全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全

1、For personal use only in study and research; not for commercial use 全等三角形辅助线系列之二 与中点有关的辅助线作法大全 一、中线类辅助线作法 1、 遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等 将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 2、 遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系. 3、 遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点， 试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系. 典型例

2、题精讲 【例 1】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F , AF =EF，求证：AC =BE . 【解析】延长 AD到G，使DG =AD，连结BG .BD 二CD，乙BDG CDA , AD 二GD .,ADC 幻=GDB AC 二GB . - G - EAF 又 AF =EF , EAF = AEF G = BED BE =BG , BE =AC . 【例 2】 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 交EF于点G，若BG =CF，求证：AD为SBC的角平分线. 【解析】延长FE到点H，

3、使HE = FE，连结BH . 在.CEF和 BEH中 CE =BE J ZCEF ZBEH FE =HE . ：CEF 幻 BEH . EFC =/EHB , CF =BH 二BG . EHB BGE，而 /BGE AGF . AFG =. AGF 又 EF II AD , AFG :一CAD , AGF BAD . CAD =. BAD AD为ABC的角平分线. 【例 3】 已知AD为ABC的中线，ZADB , ADC的平分线分别交 BE CF .EF . 【解析】延长 FD到N，使DN二DF，连结BN、EN . 易证 BND CFD , BN =CF , AB于E、交AC于F .求证:

4、又；ADB , - ADC的平分线分别交 AB于E、交AC于F , 乙EDF EDN =90 , 利用 SAS 证明 EDN EDF , EN 二 EF , 在 EBN 中，BE BN EN , BE CF EF . 【例 4】 如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 BM 2 CN DM 2 DN 2 ,1 求证 AD2 AB2 AC2 4 【解析】延长 ND至E，使DE二DN，连接EB、EM、MN . 因为 DE 二 DN , DB =DC , . BDE - . CDN ，贝. BDE 幻二CDN . 从而 BE =CN , DBE = C . 而 DE =DN ,

5、MDN =90，故 ME =MN，因此 DM 2 DN 2 = MN 2 = ME2 , 2 2 2 即 BM +BE =ME y /MBE =90，即/ MBD +NDBE =90. 因为.DBE 二 C，故.MBD C =90 ，则.BAC =90 . 1 AD为 RtUABC斜边BC上的中线，故 AD = BC . 2 1 2 1 由此可得 AD BC AB AC . 4 4 【例 5】 在RL ABC中，F是斜边 AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足.DFE=90 .若AD = 3， BE =4，则线段DE的长度为 _ . 【解析】如图、延长 DF至点G，使得DF =FG，联结

6、GB、GE . 图6 由AF二FB，有 .：ADF 幻 BGF = BG = AD =3 二.ADF = BGF 二 AD II GB =.GBE . ACB =180 二.GBE =90 二 GE 二 GB2 EB2 =5 . 又 DF =FG , EF _ DG = DE = GE =5 . 【例 6】 如图所示，在 ABC中，AB =AC，延长AB到D，使ED=AB , E为AB的中点，连接CE、 CD，求证 CD 2 EC . 解法一：如图所示，延长 CE到F ,使EF =CE . 容易证明 ：EBF 幻.：EAC，从而 BF 二 AC，而 AC 二 AB 二 BD，故 BF 二 BD

7、 . 注意至U /CBD /BAC /ACB ZBAC /ABC , .CBF 二/ABC . FBA 二/ABC . CAB , 故三CBF ZCBD，而 BC 公用，故 CBF CBD , 因此 CD =CF =2CE . 解法二：如图所示，取 CD的中点G，连接BG . 因为G是CD的中点，B是AD的中点， 1 1 故BG是 DAC的中位线，从而 BG AC AB = BE , 2 2 由 BG II AC 可得 GBC ：_ACB -ABC ：_EBC，故:BCE 幻 BCG , 从而 EC 二GC , CD =2CE . 已知：ABCD 是凸四边形，且 AC :：: BD . E、F

8、 分别是 AD、BC 的中点，EF 交 AC 于 M ; EF 交 BD 于 N, AC 和 BD 交于 G 点. 求证： GMN . GNM . 取 AB 中点 H，连接 EH、FH . 1 AE =ED , AH =BH , / EH II BD, EH BD , GNM ZHEF 2 AH =BH , BF =CF / FH II AC, FHAC 2 / . GMN = HFE AC : BD , / FH : EH 【解【例【解b /乙HEF #HFE , /乙GMN ZGNM 1 【例 8】 在ABC中，.ACB =90 , AC BC ,以BC为底作等腰直角.BCD , E是CD

9、的中点，求 2 证：AE_EB且 AE =BE . 【解析】过E作EF II BC交BD于F .ACE =/ACB ：/BCE =135 . DFE = DBC =45 上 EFB =135 1 1 又 EF II BC , EF BC , AC BC 2 2 EF -AC , CE =FB ：EFB 幻 ACE CEA ：._DBE 又 DBE ： -DEB =90 DEB ： -CEA =90 故.AEB =90 AE _EB且 AE=BE . 证: (1) DEM 幻.FDN ; 【例如图所示，在.SBC中, D为AB的中点，分别延长CA CB到点E、F，使DE = DF 过 F分别作直

