实数连续性定理等价性的两种证明方法

1、第十讲实数连续性定理等价性的两种证明方法实数集的连续性是实数集有别于有理数集的重要特征。极限理论建立 在实数集上，极限理论就有了巩固的基础。（1）单调有界定理、（2）闭区间套定理、（3）确界定理、（4）有限覆盖定理、（5）聚点定理、（6）致密 性定理及（7）柯西收敛准则的充分条件，虽然它们的数学形式不同，但是 它们都描述了实数集的连续性。它们是互相等价的。即任意一个定理都是 其它定理的必要充分条件。文1把单调有界定理作为公理，从这条公理出发，证明其它几个定理。证明过程如下：（1） 单调有界定理 = （ 2）闭区间套定理 =（3）确界定理；（2） 闭区间套定理 =（4）有限覆盖定理 =（5）聚点

2、定理=（6）致 密性定理=（7）柯西收敛准则的充分条件。这种证明过程，还未证完这七个定理的等价性。现给出上述七个定理 互相等价的两种证明方法。第一种方法证明过程（1） = （ 2） = （3） = （4） = （5） = （ 6） = （ 7） = （ 1 ）。 文1已证明（1） = （ 2） = （ 3）和（4） = （ 5） = （ 6） = （ 7）。现只需再证明（3） =（ 4）和（7） = （ 1 ）。（3）=（ 4）用确界定理证明有限覆盖定理。有限覆盖定理：若开区间集S覆盖了闭区间a,b，则S中存在有限 个开区间也覆盖了闭区间a, b。证明：构造集合E=x|xw a,b,a,x能被

3、S中有限个开区间覆盖。则E非空。事实上，因为 S覆盖了闭区间a,b，那么a, a二a，必存在S的一个开区间覆盖了它。所以a Eo又因为xE,xb，所以E有上界。由确界定理，E有上确界。设supE =Xo则X。 a,b,从而，S中必有一个开区间C厂），使 x C ,:）。由上确界定义，存在x< C ,x。E。因为a,/为S的有 限覆盖，添加（，：）后，a,x0也是S的有限覆盖，故XoE。现证x0 =b。事实上，若 x0 = b，则x0 ： b，从而在（xo, 一：）上必存 在x2 a,b，使得a, x2也是S的有限覆盖，这与supE = x（）矛盾。所以 x0 =b，即S中存在有限个开区间

4、覆盖了闭区间 a, b。（7） = （ 1）用柯西收敛准则的充分条件证明单调有界定理。单调有界定理：单调有界数列an必有极限。证明：不妨设an单调上升有界，则存在m00，且a.| c mo, n = 1,2,。假如a.的极限不存在，由柯西收敛准则充分条 件的逆否命题得：-0 - 0，对任意自然数 N,m, n N,使得an-am'X（ *）取皿=创匕+1，由（* ）式；0对 N! =1, n!2 - nnM，使得am2 一ann = %佗 一ann 占%（ 1）对 N2 =n 12, T n22 - n21 - N2，使得an22 an12 an22 an21_ "0（ 2）

5、对 Nm =n M42,- nM2，n m 1 N m，使得anM2 -anM2 -2 一弘1 一 ；0（ M将上述M个式相加，得即anM2 M ；0 anllM ；o - m°2m° ；。- m° = m° ,这与；oajcmo, n= 1,2，矛盾。所以，数列an必有极限。第二种方法证明过程（3） =（ 4） =（2） =（6） =（ 5） =（ 7）=（ 1） =（ 3）。（3） n （ 4）和（7）二（1），前面已经证明。下面证明（4） n （ 2）=（ 6） = （ 5） =（ 7）和（1） = （ 3）。（4）= （ 2）用有限覆盖定理证明闭

6、区间套定理闭区间套定理：设有闭区间列 an,bn，若a，bn二 a 1，bn 1, n =1,2, ; lim（bn - an） =0n_）pc则存在唯一数- " an,bn, n = 1,2,，且 lim an = lim bn =。nnJpC证明：先证存在a1,b1，对一 ； 0，在-；）含有an的无穷多项。事实上，若不存在这样的，则- x a1,b1, -J - i 0，在以- ；i,x；J中只含有an的有限项，现对印，上的每一点Xi作其 邻域，得一开区间集s,从而S覆盖了 abj，由有限覆盖定理，S能有限覆盖a1,bj，设其中m个开区间覆盖了 a1,b，因为这些区间都只含 a

7、n的有限项，m个开区间也就只含an的有限项，这与 aj _ an _ R , n = 1,2，矛盾。所以存在a1,b1，对；0，在（-；，；）含有an的无穷多项。现证 lim a =。nC n因为一；0，在含有an的无穷多项，设a” ( - ；，；)，则n N, n°n, a%( -；,；),由于an单调上升，从而有+ s >anaaN即有an 巴 < 名，所以 lim a* =匸。n_jpc又 lim bn 二 liman (bn -an)= liman lim (bn-an)二 0 二 。n ,n ,n ,n一 bm ,有 an ： bm ,令 n ',得乞

