高中数学_绝对值三角不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

1、绝对值三角不等式教学设计：1. 教学目标知识与能力了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式及推导方法，并会简单应用；过程与方法学生能借助实数a的绝对值（Ia ）的几何意义,在数轴上标出a,b I, a+b并探究出a+b小于等于Ia + b :学生能运用数形结合的思想方法理解并证明绝对值三角不等式（左 理1）,能利用泄理1解决相关问题.态度与价值观学生通过本节课学习活动的进行，能提升对数学问题的探究意识，找 到探究问题的思路与方法，在学习过程中体验不等式的美感，提高 推理能力，培养学生合作交流能力，增强学习兴趣.2. 教学重难点重点：左理1的生成与绝对值不等式的几何意义.难点:定理1和建

2、理2的发现与证明及应用二.教学过程1情境引入:老师：前面我们学习了不等式，从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及到距 离的长短，面积或体积的大小，重量的大小，等等，它们都要通 过非负数来表示因此，研究含有绝对值得不等式具有重要意义. 今天我们就从绝对值三角不等式开始.首先我们看这样一个问题:问题1 在数轴上，你能指出实数a的绝对值Id的几何意义吗？引的几何意义？它表示数轴上坐标为a的点兔到原点的距离；数轴上A,B两点间的距离对绝对值的认识不仅从代数角度，还要从几何角度理解.2.探究新矢口：问題2.我们知道<rb=a6,=l（b0）,那Ia+b=a+b是否成立呢？小组活动1:探究lal

3、 + lbl、a+b之间的关系，（a、b是实数）由小组代表发言说明. 学生 A：举特例 L a=b b=2； 2. a=-b b=2； X a=-l, b=-2发现a+b a + b. 老师：这个探究思路运用了由特殊到一般的归纳推理，许多重要定理和定律都是这样 被发现的，但所得的结论一定正确吗？如何证明它？学生B：绝对值大小可以通过两边的平方作差进行比较,从而得出结论a+ba + b.证明:+>2 =(+ft)2 =2 + 2ab + b2,04 + Z>y =IaI2 + 2aA+Z>2 =o2 + 2afe + b2, ab ab,. a + 2 (a + )2,.,.a

4、+a + .老师：这个探究思路先证明平方后的大小关系，再由底数都是非负数，可得开方后不 等号方向不变,所以这个论证是正确而且严谨的.当然还可以分类讨论ab=0, ab>0, ab<0 三种情形；ilE明：山绝对值的定义,不难得到:当ab > 0M, +5 = + Z>.当"综上可知,0 + b< +同.当血<0时， + bv问+问.当且仅当abn时等号成立学生C：从数轴上看两个式子的几何意义可以发现结论：绝对值的几何意义代表数轴上 的点到坐标原点的距,离所以当ab>0时,A、B位于原点0的同侧， 作出a+b不难发现a+b = a + b;当a

5、b<0时，又可分为a正b 负跟B负b正两种情况，此时A、B位于原点0的两侧，作出a+b 不难发现a+b<a + b;当ab=0时，a、b至少一个为零，容易 看出 a+b = a + b老师：经过大家的共同探讨，我们得到定理1： 如果6 b是实数，a+ba + b当且仅当abN0时，等号成立。小组活动2：如果把定理1中的实数a, b换成向量,又能得到怎样的结果？你能解释它 的几何意义吗？学生D： 1.当向量ab至少有一个为零向量时,和向量的模与两个向重的模长之和相等； 2.当向量ab中不含零向量时，在讨论共线不共线两种情况：若 不共线,由向量加法的三角形法将ab向量首尾相连,作出和向

6、量， 有三角形两边之和大于第三边不难得到和向量的模小于两个向量 的模长之和；若向量ab共线时，分为同向与反向，若同向共线, 作出和向量得到此处取等成立；若反向共线，作出和向量得到此 处不难得到和向量的模小于两个向量的模长之和成立；小组活动3：根据前面的探究思路，你还能得出a, b, a+b, a-b等之间的那 些关系？学生E：由a+ba + b的几何解释“三角形两边之和大于第三边”联想到“三角 形两边之差小于第三边”故可得IaI-Ibla-b.学生F：因为a, b为实数，可将a+ba + b中的b用b来代换，可得a-ba + b<学生G：仍然运用代换思想，将a+ba + b变形得到a+b

7、Hba,再将8-b 代换a就可得到IaI-Ibla-b.学生H：在数轴上，我观察a, b, a+b, a-b的几何意义，发现它们的大小关系 IaI-Iba ±b.老师同学们的回答非常精彩，思路也很开阔，对于表象上的数的绝对值不等式关系， 同学们从代数的角度进行变形.数的代换等方法得到相关结论， 还从形的角度发现和论证结论，尤其是以形助数更为直观，这样 我们可以得到如下的结论:Ial-Ibla+ba + b a-babab 左边等号成立的条件d 右边等号成立的条件是, 0 卜 bM0-bMB+0l 左边等号成沉的条件是* 右边等号成左的条件是：b t L b; abQ abL >

