八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形优化思维训练题(含解析)(新版)苏科版

1、第九章中心对称图形、选择题1 矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和 5cm两部分，则矩形的周长为（）.A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm和 26cm【考点】矩形的性质、分类思想.【分析】根据矩形的性质得到等腰三角形，根据分类思想，即可求出答案.【解答】解：矩形的两边长为 3、8 或 5、8,矩形的周长为 22cm和 26cm故选 D.【点评】本题主要考查对矩形的性质、分类思想的理解和掌握，能利用角平分线得到等腰三角形进行计算是解此题的关键.2.如图，在?ABC中,E是BC的中点，且/AEC/DCE则下列结论不正确的是（）A.SAAFC=2SEFBB.BF=DF:C

2、.四边形AECD等腰梯形D./AEB/ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质.【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质.【解答】解：A、TAD/ BCAFDAEFB.理_班_拠_1故SXAF=4SEFB；B由A中的相似比可知，BF=DF正确.C由/AEC/DC回知正确.D利用等腰三角形和平行的性质即可证明.故选：A.2【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系.33如图，将:ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A，若.C=120,. A = 26,则.ADB的度数是（）.A. 120 B.112【考点】三角形的内角和定理；中位线的性质.【分析】

3、先利用三角形的内角和定理，再运用中位线的性质.【解答】解：利用三角形的内角和定理得到/B=340,再运用中位线的性质得到/ADE=34ADB=180-340-340=1120故选：B.4.将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）.A. 15B. 18C. 21D. 24【考点】数菱形.【分析】根据平行线的三种方向选两种组成平行四边形，再分边长为1、2 两种。【解答】解：每种情况下边长为1 的菱形有 6 个，3 个 6 是 18 种，边长为 2 菱形有 3 个故选 C.【点评】本题分类是解题的关键.5下列条件之一能使菱形ABCDI正方形的为（

4、）AC丄BD/BA=90AB=BCAC=BD.A.B. C. D.【考点】正方形的判定.【分析】直接利用正方形的判定方法，有一个角是90的菱形是正方形，以及利用对角线C. 110D. 1084相等的菱形是正方形进而得出即可.【解答】解：四边形ABCD1菱形，当/BAD90。时，菱形ABC是正方形，故正确;四边形ABC是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故正确；6.如图，菱形ABCDh ABAC点E、F分别为边AB BC上的点，且AE=BF,连接CE AF交于点H,连接DH交AG于点0.则下列结论ABFCAE/AHC120。，AF+CH=DH中，正确的是（）A.B.C. D.【考点】菱

5、形的性质；全等三角形的判定与性质.【分析】由菱形ABCD,ABAC易证得ABC是等边三角形，则可得/B=ZEAC60。，由SAS即可证得厶ABFACAE则可得/BAF=ZACE利用三角形外角的性质，即可求得/AHC120。；在HD上截取H!=AH连接AK易得点A, H, C, D四点共圆，则可证得AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得厶AKDAAHC则可证得AHCH=DH易证得OADoAHD由相似三角形的对应边成比例，即可得AD=ODDH【解答】解：四边形ABCD菱形， AB=BC/ ABAC,AB=BC=AC即厶ABC是等边三角形，同理：ADC是等边三角形5/ B=Z EAC60在厶ABF

6、和CAE中,WAE-ZB=ZEAC,LBC=ACABFACAE( SAS；故正确；/ BAf=Z ACE/ AEH/ B+Z BCE/AHCZBAF+ZAEHZBAF+ZB+ZBCEZB+ZACEZBCEZB+ZACB60 +60 =120;故正确；在HD上截取HP=AH连接AKvZAHCZAD(=120 +60 =180,点A, H C, D四点共圆，ZAHDZACD60，ZACHZADH AHK是等边三角形，AK=AHZAKH60,ZAKDZAHC120。，在厶AKDm AHC中,rZAKD=ZAHC?ZADHZACH,I AD二ACAKDAAHC( AAS,CH=DKDHhHP+DI=A

7、HhCH故正确；vZOADZAHD60, ZODAZADHOAD AHDAD DH=OD ADAD=ODDH故正确.6故选D.7【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、 菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及 全等三角形的判定与性质.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应 用.7.如图，正方形ABCD的边长为 2 . ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE的和最小，则这个最小值为（）.【考点】轴对称-最短路线问题.【分析】D 关于 AC 的对称点是 B P . EB 的长就是 DP+EP 的最小值，据此即可求解.【解答】解：EB 正