8、bm, m = 1,2,.同理有 an 乞，n =1,2,.所以有an,bn, n =1,2/ .再证唯一性若存在 an,bn2 an,bn, n =1,2，则0 兰 J 旬兰 bn an T 0(nT °o).所以 7(2) = ( 6)用闭区间套定理证明致密性定理 致密性定理：有界数列xn必有收敛的子列xn。证明：设m：x：M ,n =1,2/，将m,M二等分，取含有xn中无穷多项者为a1,bj，在a1,b中取x*的一项x*1 ；再将a1,bd二等分，取含有x*中无穷多项者为azb，在a2,b2中取x*的一项x*2，且n2n1 ；。按此方法，可得闭区间套 a. ,0 ,满足：an

9、,bn二an 1,bn 訂，n =1,2,; lim (g -a.) =0 ；由闭区间套定理，nJpC存在唯一数an ,bn, n二1,2,且”叫耳二叩-*二。从Xnk的取法知ak Xnk 乞 bk, k =1,2,.上式令k：，得 何沧 二.所以有界数列xn有收敛的子列Xnk。聚点定理：数轴上有界无限点集 E至少有一个聚点。证明：因为E是有界无限点集，所以可取Xn E,n = 1,2,，且n = m 时，Xn =Xm，贝U Xn是有界数列。由致密性定理，Xn有收敛的子列xj，设lim Xnk二。则为E的聚点。事实上，一 ； 0，在-；，：；) 中含有Xnk的无穷多项，即含有 E中的无穷多个点

10、。(5) = (7)用聚点定理证明柯西收敛准则的充分条件柯西收敛准则：数列an收敛=_ ； 0, Z；- n,mN有a a < 8.证明：现证充分性.首先证an有界.取；-1 ,-叫，- n, m0 M有 an amJ<1,从而如 A 汕有|an=an amo+am°兰1 十。.取 M = max引，a?,，,1+际.则 a M , n=1,2,.即an有界 若an含有无穷多个不同的数，则这些不同的数组成一个有界无限 点集E,由聚点定理知它必有聚点Xo.从而在X的任一：邻域含有E的无穷多个点今证lim an =X0.nC nV ® >0,由条件知，EN,

11、Pn, m a N ,有an am £上在X。的三邻域内2 2的无穷多个属于 E的点中，取一点am ,且使m a N ,则am - X0 £壬从而2 n N有z zan _x° 兰 an _am +am_X°2 2所以，lim an =X0.a° 在an 若an仅有有限个不同的数重复组成，则至少有一个数中出现无穷多次，即有无穷多项an =a0.今证liman = a0.kn由条件于 g :> 0, mN 乏 Z +,Pn, m > N 有 an - am c g.取 m = nk 则ank - a0 = 0 .所以 /n a N ,

12、有a. a° 兰 a. ank + a.k a。£ 名 + 0 =名. 即 lim a. =a°.kkn(1) = (3)用单调有界定理证明确界定理确界定理：若非空数集 E有上界(下界),则数集E存在上确界(下确界).证明：设M为E的上界.若M E,则显然有 M二supE.若M - E ,则-X E ,有x ： M .取X。 E，若Xo是E的上确界，则命题已证.若Xo不是E的上确界，则X0不是E的上界。取Xi =总 M ,若Xi是E的上界，记2Xo=a x<i = b| ,右 Xi 不是E的上界，贝U记x a! ,M二R ,biM - x°-ai-

13、;又取 x22宁，若£是E的上界，ai=a?,X? = b?,若 X2 不是E的上界，则记x? =a2,bi =b2 ,b?一 a2M - x°22按此方法,可得ai _ a? - an-bn -_b2 bi,且M x0Fm/bn F) Jm： 2n7.an是单调上升有界数列，bn是单调下降有界数列，由单调有界定理 an , bn存在极限.设 lim an J；i，limbn：；?,n_JpCn粹 - 2 = lim a. - lim g 二 lim 何-b.) = 0 .所以，i 工焉.从 n ,n ,nan, bn的取法可知，- n Z ,an不是E的上界，bn是E的上

14、界.从而-x E, x乞bn, n =1,2,，.x乞lim bn二務“冷.即打是E的上界.又因 n_jpc为 liman=®,所以，灯名 >0,日 n°,an0©vg =an0>Js 因为n00an°不是E的上界，所以，1 - ；更不是E的上界，故1是E的上确界例1。设f (x)为a，b上的单调增函数,且a :： f(a) :： f (b) :：: b，证明：7三(a，b)，使得 f)二'o证明：用反证法，假如I三(a,b), f)=，记a,b =a1,，将固4二等分，则，若，记2 2 2 2._a<b1a? - a1,b?，

15、反之，记2，按此方法可得二 nim：bn 二(a,b),a1 bi a2,d =0,= a? ： f (a?) ： f(b2):： b?,2闭区间列Yan,bnF，满足：(1)(2)(3)an，bn二ani，bn 1，n =1,2，川；lim( bn -an) Tim0 ;nnan ： f (any f(bn) ： bn, n =1,2，川。由闭区间套定理,一】e an,bn, n =1,2川|m_an由f (x)的单调增加性，f (a.)乞f ( J乞f (bn)，再由(3)得an ”： f ( ) ”： bn,令 n : f ( ) f ()= 与假设矛盾。故命题得证。即一二三(a,b),使得f( J二。习题101. 用确界定理证明：单调增加数列fa/存在极限。2. 用柯西收敛准则(充分性)证明闭区间套定理。3. 证明，若函数f(x)定义在区间(a,b)内，一 x (a,b), (x-jX，x), 使f (x)在(x-、：x，x，x)内单调增加，则