定积分练习题精品文档10

1、第九章定积分练习题§ 1定积分概念b1.按定积分定义证明：akdx k(b a).2.通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分:1 3(1)0 x dx;提示:n3 Ii 11 2 2n2(n 1)24(2)b(3)aexdx；bdx s(4) a/0 ab).(提示：取i§2牛顿一菜布尼茨公式1.计算下列定积分:(1)10(2X 3)dx ；(4)« xx1 e e , dx .02(5)03 tan2 xdx为必)e2 dx(3) e xln x ；：(以丄)dx;4、x(7)4 dx01 x(8)e 1 21

2、 (In x) dx e x2.利用定积分求极限:(1)limn2(1 23n3n )；(2)limn1n _(n 1)21(n 2)21(n n)2(3)limnn(_n 11(n2 2)*)；第10页1 2（4）lm 評nn sin7n 1sin ）n3 .证明：若f在a,b上可积，F在a,b上连续，且除有限个点 外有Fz (x) =f (x),则有bf(x)dx F(b) F(a).a§ 3可积条件1 .证明：若T /是T增加若干个分点后所得的分割，则IIiii i T'T2. 证明：若f在a,b上可积，a, a,b ,则f在 a,上也可积.3. 设f、g均为定义在a,

3、b上的有界函数。证明：若仅在a,b中有限 个点处f g ,则当f在a,b上可积时，g在a,b上也可积，且bbf dg d .aa3. 设f在a,b上有界，an a,b, jm an c.证明：在a,b上只有nan n 1,2,为其间断点，则f在a,b上可积。4. 证明：若f在区间上有界，则supf inffII。§ 4定积分的性质1. 证明:若f与g都在a,b上可积,则nblim f（ i）g（ i） Xi f（x）g（x）dx,其中i, i是T所属小区间 i中的任意两点,i=1,2,n.2. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小:1 1(1)0xdx与 0x2dx;(2)2

4、xdx与02sin xdx.03.证明下列不等式:(1) _ dx丁彳1 x21edx e ；)2 0 1 1.2、1 sin x 20 1Slnxdxdx0x2;(4)3、e4e In x dx 6 e -xb24.设f在a,b上连续,且f(x)不恒等于零，证明 f x dx 0.a5. 设f与g都在a,b上可积，证明M(x)maxx a,bf(x),g(x) , m(x)D,mx在a,b上也都可积.6. 试求心形线r a(1 cos ),02上各点极径的平均值.7. 设f在a,b上可积，且在a,b上满足f (x) m 0.证明+在a,b 上也可积.8. 进一步证明积分第一中值定理(包括定理

5、9.7和定理9.8)中的中值点空(a,b).9. 证明:若f与g都在a,b上可积，且g(x)在a,b上不变号,M、m分 别为f(x)在a,b上的上、下确界，则必存在某实数卩(m<< M),使得bba f(x)g(x)dxa g(x)dx.aa10. 证明:若f在a,b上连续，且 f(x)dx xf (x)dx 0,则在(a,b)内aa至少存在两点 X1,X2,使 f(x 1)= f(x 2)=0.又若 bx2 f (x)dx 0,这时 f 在(a,b)a内是否至少有三个零点？11. 设f在a,b上二阶可导，且f"(x)>0 .证明:又若f (x)0, x a,b ,

6、则又a b1b(1) f a b f(x)dx;(2)2 b a a有2 bf (x)f (x)dx, x a,b .b a a12.证明:1(1) ln(1 n) 1 L2-1 In n; nlimn12In n1.§ 5微积分学基本定理定积分计算 （续）1.设f为连续函数,u、V均为可导函数，且可实行复合f ° u与f ° v证明:d v(x)dxuWf(t)dtf(v(x)v'(x)f(u(x)u'(x).2.设 f 在a,b上连续,F(x)xf (t)(x t)dt.证明 F”(x) af (x), xa, b.3.求下列极限:cost2d

7、t;limxx t2 2(odt)2u04.计算下列定积分:5SOS XSin2xdx;1 I°(2)0 .4 x dx;2 2 2 .x a x dx(a 0); 0（x2 ； 1严；。片(6)n COSX , 厂dx;0 1 sin2 x1(7)arcs in xdx;0i |ln xdx;e(8) o2ex s in xdx;(9)i(10)0xdx;(11)a :dx(a0);(12)COS0 sin cos5.设f在-a,a上可积。证明：a(1)若f为奇函数，则f(x)dx 0;aaa(2)若 f 为偶函数，则a f(x)dx 2 o f(x)dx.6. 设f为(-%, +

