16，则在原图中，且，则【点评】主要考察斜二测图形与原图的相互转化变式7：如图14为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 （ ）【解析】选，根据斜二测画法的规则：平行于轴或在轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于轴或在轴上的线段的长度在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到

17、，然后将图形还原成原图形变式8： 已知正三角形ABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高线为y轴，画出它的水平放置的直观图ABC，则ABC的面积是（ ）A. a2 B. a2 C. a2 D. a2【解析】D，AD=，而高线h=AD=，所以【方法与技巧总结】1、空间几何体的结构特征2、原图与直观图中的“三变、三不变”： 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1、给出下列命题：以直角三角形的一边旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线.其中正

18、确命题的个数是（ ） 2、下列说法正确的是（ ）有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）正方形圆锥三棱台正四棱锥ABCD4、说出下列三视图表示的几何体是 （ ） A正六棱柱B正六棱锥 C正六棱台 D正六边形5、已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为6、已知的斜二测直观图是边长为的等边，那么原的面积为 7、如图，已知正四棱台AB

19、CD ­A1B1C1D1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段B1C的长是 8、圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm，高为8 cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm，求截面面积9、已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积10、根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图 正视图 侧视图 俯视图【课后作业】1、下列命题中正确的是 （ ）有两个面相互平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形棱柱的侧

20、棱都相等，侧面都是平行四边形2、如图14所示，已知长方体中，过和分别作一个平面交底面于、，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是 （ ） 3、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） 4、直角梯形以其较大的底边为旋转轴，其余各边旋转所得的曲面的几何体可看作 （ ）一个棱柱叠加一个圆锥 一个圆台叠加一个圆锥一个圆柱叠加一个圆锥 一个圆柱挖去一个圆锥5、一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的正视图、侧视图、俯视图如图23所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是 （ ） 6、如图24所示为物体的实物图，在以下四个选项中有一个是它的俯视图，正确

21、的是（ ）7、在长方体中，是和的交点，以为四棱锥的顶点，长方体的面为棱锥的底面，则可构成 个棱锥8、在直角中，则以斜边所在直线为轴旋转一周可得几何体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是 9、长方体中，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 【拓展训练】1、（2008年江西卷）连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为的球的两条弦、的长度分别为、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦、可能相交于点；弦、可能相交于点；的最大值为；的最小值是其中真命题的是 （ ） 2、（2007年安徽卷）如图16所示，在正方体上任意选择个顶点，它们可能

22、是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体3（2010年福建卷理）如图17所示若是长方体被平面后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是 （ ） 四边形为矩形 是棱柱 是棱台4、（2011年山东卷）图31是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图其中真命题的个数是（

23、 ） 5、（2011年全国新课标理）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图32所示，则相应的侧视图可以为 （ ）6、，则多面体的正视图（也称主视图）是（ ）【参考答案】1、 巩固练习答案1. （提示：根据旋转体的形成来判断，但注意旋转轴的不同而变成不同的旋转体，其中注意母线，另外用平面去截圆锥，若截面平行于圆锥的底面，则可以得到一个圆台和一个圆锥，圆台的母线为半圆.）2. （提示：选项中的三角形不一定共顶点；选项中缺少“两个底面多边形相似“这个条件；选项中缺少“每相邻两个侧面的公共边互相平行这个条件.）3. D 4. A 5.10 6. ，则.7. 解析：连接上底面对角线B1D1的中点O1

24、和下底面BD的中点O，得棱台的高OO1，过点B1作OO1的平行线交BD于点E，连接CE.在BCE中，由BC=2，BE=，CBE=45°，利用余弦定理可得CE=，故在RtB1EC中易得B1C=.8. 如图所示，截面为ABCD，取AB中点F，CD中点E，连接OF，O1E，EF，O1D，OA，则O1EFO为直角梯形，ABCD为等腰梯形，EF为梯形ABCD的高，在直角梯形O1EFO中，EF= (cm)，在RtO1ED中，DE=4 (cm)，同理，AF=8(cm)，S梯形ABCD=2(4+8)=12 (cm2)9、建立如图所示的xOy坐标系，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC

25、的高.把y轴绕原点顺时针旋转45°得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A、B点即为A、B点，长度不变已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得 ，所以OCaa， 所以原三角形ABC的高OCa，所以SABC×a×aa210、分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个上面小而底面大的圆台，我们可以先画出上、下底面圆，再画母线画法：（1）画轴 如下图， 画x轴、y轴、z轴 , 三轴相交于点O，使xOy=45°,xOz=90°. z y ABA B xy A B x AB（2）画圆台的两底面，画出底面O 假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O，使OO等于三视图中相应高度，过O作Ox的平行线Ox