8、 同：abQ 注：等号成Hlli夬：冋加冋减.则a. b同号：加减则a、b斥号。3. 典型例题：例1求证：如果a, b, C是实数，那么a-ca-b + b-c 当且仅当(a-b) (b-c) 0时，等号成立。例2已知m > 0X - a I < m, y - b < m, 求证2x+3y-2a-3b< 5m4考题链接：(2014-江西高考)对任意X, yR, x-l + x + y-l + +l的最小值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：对任意xR, 2-l + 2x+lm恒成立，则实数m的取值范围为.变式:若 ×f yK, TlXI+ y +

9、 x-1 + y-l I 2, 则x÷y的取值池审为.5. 课堂小结：(1)绝对值不等式：Ia+ba + b及证明方法；注意取等条件<2)数学思想方法：由特殊到-般的归纳推理由实数到向量的类比联想一维角度扩展到二维角度数形结合 分类讨论拆项，添项，配凑，代换6. 课下延伸：绝对值三角不等式类比迁移：向量形式:如果a,b是向量,则IaI-IbIla±ba + b;复数形式:如果 z2 是复数,则 Il ZlI-IZ2z1±z2 z1 + z2.定理推广:61+6Z2+- + fZttpr + f2 + - + H .当且仅当"1，«2

10、87;你都非正或都非负时取等号.板书设计定理2：例2：真题连线定理1：例1：备用习题（2012年北约）求方程 z÷ll6 -r I 2 + r÷27-10 Zr÷2 = I 的实根个数.（2011年全国商中数学联赛四川初赛试趣）己知实数X满足2x÷l + 2-5 =6, 则X的収值范隔足绝对值三角不等式学情分析：学生虽然在初中接触过绝对值的主义与几何意义,但对于绝对值不等式没有深入研究过, 所以本节课的知识对学生来说比较新鲜的同时，利用几何意义探究绝对值不等式相关问 题的方法对学生来说比较困难.绝对值三角不等式效果分析正本节课以"问题导入自主探

11、究一类比迁移新知应用一归纳总结"为教学主线,在 预设的时间内完成了既左的教学任务,达到了预期的教学目标。问题链的设汁取得了设疑启 发兴趣的作用：绝对值几何意义的回顾也起到了铺垫的作用；小组的探究合作基本得到落实， 当堂检测检验了学习的效果;但最后总结方法规律特别是对整个探究过程采取的不同维度和 视角没能充分展开。绝对值三角不等式教材分析：本Yj课选自普通髙中课程标准实验教科书数学选修4-5人教A版第一讲“不等式和 绝对值不等式”第3课时，绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝 对值的不等式具有重要的意义.绝对值三角不等式既是一个基本的结论，又是知识承上 启下的一个生长点

12、呈上：学生在初中就已经接触和学习了实数的绝对值的左义及其几 何意义：启下：绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法.绝对值三角不等式评测练习:典型例题例1求证：如果a, b, C是实数，那么a-ca-b + b-c 当且仅当(a-b) (b-c) 0时，等号成立。例2已知m > O, X- a < 叫 y- b < m, 求证 I 2x + 3y- 2a- 3b < 5m考题链接：(2014-西高考)对任意 X, yR, x-l + x + y-l + y+l 的最小值为()A 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：对任意xR, 2-l + 2x+l m恒

13、成立，则实数m的取值范围为.变式二若 ¾yR,<x + y+-l+y-l2,则+y的取值范围为 备用习题:（2012年北约）求方程 z÷ll-6 z÷27 + Vr÷27 IO +1 的实根个数.（2011年全国高中数学联赛四川初赛试题）己知实数X满足2x+l +2-5=6, 则X的取值范围是.绝对值三角不等式课后反思正本节课以"问题导入一一自主探究一类比迁移新知应用一归纳总结"为教学主线,在 预设的时间内完成了既龙的教学任务,达到了预期的教学目标。反思教学过程,有可取之处, 也有不足。首先在本肖课的课堂教学中我坚持了学生活动的

14、自主性，通过设疑使学生主体处 于活跃兴奋状态，使思维的活跃成为重点，让学生在教学实践过程中学会发现问题，总结规 律，归纳探究问题的数学策略与思想方法。但实际进展与自己曾设想的效果还是有一立的差 距。一是对学生评价不是太到位。尤英对表现精彩的学生，应给岀充分的肯立及鼓励。二是 小组合作学习时间太少，教师指导还不到位，只照顾到个别小组。因此，汇报交流时，个别 小组不太积极。绝对值不等式课标分析：新课标人教版A版不等式选讲第一讲的第二个内容一一“绝对 值不等式”。此内容共分为两个课时，本讲为第一课时。本节内容的 地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。本章主要是把初中 绝对值与一次不等式联系起来研究学习的；对后面学习一元二次不等 式的内容具有引导作用；本章节在高中数学中具有很重要的位置。根据教学大纲的要求以及学生的认知能力，定了一下教学目标：知识目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基木性质的推导过程;2. 掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3. 理解绝对值三角不等式4. 会用绝对值不等式解决一些简单问题。能力目标：通过对定理得探索与发现向学生渗透数形结合、类比与转化的思想，培养学生观察、比较、概括等逻辑思维能