高中数学同步讲义必修二——第三章3.2.2直线的两点式

1、322直线的两点式方程【学习目标丨1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2. 了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.问题导学预闰新知劳实基础知识点一直线方程的两点式思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点 (2,3), (5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1 1 = 0，而O不能做分母.过点(2,3), (5,3)的直线也不能用两点式表示. 梳理名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(1, y1), P2(2,y2),其中 X1 X2 , y1 y2y y1 x X1 y2 y1 X2 X1斜率存在且不为0知识点

2、二直线方程的截距式思考 已知两点P1(a,O), P2(O, b),其中a 0, b 0,求通过这两点的直线方程. 答案由直线方程的两点式，得y0 = Xa,b 00 a即 a ÷ y= 1.梳理名称已知条件示意图方程使用范围截距式在X, y轴上的截 距分别为a, b且a 0, b 0(oX _y -÷f= 1 a b斜率存在且不为0,不过原点知识点三线段的中点坐标公式X1 + X2 X= 一 ,y1 + y2若点PI, P2的坐标分别为(X1, y), (X2, y2),设P(x, y)是线段P1P2的中点，则-思考辨折判断正俣 .X y1. 不经过原点的直线都可以用方程

3、a+ b= 1表示.(× )X1)= (X- 1)(y22. 经过任意两个不同的点 P1(1, y), P2(2, y2)的直线都可以用方程(y- y1)(2y1)表示.()启曲思鲜撩究点3 .能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )题型探究所以y 23 2X3,即 10+ 11y+ 8 = 0 ,所以BC边上的中线所在直线的方程为10+ 11y+ 8= 0.引申探究 若本例条件不变，试求 BC边的垂直平分线所在的直线方程.4 22解 kBC =-,5 05则BC边的垂直平分线的斜率为 2，5又BC的中点坐标为 2， 3 ,55由点斜式方程可得 y+ 3 = 2 x 5

4、,即 10x 4y 37= 0.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方 程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即X2与y2是同一点坐标，而X1与 y1是 另一点坐标.跟踪训练1 若点P(3, m)在过点A(2, 1), B( 3,4)的直线上，则 m =答案 2解析由直线方程的两点式，得y 141x 23 2x 2直线AB的方程为y+ 1 = x+ 2,/点P(3, m)在直线AB上,

5、m+ 1 = 3 + 2,得 m= 2.类型二直线的截距式方程例2求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线I的方程.2解 方法一 (1)当直线I在两坐标轴上的截距均为 O时，方程为y = -x,即2x 5y= 0;5(2)当直线I在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为f+一匚=1 ,即x y= a,a a又 Tl 过点 A(5,2), 5 2 = a ,解得 a = 3, I的方程为x y 3= 0.综上所述，直线I的方程是2x-5y= 0或X- y 3= 0.方法二由题意知直线的斜率一定存在.设直线的点斜式方程为y 2 = k(x- 5),2当 X= 0 时，y= 2- 5k

6、,当 y= O 时，X= 5匚.2 2根据题意得2 -5K=- 5-K ,解方程得K = *或1.2 2当K= 5时，直线方程为 y 2= 5(x- 5),即2x- 5y= 0;当K= 1时，直线方程为 y 2 = 1× (X- 5),即卩X- y- 3= 0.综上，直线I的方程是2x 5y = 0或X y 3= 0.反思与感悟(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 跟踪训练2 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A 1条B

7、 2条C 3条D .无数多条答案 C解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为 0时，有一条，共3条.达标检测aw达折过关1在X轴，y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是()A.b3+d4+±= 1C-4=1 答案 A 2 .经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为y= 2D X= 6C X= 3答案 B解析 由M , N两点的坐标可知，直线 MN与X轴平行，所以直线方程为 y= 2,故选B.3 .过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为O的直线方程为 .答案 2x y= O 或 X- y+ 1 = O解析当直线过原点时，得

8、直线方程为 2x y= 0;当在坐标上的截距不为零时，可设直线方程为Xy = i,a a将X= 1, y= 2代入方程可得 a= 1,得直线方程为X y+ 1 = 0.直线方程为 2x y= 0或X-y + 1 = 0.4 .已知点A(3,2), B( 1,4),则经过点C(2,5)且经过线段 AB的中点的直线方程为 .答案 2x y+ 1 = 0解析 AB的中点坐标为(1,3),y 3 X 1由直线的两点式方程可得=,5321即 2x y+ 1 = 0.5.直线I过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线I的横截距与纵截距之和为6 ,求直线I的方程.解 设直线I的横截距为a,由题意可得纵截距为

9、6 a,所以直线I的方程为X + J = 1,a 6 ay 一 yX 1 .当直线没有斜率(X1 = X2)或斜率为O(y= y2)时，不能用两点式= 求它的方程，y2 y X2 Xi此时直线的方程分别是X= Xi和y= yi，而它们都适合(X2 Xi) (y yi)= (y2 y)(x Xi)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(X2 Xi)(y yi) = (y2 yi)(X Xi)的形式2 直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截

10、距存在且同时等于零.课时对点练 !主重取基强优薯实答案 B 解析 依题意知，直线I的截距式方程为 +丄=1(a>0, b>0),显然直线I只能过第二、a b三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.4 以A(1,3), B( 5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A 3x y 8= 0B 3x+ y+ 4 = 0C 3x y+ 6= 0D 3x + y+ 2 = 0答案 B1 31解析 因为kAB=-, AB的中点坐标为(一2,2),5 13所以所求直线方程为y 2= 3(x+ 2),化简为3x+ y+ 4 = 0.5.若直线l过点(一1, 1)和(2,5),且点(