10、线CA、CB的垂线, 相交于点P ,设线段PA、PB的中点分别为 M D F DM II BN 且 DM = BN , F (2) /PAE ZPBF . 【解析】（1 ）如图所示，根据题意可知 DN II AM 且 DN = AM 所以./AMD - . APB 二.DNB . 而M、N分别是直角三角形.AEP、 BFP的斜边的中点, 所以 EM 二 AM 二 DN , FN 二 BN 二 DM , 又已知DE =DF , 从而. DEM幻.FDN . (2)由(1)可知 /EMD ZDNF，则由 /AMD ZDNB 可得乙AME ZBNF . 而 AME、 BNF均为等腰三角形, 所以 P

11、AE 二 PBF . 【例 10】已知，如图四边形 ABCD中，AD =BC , E、 延长线分别交于 M、N两点.求证：.AME F分别是 二.BNE . 【解析】连接AC，取 DF =CF , / AD AC中点H，连接FH、EH . 1 AH 二CH , FH / AD , FH 2 EH =FH , HFE HEF 二 BC , II AM , EH II BC AB和CD的中点, AD，同理, 2 FH NAME HFE，乙HEF ZBNE，乙AME ZBNE 【例 11】已知：在 ABC中，BC AC，动点D绕ABC 的顶点 DC .过AB、DC的中点E、 F作直线, 直线EF与直

12、线 AD、EF、BC 的 EH JBC 2 EH II BC A逆时针旋转，且 AD 二 BC , 连结 AD、BC分别相交于点 M、 图1 N D 图3 (1) 如图 1,当点D旋转到BC的延长线上时，点 结HE、HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质， (2) 当点D旋转到图 2 或图 3 中的位置时， /AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想, 并任选一种情况证明. 恰好与点F重合, 可得结论 AMF 取AC的中点H，连 = BNE (不需证明). 【解析】图 2: /AMF ENB，图 3: /AMF 心/ENB =180 证明：在图 2 中，取AC的中点H，连结HE、HF F

13、是DC的中点，H是AC的中点 1 HF II AD , HF AD ,二.AMF =. HFE 2 1 同理，HE II CB , HE CB , ENB =/HEF 2 / AD =BC , HF -HE，/HEF ZHFE，/ENB ZAMF 证明图 3 的过程与证明图 2 过程相似. D为AB的中点，求证DM =DL . a A D a 【解析】如图所示，取 AP、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL , 1 1 则有 DE II BP 且 DE BP , DF II AP 且 DF AP . 2 2 因为“AMP和BLP都是直角三角形， 1 1 故 ME AP , LF BP，

14、从而 ED=FL, DF =ME . 2 2 【例 12】如图所示，P是ABC内的一点, .PAC 二.PBC，过 P 作 PM _ AC 于 M ， PL _ BC 于 L， A 又因为 MED 二 MEP PED , DFL = DFP PFL , 而 MEP =2 MAP =2 LBP = PFL，且 PED = DFP，所以 MED = DFL , 从而 MED 也 DFL，故 DM =DL . 【例 13】如右下图，在 SBC中，若 B =2. C , AD_BC , E为BC边的中点.求证： AB =2DE . 口右下图，则取 AC边中点F，连结EF、DF . 1 由中位线可得，E

15、F AB 且.B=/CEF . DF为Rt . ：ADC斜边上的中线，二DF =CF . 2 CDF ：._C，又I DFE ：._FDE ：._CEF，即乙 C ： ._DFE =2./C , 1 DFE 二 EDF , DE =EF AB , AB =2DE . 2 与 AC 交于 F .求证：BE =AF , AE =CF . / AB =AC , BAC =90 . B = . C = . 45 / D是BC中点 BAD =45 且 AD _ BC ED _DF EEDA ZADF =90 ADE ZEDB =90 BDE = ADF 在 BDE与 ADF 中，AD =BD , - D

16、AF = B =45 , - BDE 二 ADF BDE 也 ADF BE =AF . AE =CF . 在 ABCD 中， A=/DBC，过点 D 作 DE = DF，且乙 EDF ZABD，连接 EF、EC, N、P 分别为 EC、BC 的中点，连接 NP. 【解【例如图，ABC 中，AB =AC，乙BAC =90 , D 是 BC 中点, ED_FD , ED 与 AB 交于 E , FD 【解AD . 【例A B D E C A (1) 如图 1,若点 E 在 DP 上，EF 与 DC 交于点 M，试探究线段 NP 与线段 NM 的数量关系 及/ ABD 与/ MNP满足的等量关系，请