8、好是等边三角形的边，所以EB=2故选 A.【点评】本题考查了轴对称，理解正方形的性质，对角线所在的直线是正方形的对称轴是关键.8.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，且DE/BC,F 列结论中，一定正确的个数是（）.1BDF是等腰三角形；DEBC;A. 2B.2、2C.,2D.682四边形ADFE是菱形；BDF FEC=2 A.【考点】等腰三角形、中位线、菱形的性质.【分析】根据折叠，再利用相关性质.A. 1B. 2C. 3D.49【解答】解：显然无法根据菱形的性质判定四边形ADFE是菱形故选C.9.如图，周长为 16 的菱形ABCDK点E, F分别在AB AD边上

9、，AE=1,AF=3,P为BD上一动点，则线段EFFP的长最短为（）CA. 3B. 4C. 5D. 6【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质.【分析】在DC上截取DGFDAD- AF=4 - 3=1，连接EQ则EG与BD的交点就是P. EG勺长 就是EHFP的最小值，据此即可求解.【解答】解：在DC上截取DGFDAD- AF=4 - 3=1,连接EG贝U EG与BD的交点就是P. AE=DG且AE/ DG四边形ADGEI平行四边形， EG=AD=4.故选B.【点评】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键.10.如图，在矩形ABCDh BC=6,。,将厶BC沿对

10、角线BD翻折，点C落在点C处，BC交AD于点E,则线段DE的长为（）10A. 3B. C. 5D.42【考点】翻折变换(折叠问题)【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段AB AE BE的方程,解方程即可解决问题.【解答】解：设EDx，则AE=6 -x,四边形ABCC为矩形， AD/ BC/ EDB/ DBC由题意得：/EB=ZDBC/ EDB/ EBDEB=ED=x；由勾股定理得：BE=AB+AE,即x2=9+ (6 -x)2,解得：x=3.75 ,ED=3.75故选：B.【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三

11、角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推 理或解答.二、填空题11.直角三角形中，两直角边长分别为_ 12 和 5，则斜边中线长是.【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理.【分析】根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可.CT11【解答】解：T直角三角形中，两直角边长分别为12 和 5,斜边-=13,13则斜边中线长是下，13故答案为：12【点评】本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键.12.如图，一个含有 30角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若/1=25,则/ 2

12、=_.【考点】平行线的性质.【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得/2=ZDEG/ 1+ZFEG从而可得出答案.【解答】解：四边形ABCD!矩形， AD/ BC/ 2=/DEG/ 1+/FEG115。.故答案为：115.月&D【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等.13如图，菱形ABC啲面积为 120cm,正方形AECF的面积为 50cm），则菱形的边长为_ cm【考点】菱形的性质、菱形的面积、勾股定理.【分析】连接 AC 可得菱形ABCD勺对角线 AC=10.13【解答】解：四边形AECF是正方形,14 AC=10 BD=24.

13、故答案为：13【点评】本题考查了菱形的性质、菱形的面积14.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图(1) ,AD CD)沿过点A的直线折叠，使得点B落在边AD上的点F处，折痕为AE(如图(2);再沿过点D的直线折叠，使得点C落 在边DA上的点N处， 点E落在边AE上的点M处， 折痕为DG(如图(3).如果第二次 折叠后， 点M正好在.NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为【考点】正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理.【分析】先利用正方形的性质，再利用轴对称的性质，最后运用勾股定理.【解答】解：运用好 FC=MN,MG-FG.答案为：.2【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定

14、理.15. ?ABC的周长是 30,AC BD相交于点QOAB勺周长比厶OBC勺周长大 3，贝U AB=9.【考点】平行四边形的性质.【分析】如图：由四边形ABC是平行四边形，可得AB=CD BC=AD OA=OC OBQD又由OAB的周长比厶OBC勺周长大 3，可得AB- BO3，又因为?ABC的周长是 30,所以A0B(=1O;解 方程组即可求得.【解答】解：四边形ABCD1平行四边形，AB=CD BCAD OAOC OBOD又OAB勺周长比厶OBC的周长大 3,ABOA+OB-(BOOBOC=3AB- BC=3,又 ?ABC啲周长是 30,A宙BC=15,15 AB=9.故答案为 9.【

15、点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等， 对角线互相平分解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解.16如图，正方形ABCD勺对角线长为 8 二，E为AB上一点，若EF丄AC于F,EGL BD于G【考点】正方形的性质.【分析】正方形ABCD勺对角线交于点0,连接 0E,由正方形的性质和对角线长为8 匚，得出0A=0B=4 匚；进一步利用&AB0=SMEO+&EBO,整理得出答案解决问题.四边形ABCD1正方形，0A=0B=4 甘:,又SXABC=SXAEO+SX EBO,=OAOB4OA?EF4OBEG即-X4 ：X4 ,X4 ：x(EF+EGEF+EG4 _.

