全等三角形证明经典50题(含答案)

1、1.已知：AB=4 AC=2 D是BC中点，111749AD是整数， 求AD解：延长AD至UE,使AD=DEvD是BC中点 BD=DC在厶ACDfy BDE中AD=DE/BDEMADCBD=DCACD2ABDEAC=BE=2在厶ABE中AB-BE AEVAB+BEvAB=4即4-2V2AD 4+21vADBC寸，E点是射线AB,DC的交点）。贝心AED是等腰三角形 AE=DE而AB=CDBE=CE等量加等量，或等量减等量） BEC是等腰三角形15.P是/BAC平分线AD上一点，ACAB求证:PC-PBvAC-ABB在AC上取点E,使AE=AB。/ AE=ABAP=AP/EAP= ZBAE, E

2、APBAPPE=PB。PCVEC+PEPCV(ACAE)+PBPCPBVACAB。16.已知/ABC二玄C,/ 仁/2,BE!AE,求证:证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C/ABC=3/CABD=/ABC-/DBC=3/C-/C=2/C;/ADB=/C+/DBC=2/C;AB=ADAC-AB=2AGE全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=5DC=CF=218.如图，在ABC中,B=DC/ 仁/2,求证：ADL BC解：延长AD至BC于点E,/ BD=DC BDC是等腰三角形又/1=/2 DBC+/1=/DCB+/2即/ABC=/ACB ABC是等腰三角形AB=AC在厶ABD

3、和厶ACD中 ACAB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线,AE垂直BD/ BE丄AE点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD,AE垂直BD点E也是BD的中点BD=2BE/ BD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17.已知，E是AB中点，AF=BD BD=5 AC=7求DCAB=AC/1=/2BD=DCABD和厶ACD是全等三角形(边角边)/ BAD= / CADAE是厶ABC的中垂线AE丄BCAD丄BC19.如图，0M平分/POQ MALOPMBLOQ A、B为垂足，AB交0M于点N.求证：/OABZOBA证明：TOM平分/POQ /POW/

4、QOMTMALOP MBL OQ/MA8/MBO= 90TOMWOMAOIWABOM(AASOA= OBTONWONAOIABON(SAS /OAB/OBA/ONA/ONBT/ONA/ONB= 180/ONA=ZONB= 90OMLAB20. （5分）如图，已知AD/ BC/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AC+BCAB做BE的延长线，与AP相交于F点,vPA/BC/PAB+ZCBA=180，又v,AE, BE均为/PAB和/CBAI的角平分线/EABZEBA=90 AEB=90,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE BF，且AE为ZFAB的角平分线三

5、角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,ZEBCZDFE且BE=EFZDEFZCEB三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21.如图，ABC中,AD是ZCAB勺平分线，且ABAGCD求证：ZC=2ZB延长AC到E使AE二AC连接EDvAB=AC+CDCD=CE可得ZB=ZECDE为等腰ZACB=Z2 B22.(6分)如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEIAC于E,BF丄AC于F,若AB=CD AF=CE BD交AC于点M(1)求证：MB=MD，ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不

6、变，上述结论能否成立?若成立请给予证明；若不成立请说明理由.四边形BEDF是平行四边形.(1)连接BE,DF./DE丄AC于E,BF丄AC于F,/DEC=/BFA=90 ,DE/BF,在RtDEC和RtBFA中，/AF=CE,AB=CD,RtDEC也RtBFA(HL),DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.MB=MD,ME=MF;(2)连接BE,DF./DE丄AC于E,BF丄AC于F, /DEC=/BFA=90 ,DE/BF,在RtDEC和RtBFA中，/AF=CE,AB=CD,RtDEC也RtBFA(HL),DE=BF. MB=MD,ME=MF23.已知：如图，DC AB且D(=AE E为