11、1 009 , b)在直线l上，贝U b的值为()A 2 019 B 2 018 C. 2 017 D 2 016答案 Ay 1 X 1解析由直线的两点式方程得直线l的方程为=5 12 1即 y= 2x+ 1 ,令 X= 1 009 ,则有 b= 2× 1 009+ 1,即 b = 2 019.6 (2017菏泽二中检测)一条光线从点12 0处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(A y = 2x+ 1y= 2x+ 1C y= 2x11 1y= 2x 2答案解析由光的反射定律可得，点12,10关于y轴的对称点 M 2 0在反射光线所在的直线上.再由点B(0,1)

12、也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程1y 0 x 2为 = ,即 y= 2x+ 1.1 0 010 27.两条直线1仁X y = 1和2: X y= 1在同一直角坐标系中的图象可以是()a bb a答案解析两条直线化为截距式分别为X bX+±丄=1假定1,判断a, b,确定2的位置,a符合.8.直线I经过点A(1,2),在X轴上的截距的取值范围是(一3,3),则其斜率的取值范围是()A.B.-, 2 U (1,+ )1c.(-, 1) 5,+D.(-,- 1)U 1,+ 答案 D 解析 设直线的斜率为 k,如图，过定点 A的直线经过点B时，直线I在X轴上的截

13、距为3,1此时k=- 1;过定点A的直线经过点 C时，直线I在X轴上的截距为3 ,此时k=2，满足条件的直线I的斜率的取值范围是(一,- 1)U 2,+ .二、填空题9. 过点P(1,3)的直线I分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线I的截距 式方程是 答案2+ 6 =1解析 设 A(m,O), B(O, n), 由P(1,3)是AB的中点可得 m= 2, n = 6, 即A, B的坐标分别为(2,0), (0,6), 则I的截距式方程是X + y= 1.2 610. 过点(1,3)且在X轴上的截距为2的直线方程是 答案 3x + y 6= O解析由题意知直线过点(2,0),又

14、直线过点(1,3),由两点式可得，y 0 x23 0= 1 2, 整理得3x+ y 6= 0.11. 已知A(3,0), B(0,4),直线AB上一动点P(X, y),贝U Xy的最大值是 .答案 3解析直线AB的方程为X + y= 1,3 4设 P(x, y),则 X= 3 3y,Xy= 3y 3y2= 4( y2+ 4y) = 3 (y 2)2+ 4 3.3即当P点坐标为2 2时，Xy取得最大值3.三、解答题12. 在 ABC中，已知 A(5 , 2), B(7,3),且AC边的中点 M在y轴上，BC边的中点 N在X轴上，求：(1) 顶点C的坐标；直线MN的截距式方程.解(1)设 C(X0

15、, y0),则AC边的中点为MX0 + 5 y0 22 , 2BC边的中点为NX0+ 7y0 + 3o+ 5因为M在y轴上，所以一2 = 0,解得x0= 5.y0 + 3又因为N在X轴上，所以一2 = 0,解得y0 = 3.即 C( 5, 3).5(2)由(1)可得 M 0, 2 , N(1,0),所以直线MN的截距式方程为5 一 2 y 一+X-113 .已知 ABC的三个顶点分别为 A(0,4), B( - 2,6), C( 8,0).(1) 求边AC和AB所在直线的方程；(2) 求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3) 求AC边上的中垂线的方程.解(1)由截距式，得边 AC所在直线的方

16、程为-° + #= 1 ,即x 2y+ 8= 0.-8 4y 4 X 0由两点式，得边 AB所在直线的方程为=,6 4 2 0即 x+ y 4= 0.由题意，得点 D的坐标为(一4,2),由两点式，y 2X 4得边BD所在直线的方程为=6 2 2 4即 2x y+ 10 = 0.1(3) 由kAC= 2,得AC边上的中垂线的斜率为一 2.又AC的中点坐标为(4,2),由点斜式，得 AC边上的中垂线方程为y 2= 2(x+ 4),即 2x+ y+ 6= 0.四、探究与拓展14. 若直线I与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18,则直线I的方程为答案 x+ y ±

17、;5 = 0 或 x y±5 = 0解析直线I与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，直线I在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若I在两坐标轴上的截距相等，且设为a,则直线方程为x+ y= 1 ,即x+ y a= 0.a a. 1 2 2a= 18，即 a = 36, a = ±5,直线方程为x+ y±6= 0.X若I在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a,则纵截距为-a,故直线方程为x +a= 1, 即卩 X y a = 0.a1 2 a a= 18 ,即 a2= 36, a = ±5, 直线方程为 x y±5 = 0.综上所述，直

18、线I的方程为x+ y ±5= 0或x y±5 = 0.15. 已知直线I : x y+ 3 = 0, 束光线从点 A(1,2)处射向X轴上一点B ,又从B点反射到I 上的一点C,最后从C点反射回A点，求直线BC的方程.解 作点A关于X轴的对称点A2,贝V A2(1 , 2).设点A关于I: x y+ 3 = 0的对称点为 A1(X0, yo),X0+ 1yo+ 2X0= 1 , 解得y0= 4,2 一 2+ 3= 0,yo 21 = 1,×X0 1 即A1点坐标为(一1,4).由已知条件知点 A1, A2均在直线BC上,由直线的两点式方程，得y 4 x+12 41 + 1即3x+ y 1 = 0.故直线BC的方程为3x+ y 1 = 0.类型一直线的两点式方程例 1 已知 A( 3,2), B(5,- 4), C(0,- 2),在 ABC 中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解 (1)BC 边过两点 B(5, - 4), C(0, - 2),y 4 X 5由两点式，得=,即 2x+ 5y + 10= 0 ,-240 - 5故 BC 边的方程是 2+ 5y+ 10 = 0(0 5).设BC的中点为 M(