16、故答案为：4.【点评】此题考查正方形的性质，三角形的面积计算公式；利用三角形的面积巧妙建立所求 线段与已16知线段的关系，进一步解决问题.三、解答题17.如图，在菱形ABC中，M N分别是边AB BC的中点，MPLAB交边CD于点P,连接NMNP(1)若/ B=60，这时点P与点C重合，则/NMP30 度；(2) 求证：NMNP(3) 当厶NPC为等腰三角形时，求/B的度数.【考点】四边形综合题.【分析】(1)根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；(2) 延长MN交DC的延长线于点E,证明MNRAENC进而得解；(3)NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PONC两种情况进行讨

17、论即可.【解答】解：(1)vMPL AB交边CD于点P,ZB=60，点P与点C重合，/NPIM30,ZBMP90,/ N是BC的中点，MNPN如图 1,延长MN交DC的延长线于点E,17四边形ABCD1菱形，AB/ DC/BMN/ E,点N是线段BC的中点，BN=CN在厶MNBAENC中,ZBNIN=ZEZMNB=ZENC,LBN=CNMNBENCMN=EN即点N是线段ME的中点， MPLAB交边CD于点P,MPL DE/MPE90,四边形ABCD!菱形，AB=BC又M N分别是边AB BC的中点，MB=NB/BMNZ BNM由（2）知：MNAENC/BMNZ BNM/E=ZCNE又PN=MN

18、NE/NPEZE,设ZBMN/ BNMZE=ZCNEZNPE=x则ZNCP2x,ZNPCx ,若PN=PC贝UZPNCZNCP2x , 在厶PNC中, 2x+2x+x=180,18解得：x=36,/B=ZPNC/NPC2x+x=36x3=108,若PONC贝U/PNC/NPCx,在厶PNC中, 2x+x+x=180,解得：x=45, / B=/PNC/NPCx+x =45 +45 =90.【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结.18如图，矩形ABCDK点E, F分别在AB CD边上，连接C

19、E AF,/DCE/BAF试判 断四边形AECF勺形状并加以证明.D FC【考点】平行四边形的判定；矩形的性质.【分析】证得FA/ CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可.【解答】解：四边形AECF是平行四边形.证明：矩形ABC中,AB/ DC /DCE/CEB/ DCE/ BAF/CEB/BAFFA/ CE又矩形ABCD,FC/ AE四边形AECF是平行四边形.【点评】考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大.19如图，ABC是等腰三角形，AB=BC点D为BC的中点.(1 )用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹：191过

20、点B作AC的平行线BP2过点D作BP的垂线，分别交AC BP BQ于点E, F,G(2)在(1)所作的图中，连接BE CF求证：四边形BFCE是平行四边形.【分析】(1)作出与/C相等的内错角即可得到AC的平行线，过直线外一点作已知直线的 垂线即可；(2)首先证得厶ECDAFBD从而得到CE=BF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形进行判定即可.【解答】解：(1)如图：(2)证明：如图:/ BP/ AC/ ACB/ PBC在厶ECDm FBD中,fZACB=ZPBC CD=BD ,LZCDE=ZBDFECD FBDCE=BF,20四边形ECFB是平行四边形.【点评】本题考查了基本作图

21、的知识及平行四边形的判定，解题的关键是能够掌握一些基本作图，难度不大.20如图，在菱形ABCDK AB=2,ZDA号 60,点E是AD边的中点点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N,连接MD AN(1) 求证：四边形AMD是平行四边形；(2) 填空：当AM的值为时，四边形AMD是矩形；当AM的值为 2 时，四边形AMD是菱形.NDCA Af B【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定.【分析】(1)利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMD的对边平行且相等即可；(2)有(1)可知四边形AMD是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即/DMA90,

22、所以AAAX时即可;当平行四边形AMN的邻边AMIDM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD!等边三角形即可.【解答】(1)证明：四边形ABCDI菱形，ND/ AM/NDEZMAE/DNEZAME又点E是AD边的中点，DE=AE MAE ND=MA四边形AMD!平行四边形；(2)解：当AM的值为 1 时，四边形AMD是矩形理由如下：21/ AMM=,AD ZADI=3022/ DAIM60,/ AMD90,平行四边形AMD是矩形；故答案为：1;当AM的值为 2 时，四边形AMD是菱形.理由如下:/AM=2,AM=AD=2,AMD是等边三角形，AM=DM平行四边形AMD是菱形，故答案为

23、：2.NDCA Af B【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质.21.如图，在平行四边形ABCDK AEL BC于E, AF丄CD于F,BD分别与AE AF相交于G H.(1) 在图中找出与ABE相似的三角形，并说明理由；(2) 若AGAH求证：四边形ABCD1菱形.B EC【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定.【分析】(1)禾U用平行四边形的性质求出相等的角，然后判断出ABEoADF(2)判断出四边形ABCD1平行四边形，再加上条件AB=AD可以判断出四边形ABCD是菱