8、x)上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有a pPa f (x)dx & f (x)dx.7. 设f为连续函数。证明：(1)j f (sin x)dx02 f (cosx)dx;(2)o xf (sin x)dxo f (sin x)dx.&设J (m,n)2sin m xcosn xdx(m, n为正整数)。证明:0J(m, n)n 1m 1 一J (m, n 2)J(m 2,n),m nm n并求 J(2m,2n).9. 证明：若在(0,x)上f为连续函数，且对任何a>0有axg(x) x f(t)dt 常数，x (0,),则 f(x) C,x (0,),

9、c为常数。x10. 设f为连续可微函数，试求d x-a(x t)f'(t)dt, dx a并用此结果求d x(x t)sintdt. dx 011 .设 yf（X）为a,b上严格增的连续曲线（图9-12 ）。试证存在（ a,b ）,使图中两阴影部分面积相等。12.设f为0 , 2n 上的单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有20 f (x)s inn xdx 0.13.证明：当x 时有不等式x c2sint dtx-(cx0).14a,b 上可积，在，上单调且连续可微，（）a,（）b,则有a,b ,使bf (x)dx.ba f(x)dx"15.证明：若在a,b上f为连续可微的

10、单调函数，则存在bf(x)g(x)dx g(a) f (x)dx g(b)aa（提示：与定理9.11及其推论相比较，这里的条件要强得多，因此可望有一个比较简单的，不同于9.11的证明.）探§ 6可积性理论补叙1.证明性质2中关于下和的不等式(3).2.证明性质6中关于下和的极限式lim s(T) S .t 03.设X, x为有理数. f (x)0, x为无理数.试求f在0,1上的上积分和下积分；并由此判断f在0,1上是否可积.4. 设f在a,b上可积，且f(x) O,xa,b.试问f在a,b上是否可积？为什么？5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给0,存在0,对于一

11、切满足T的T都有 i Xi s(t) s(T) .T6. 据理回答:(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质 ？(2) 何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质？对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论？7. 本题的最终目的是要证明：若f在a,b上可积，则f在a,b内必 定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：(1)若T是a,b的一个分割，使得 S (T) s(T)<b a,则在T中存存在某个小区间i,使 if1.(2)存在区间丨1 a1,b1(a,b),使得f (11) sup f (x) inf f (x)1x

12、I1X 11(3)存在区间12 a2,b2(a1,b1),使得第7页10第9页(I2)sup f (x) inf f (x)x I2X I22(4)继续以上方法，求出一区间序列(an 1,bn 1 ),叽 f(x)(In)sup f(x)x In说明I n为一区间套，从而存在X。In,n 1,2,而且f在点xo连续。(5)上面求得的f的连续点在a,b内处处稠密总练习题1 证明：若在0 , a上连续,f二阶可导，且f(X)0,贝y有1 x1a-0 f(t)dtf(-o(t)dt).aa2.证明下列命题：F(x)xx a af dt,x a,bx a,(1)若f在a,b上连续增，f(a),则F为a

13、,b上的增函数。(2)若f在0,上连续，且f (x) >0,则xx(x)0tf (t)dt/ 0 f(t)dt00为(0,)上的严格增函数，如果要使 在0,上为严格增，试问应补充定义(0) =?3、设f在0,上连续，且lim f(x) A证明x1 Xlim f (t)dt Ax x 04设f是定义的(，)上的一个连续周期函数，周期为 p证明lim - X f (t)dtx x 0f(t)dt5.证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。6.证明施瓦茨(Schwarz)不等式：若f和g在a,b上可积，则bf (x)g(x)dxab 2b 2f (x)dx g (x)dx.aa7.利用施瓦茨不等式证明:(1)若f在a,b上可积，则a)f 2(x)dxa2f(x)dx (ba(2)若f在a,b上可积，且f(x) >m>0 则(3)若 f、baf(x)dx1 1 dx (b a)2a f(x)g都在a,b上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski ) 不等式:.证明：若设f为(0,ba(f(X)f 在a,blng(x)2dx上连续,1 b厂 a f(x)dx1f2(x)dx 21g2(x)dx 2(x) >0,丄blnb a af(x)dx)上的连续减函数，f (x) >0;又设nnanf(k