17、直接写出你的结论； (2) 如图 2，若点 M 在线段 EF 上，当点 M 在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立， 写出你确定的点 M 的位置，并证明(1)中的结论. 【解析】(1) NP =MN，/ABD ZMNP =180 (2)点 M 是线段 EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图，分别连接 BE、CF. / 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/ BC, AB / DC, ./A ZDCB , /ABD =NBDC . . A =/DBC , . DBC =/DCB , /. DB =DC . EDF 二.ABD , 乙EDF ZBDC . NBDC _NEDC =NED

18、F _ZEDC .即 NBDE =NCDF . 又DE = DF，由得 ABDE CDF . EB 二FC , . 1 = 2. 1 N、P 分别为 EC、BC 的中点， NP/ EB, NP =丄 EB . 2 1 同理可得 MN / FC, MN FC . NP =NM . 2 / NP / EB, /NPC - . 4 , . ENP - . NCP NPC 二.NCP Z4 / MN / FC, . MNE =. FCE = .3 .2 = .3 .1 .NMNP =NMNE +ENP 3 +4 +NNCP +N4 图 2 D A = DBC DCB =180 - BDC =180 -

19、 ABD ./ABD ./MNP =180 1 【例 16】在 Rt ABC 中， ACB =90 , taBAC .点 D 在边 AC 上(不与 A, C 重合)，连结 BD, F 为 BD 中点. (1) 若过点 D 作 DE 丄 AB 于 E,连结 CF、EF、CE ,女口图 1 .设CF =kEF ,贝 U k = _ ; (2) 若将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示. 求证：BE - DE =2CF ; (3) 若BC -6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD

20、中点，类似于情况 1，可知 CF 的最大值为 4 3 5 . 图 1 图 2 备图 【解析】(1) k =1 ; (2)如图 2,过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G,设 BD 与 AC 的交点为 Q. / D、E、B 三点共线， AE 丄 DB. BQC 二 AQD , ACB =90 , QBC 二 EAQ . ECA ： _ACG =90 , - BCG ：_ACG =90 , ECA = BCG . BC GB I BCG ACE , , GB =DE . AC AE 2 F 是 BD 中点， F 是 EG 中点. 1 在 Rt ECG 中，CF EG , BE-DE=EG=2

21、CF . 2 1 (3)情况 1:如图，当 AD AC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM , - ACB =90 ， 3 1 tan /BAC =， 2 且 BC 二 6, AC =12， AB =6、5 . 1 BC DE 1 tan._BAC ， 2 AC AE 2由题意, 求线段 CF 长度的最大值. 类似于情况 1，可知 CF 的最大值为 4 3 5 . M 为 AB 中点， CM =3 5 1 AD AC， AD = 4 3 M 为 AB 中点， F 为 BD 中点，. 1 FM AD =2 . 2 当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，

22、此时 CF =CM FM 2 3 5 . 2 情况 2:如图，当 AD =2AC 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM， 3 综合情况 1 与情况 2,可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为 4 3 5 课后复习 【作业 1】如图， JABC中，AB :：: AC , AD是中线.求证：.DAC ： . DAB . 【解析】延长 AD到E，使AD = DE，连结BE . 在. ADC 和厶EDB中 JAD =ED 三 ADC EDB .V :ADC 幻.：EDB DC 二 DB AC =EB，/CAD = BEA 在 ABE 中，I ABAC ,

23、AB：EB /AEBv/EAB，/DACv DAB . 【作业 2】在Rt . ：ABC中，.BAC =90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且 ED _FD 以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、 直角三角形或钝角三角形？ 【解析】延长FD到点G，使FD =GD，连结EG、BG . 在 CDF 和 BDG 中 CD =BD MCDF - BDG FD =GD CDF BDG BG =CF，/FCD GBD J A =90 ABC ： -ACB =90 ABC ： -GBD =90 在 EDF和厶EDG中C ED =ED I gEDF 二/

24、EDG =90 FD =GD . ：EDF 幻. ：EDG EF =EG 故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形. F是AD的中点，BF的延长线交 AC于E .求证：AE 二1 AC . 3 BF =EF . 【解析】取AC中点M , AD中点N .连结MF、NF、MB、NE ,则根据直角三角形斜边中线的性 1 1 质及中位线的性质有 MF AD =NE , NF AC =MB , MF II AD , NF II AC , 2 2 DNF 二 CAD 二 CMF , v BM 二 AM，二 MBA 二 CAB . BMC MBA CAB =2CAB .同理可证 DNE =2DAE . /BAC EAD /BMC END . .上BMC CMF FND DNE , 即 /BMF ENF , MBF 幻 NFE , BF 二 EF . 【作业 3】AD是. ABC的中线, 【解析】取EC的中点G，连接 DG 易得 DG II BE , F为AD的中点, 所以 AE二EG，从而可证得： AE JAC . 3 【作业 4】如图，在五边形 ABCDE 中，.ABC =. AED =90 , . BAC = . EAD , F 为 CD 的中点