24、形.【解答】解：(ABEA ADF理由如下：AE1 BC于E,AFLCD于F,AEB=/AFD=9023四边形ABCD是平行四边形，/ ABE=Z ADFABEA ADF(2)证明：T AG=AH/ AGHZ AHG/ AGBZ AH)./ABEA ADF/ BAG/ DAH/ BA / DAHAB=AD四边形ABCD!平行四边形，AB=AD平行四边形ABCD!菱形.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键.22如图，矩形ABCD勺对角线相交于点Q DE/ AC CE/ BD.求证：四边形QCE是菱形.A_ DBC【考点】菱形的判定；矩形

25、的性质.【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形QCED!平行四边形,再根据矩形的性质可得Q(=QD即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.【解答】证明：DE/ AC CE/ BD四边形QCE是平行四边形，四边形ABCD1矩形，QC=QD四边形QCE是菱形.24【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法:义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.23如图，AC为矩形ABCD勺对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将 边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处.(1)

26、 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若AB=6,AC=10，求四边形AECF勺面积.【考点】平行四边形的判定；矩形的性质.【分析】根据折叠易得全等【解答】(1)证明：折叠， AMAB, CN=CD/FNOZD=90,ZAMEZB=90,/ANF=90,ZCME90,四边形ABCD矩形，AB=CD AD/ BCAMECNAM- MNCN- MN即AN=CM在厶ANFDCM即,fZFAN=ZECM“ AN二CH,iZANF二ZCMEANFACME( ASA,AF=CE又AF/CE菱形定25四边形AECF是平行四边形；(2)解：TAB=6 ,AC=10 , BC=8 ,设CE=x，贝 UEM

27、=8-x,CIM10 6=4,在RtCEM中,(8 -x)2+42=X2,解得：X=5,四边形AECF的面积的面积为：EQAB=5X6=30.【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的性质难度适中.24.(1)如图 1， 在正方形ABCDK E是AB上一点，F是AD延长线上一点， 且DF=BE求 证：CE=CF(2)如图 2,在正方形ABCDK E是AB上一点，G是AD上一点，如果/GCE45。，请你 利用(1)的结论证明：GE=BErGD.(3) 运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3,在直角梯形ABCD, AD/BC(BOAD), /B=90,AB=BC E是A

28、B上 一点，且【分析】(1)由四边形是ABCDE方形，易证得厶CBEACDF(SAS,即可得CE=CF(2) 首先延长AD至F,使DF=BE连接CF由(1)知厶CBECDF易证得/ECI=ZBCD90。， 又由/GCE45，可得/GCFZGCE45,即可证得厶ECAFCG继而可得GE=BBGD(3) 首先过C作CGL AD交AD延长线于G,易证得四边形ABCG正方形，由(1) (2)可 知，ED=B曰DG即可求得DG的长，设AB=X，在RtAED中，由勾股定理DE=AD+AE,可得 方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD勺面积.【解答】(1)证明：四边形ABC是正方形，26BC

29、=CD/B=ZCDF90,/AD(=90,/ FD(=90/ B=Z FDC BE=DF,CBH CDF( SAS.CE=CF(2) 证明：如图 2,延长AD至F,使DF=BE连接CF.由(1)知厶CBEA CDF/ BCE/ DCF/BCE/ECD/DC+/ECD即/ECF=/BCD=90，又/GCE=45，/GCF=/GCE=45./ CE=CF, GCGC ECH FCGGE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD.(3) 解：如图 3，过C作CGLAD,交AD延长线于G在直角梯形ABCD中,/ AD/ BC/A=/B=90，又/CGA90AB=BC四边形ABC正方形.AGBC/ DC

30、E45 ,根据(1) (2)可知，ED=BBDG 10=4+DG即DG=6.设AB=x，贝U AE=x- 4,AD=x- 6,27在RtAED中,DE=AD+AE即卩 102= (x-6)2+ (x- 4)2.解这个方程，得：x=12 或x=- 2 (舍去).28 AB=12.S梯形ABCBQ?AB=X(6+12)x12=108.2 2【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用.25.如图，在?ABC中,E、F分别为边ABCD勺中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G.(1) 求证：DE/ BF(2) 若/ GF90，求证：四边形DEBF是菱形.D F CG【考点】菱形的判定；平行四边形的性质.【分析】(1)根据已知条件证明BE=DF, BE/ DF,从而得出四边形DFBE1平行四边形，即 可证明DE/BF,(2)先证明DE=BE再根据邻边相等的平行