奥林匹克整理

1、整数奇偶性和整除性例2 设n为奇数，a1 ,a2,an,是1,2,3，n的任意一个排列，证明：a1 -1a2-2（an-n）必是偶数。例3 n个整数a1 ,a2,an，其积等于n,其和等于0，试证：4|n.例6 设正整数d不等于2,5,13，证明集合2,5,13，d中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是完全平方数。例8 设m,n是任意正整数，试证：S=1m+1m+1+1m+n不是整数例10 证明：不定方程x2+y2=1983无整数解。整除性例1 设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：a3b-ab3, b3c-bc3,c3a-ca3三个数中至少有一个是10的倍数。例3 p5是素数，且2p+

2、1也是素数，证明4p+1必是合数。例6 求最大的正整数x，使得对每一个正整数y，都有x能整除7y+12y-1. 例9 设p,q均为自然数，使得pq=1-12+13-11318+11319。证明：1979| p.例11 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求这个数列的第1000项。素数与合数基本性质1若aZ，a>1,则a的除1以外的最小正约数q是一个素数，若qa,则qa.(2) 若p是素数，a为任一整数，则必有p|a或（p,a）=1.3设 a1,a2,an为n个整数，p为素数。且pa1a2an,则必有pai .4算数基本定理：a=p11p22pkk(*)(5)若a 的标准分解式是

3、*，a的正因数的个数记为fa,则fa=(1+1)(2+1)(k+1)例2 形如4n-1的素数有无限多个。例3 已知集合M=2，3，4，1994求证：从M中任意取出15个两两互素的元素，其中至少有一个素数。例4 求方程xx+y=z+120的素数解。例7 求出最小正整数n，使其恰有114个正约数，并且其中有10个是连续整数。同余同余的性质定义1 设m是大于1的正整数，a,b是整数，如果m|a-b,则称a,b关于m同余，记作abmod m.性质1 ab (mod m)m|a-b性质2 同余是等价关系性质3 若 ab mod m cd mod m,则： 1a±cb±d mod m

4、2acbd mod m 3anbn (mod m)性质4 若ai bi mod m ,则anxn+an-1xn-1+a1x+a0bnxn+bn-1xn-1+b1x+b0 (mod m)性质5 若acbc mod m, c,m=1,则 ab mod m性质6 若ab mod m,则1如果kN,则 akbk mod mk 2若d是a,b,m的公约数，则adbd (mod md)性质7 若ab mod m, d|m, d>0则ab mod d 二 欧拉函数和欧拉定理（1） 欧拉函数：设m为一正整数，在序列0，1，2，m-1中与m互素的数的个数记作（m),称为欧拉函数。（2） 欧拉定理：若a,m

5、=1,则am1 mod m（3） 费马定理：若p为素数，则apa mod p（4） 若n=p11p22pkk,则n=n1-1p11-1p21-1pk三 剩余类和完全剩余系1 模m的剩余类：0，1m-12 完全剩余系：0，1，2，m-1例1 设a,b,c是三个整数，证明下面三个数ab(a+b)(a-b), bc(b+c)(b-c), ca(c+a)(c-a)中至少有一个是24的倍数。例3 求20032005被17除的余数。例4 求证：不定方程x14+x24+x34+x144=1599无整数解例5 求使2n-1为7的倍数的所有正整数解n. 例7 试确定具有下列性质的正整数n，,集合M=n,n+1,

6、n+2,n+3,n+4,n+5，可以分成两个不相交的非空子集，使得一个子集中所有元素的积等于另一个子集的所有元素的积。例8 任意给定一个N，总可以用1986的四个数码经过适当排列得到一个四位数a1a2a3a4,使得7|N+a1a2a3a4 .第四节 不定方程不定方程：未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程。常见问题：方程是否有解？有解时，解的个数？求出全部解（通解）解不定方程的基本方法：分解方法；同余方法；估计分法 一次不定方程定理1 二元一次不定方程 ax+by=c（*） 有整数解的充分必要条件是 （a,b）|c.定理2 若a,b=1,且x0,y0为（*）之一组解，则方程的全部解为x=x0

7、+bty=y0-at tZ例1 求107x+37y=25 的一切整数解。例1 求不定方程 x2y+2x2-3y-7=0 的整数解。例2 求方程3×2x+1=y2的正整数解。例3 求方程2n-1=yk,k>1的正整数解。数列的通项问题基本知识等差数列的知识：（1） an为等差数列，则an+kk为常数也是等差数列。（2） an、bn为等差数列，则man+nbnm,n为常数也是等差数列。（3） an为等差数列，则m+n=p+q的充要条件是am+an=ap+aq等比数列的知识：（4） an为等比数列，则an+kk为常数也是等比数列。（5） an、bn为等比数列，则man*nbnm,n为

8、常数也是等比数列。（6） an为等差数列，则m+n=p+q的充要条件是aman=apaq例1 数列an中，a1=2,an+1=anan+3,求an.例2 设正数列an满足，a0=a1=1，anan-2-an-1an-2=2an-1,(n2)求an.例8 设数列an满足，an+1=an-1+an (n2),且a1=a2=1,求an.数列求和例2 设数列an满足：a1=a2=1,a3=2，且对任意自然数n,都有anan+1an+21，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则S100=？数列的性质例1 数列an满足3an+1+an=4，n1，且a1=9，其前n项和为Sn，

9、则|Sn-n-6|<1125的最小整数n是几？ 例2 设等差数列的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出S1a1，S2a2，S3a3，S12a12中，哪一个值最大？例8数列an满足a1=-1，an+1=2an+3an2+1, n1， 证明：数列an各项均为整数。不等式例1 解不等式：2ax-a2>1-x a>0.例8 设0a,b,c1，求证：ab+c+1+ba+b+1+ca+b+1a+b+ca+b+1.例13设a1,a2，,anR+，满足a1a2an=1，求证：（2+a1)(2+a2)(2+an)3n例14

10、 设a,b,c是三角形三边，证明：a1+a+b1+b>c1+c重要不等式1 均值不等式：设a1, a2,an为正数，则有a1 +a2+annna1 a2an,当且仅当a1= a2=an时等式成立。2 柯西不等式：设非零实数组a1, a2,an及实数组b1, b2,bn，则有i=1n(aibi)2i=1nai2i=1nbi2当且仅当对应项成比例时等式成立。推论1 当ai,bi同号时，a1b1+a2b2+anbn(i=1nai)2(i=1naibi),当且仅当b1= b2=bn时等式成立推论2 当aiR,biR+,则a12b1+a22b2+an2bn(i=1nai)2(i=1nbi)3 排序

11、不等式：设a1 a2an及b1 b2bn，则有a1bn+a2bn-1+anb1a1bj1+a2bj2+anbjna1b1+a2b2+anbn4 琴声不等式：设fx是a,b内的凸函数，则对于a,b内任意的n个实数x1,x2,xn,则有fx1+x2+xnn1nf(x1+fx2+f(xn),当且仅当x1=x2=xn时等号成立。例4 若a,bR+,证明：ab+c+ba+c+ca+b32.例5 设a1,a2,ak,为两两不同的正整数，求证：对于任意的自然数n，k=1nakk2k=1n1k.最值问题例1 求函数y=x-1-2x的最大值。例2 例5 若x2+4y2-4=0,求fx,y=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。例3 例6 若x2+4xy+y2=19,求fx,y=x2+y2的最值。例4 例7 求y=x21-3x在0,13内的最大值。例5 例8 求y=x2+8x+64x3的最小值。例6 例12 设x+y+z=1,求fx,y=2x2+3y2+z2的最小值。例16 设x,yR，且x+y=5,