7、AB的中点,(1)求证：AEDAEBC(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBO,请再写出两个与厶AED勺证明：TDC/ AB/CD吕/AEDvDEDE, DC= AEAEDAEDCvE为AB中点AE=BEBE=DCvDC/ AB/DC吕/BECvCE= CEEBCAEDC(直接写出结果，不要求证明)：面积相等的三角形.DF-EF=CE-EF,24.（7分）如图，ABC中，/BAC90度，AB=AC BD是ZABC的平分线,长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE证明：vZCEBZCAB=90ABCE四点共元vZABEZCBEAE=CEZECAZEAC取线

8、段BD的中点G,连接AG贝 ZAG=BG=DGZGABZABG而：ZECAZGBA同弧上的圆周角相等） ZECAZEACZGBAZGAB而：AC=ABAECAAGBEC=BG=DGBE=2CE25、如图：DF=CE AD=BCZD=ZG求证：AEDABFC证明：vDF=CE,BD的即DE=CF,在厶AED和厶BFC中，/ AD=BC，/D=/C,DE=CFAEDBFC（SAS）26、（10分）如图：AE BC交于点M F点在AIM上，BE/ CF,求证：AMABC的中线。证明：vBE| CF /E=ZCFM/EBMhFCMvBE=CFBEMm CFMBM=CMAMABC的中线.27、（10分）

9、如图：在厶ABC中,BA=BC D是AC的中点。求证：ABDHBCD的三条边都相等ABD= BCD/ADBMCD/ADByCDB=90BD! AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延长线上的一点。求证:在厶ABDACD中AB=ACBD=DCAD=ADDF-EF=CE-EF,ABDAACD/ ADBMADC:丄BDF2FDC在BDF FDC中BD=DC/BDF2FDCDF=DFFBDAFCDBF=FC29、（12分）如图：AB二CD AE=DF CE=FB求证：AF=DEvAB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FBABE= CDFv/DCBhABFAB=DCBF=CE

10、ABF/CDEAF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD如图所示，其中AB/ CD在AB CD BC三段路旁各有一只小石凳E, F,M且B& CF, M在BC的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.证明：连接EFBE=CFBDL AGBF=CFvAB/CD/B=/CVM是BC中点BM=CM在EMD/CFM中BE=CF/B=ZCBM=CMBEIWACFM( SAS CF=BE31.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CEBE/ DF, BN DF.求证：ABWA CDF/ AF=CE,FE=EF.AE=CF./ DF/BE,/AEB=/CFD(两直线平行，内错角

11、相等)/ BE=DF-:ABEACDF(SAS)32.已知：如图所示，A吐AD BC= DC E、F分别是DG BC的中点，求证：AE=AF。B连接BD;/ AB=ADBC=D /ADB=/ABD/CDB=/ABD;两角相加， /ADC=/ABC;/ BC=DCEF是中点DE=BF;/ AB=ADDE=BF/ADC=/ABCAE=AF。33.如图，在四边形ABC中,E是AC上的一点，/仁/2, /3=24,求证：/5二/6.证明：在厶ADCABC中vAC二AC/BACMDAC/BCAWDCAADCAABC（两角加一边）vAB二AD BC=CD在厶DECWBEC中/BCA/DCA CE=CE B

12、C=CDDECABEC（两边夹一角）:丄DEC/BEC34.已知AB/DE BC/EF D, C在AF上,且AD=CF求证：ABDEFvAD=DFAC=DFvAB/ DE/A=/EDF又vBCEF/F=/BCA ABCADEF（ASA）35.已知：如图，AB=AC BDAC CEAB垂足分别为D E,BD CE相交于点F,求证：BE=CD证明:vBD1 AC/BDC=90vCE1 AB/BEC=90/BDC/BEC=90vAB=AC二/DCB= EBC BC=BC RtBDC RtBEC( AAS)BE=CD36、如图，在ABC中,AD为/BAC勺平分线，DEL AB于E, DFLAC于F。求

13、证：DE=DF证明:vAD是/BAC的平分线 /EADMFADvDEI AB, DFLAC/BFDMCFD=90/AED与MAFD=90在厶AEDAFD中MEADMFADAD=ADMAEDMAFDAEDAAFD( AASAE=AF在厶AEOWAAFO中MEAOMFAOAO=AOAE=AFAEO AFO( SAS/ AOEhAOF=90ADEF37.已知：如图，AC BC于C DE AC于E AD AB于A B(=AE若AB=5,求AD的长?/ AD丄AB/BAC=/ADE又AC丄BC于C,DE丄AC于E根据三角形角度之和等于180度 /ABC=/DAE/ BC=AE, ABC DAE(ASA)

14、AD=AB=538.如图：AB=AC MEL AB, MFL AC垂足分别为E、F,ME二MF求证：MB二MC证明：vAB=AC/B二/CvMEL AB, MFLAC /BEM/CFM=90在厶BMEWACMF中v/B二/C/BEM/CFM=90 ME=MFBMBCMF( AAS MB二M.C39.如图，给出五个等量关系:AD BCAC BDCE DED CDABCBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况)，并加以证明.已知：AD=BC/DAB=/CBA求证：DABACBA证明： AD=BCZDABdCBA又AB=AB DABACBA40.在厶AB

15、C中,ACB 90,AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D,BE MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADC幻CEB:BE；转到图2的位置时，(1)中的结论还成明；若不成立，说明理由.BEC=90,BCE#CBE=90，/ACD#BCE=90. /CAD#BCEvAC二BCADCACEB丁厶ADCACEBCE二AD CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2)v#ADC#CEB#ACB=90, #ACD#CBE当直线MN绕点C旋 立吗？若成立，请给出证(1)T/ADCdACBd /CAD#ACD=90，/又vAC=BCACDACBE CE=AD CD二BE DE=

16、CE CD二ABBE41.如图所示，已知AE!AB AF丄AC AE=AB AF=AC求证：(1)EC=BF(2)EC(1)vAE! AB AF!AC/BAEWCAF=90, /BAEVBACMCAF+ZBAC即/EACZBAF在厶ABF AEC中,vAE=ABZEACZBAF,AF二ACABFAAEC( SAS,EC=BF(2)如图，根据(1), ABFAAEC/AECZABF,vAE! AB/BAE=90,/AECZADE=90,vZADEZBDM(对顶角相等)，/ABF+ZBDM=90,在厶BDM中,ZBMD=180 -ZABF-ZBDM=180 -90 =90, ECL BF.42.如

17、图：BE! AC CFLAB, BM=AC CN=AB求证：(1)AM二AN (2)AMLAN。证明：(1)vBE! AG CFLAB /ABM#BAC=90，/ACN#BAC=90/ABM#ACNvBM=ACCN=ABABMm NACAM=AN(2)/ABMm NAC#BAM#= Nv#N+#BAN=90#BAM#+ BAN=90即#MAN=90AMLAN43.如图，已知#A=#D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.证:BC/EF在厶ABF CDE中,AB=DEA=#DAF=CD FB=CE在四边形BCE冲FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形 BCll EF44.如图，已知AC/

18、 BD, EA EB分别平分/CAB和/DBA CD过点E,贝 SAB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN二ACvZCAEMEANAE为公共，CAEAEANZANEZACE又vAC平行BDZACEMBDE=180而ZANEMENB=180ZENBZBDEZNBEZEBNvBE为公共边EBNm EBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图，已知:AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE/CF.证明：_v人。是厶ABC的中线BD=CDvDF=DE（已知）/BDE=/FDCBDEA FDC贝EBDMFCDBE/ CF（内错角相等，两直线平行）。46、（10分）已知：如图，AB= CDDEL ACBF丄ACE,F是垂足，DEvDELAC BFLAC /CED/AFB=90o又vAB=CD BF=DERt/ABB Rt/CDE( HL)AF=CE/BAF玄DCEAB/CD47、(10分)如图，已知/1 =/2,/3=/4,求证：AB=CDv,/3=/4OB=OC在AOBfy DOC中/仁/2OB=OC/AOB/DOCBF.求证：AB/