高中数学平面向量基本概念以及线性运算知识题型总结(超级全面)

1、平面向量基本概念以及线性运算知识题型总结(绝对全面)知识梳理：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a,b等表示；平面向量的坐标表示：分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量 iIj作为基底。任作一个向量 a ,由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数 X、y ,使得a X i y j, (x, y)叫做向量a的(直角) 坐标，记作a (X) y),其中X叫做a在X轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i (1,0), j (0,1),0 (0,0)a .2 y2 ; 若 A(x1, y1), B(x?, y?), 则

2、 AB (X2 X1,y2 y)，| AB| , (X2 Xi)2 (y? y )2 .3.零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为 0 (规定零向量的方向具有任意性)；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 (注： 就是单位向量).|a|4 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行向量a,b,c平行，记作abc.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.向量加法用三角形法则和平行四边形法则.向量的减法用向量 a加上的b相反向量，叫做 a与b的差。

3、即：a b a ( b)；差向量的意义： OA a,0B b,则BA a b .平面向量Cid的坐标运算若 a (x1y1), b(x2,y2),则a b (x X2,y1y2) , a ( x, y).(a b) C a (b C).7实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a(1) | a | | a | ；(2)>0时a与a方向相同；<0时a与a方向相反；=0时 a = 0 ；(3)运算定律(a)()a,()aa a, (ab)ab.向量加法的交换律:a b b a ；向量加法的结合律:题型一、向量的加法UuU UUUIlJUB.【详解】UUurDEUiIrFA (

4、)UnJrC 2ADUJnD. 2AD由向量加法的运算法则可知UUU AB+UuUUUlrUuIrUnJ UIU r BC+CD+ DE+EF+ FA 0.故选：B.UUU 1 UIUr2.如图，已知 ABCDEF为正六边形，贝U AB -AD等于（2UUlrD. AFUILrUUUULurA. ADB. AEC. AC【分析】根据向量加法的平行四边形法则，可得结果【详解】如图取AD的中点0,IuL 1 UJLr 所以AB - AD 21 UILr UUr 由一AD AO2UJU UJU UUAB AO AC故选：C3.如图，在矩形 ABCD中,IUV UJly IUVAO OB AD =(A

5、.JUy ABB.UJurACJLJUzJuUC.ADD.BD【解析】UJV JJV JUV JJV JUV JUV 由题意，AO OB AD AB AD AC故选B.4 已知四边形 ABCD是平行四边形，点UJJE为边CD的中点，贝U BE1 JUJ UJj B. AB AD2UJJ i UJIr D. AB AD21 UJJ JJurA-AB AD2UJJ i JJLr C. AB -AD 2【分析】 由平面向量的加法法则运算即可【详解】如图,过 E作 EF /BC,由向量加法的平行四边形法JUy则可知BEUJy JUly BF BC1 UJV JUJV -AB AD.2故选A.UUVUU

6、IVULJlyUUlyUUuy5.向量ABMBBOBCOM()UULVUUVUUUUUUyA. ACB.ABC.BCD. AM【解析】分析：利用向量的三角形法则即可得出UIlnUiJLIrUIJLrUIlnULUUUlJUUlJLlrUuJUUiJLIrUJUUUlJr详解：向量 ABMBBoBCOMABBoOMMBBCAC 故选：A.6已知D , E , F分别是 ABC三边AB , BC , CA的中点,则下列等式成立的是UUUUULrUiUrUuUUUUUUUA. FDDAFAB.FDDEEF 0UULrUUJUUUULUULUUUrc. DEDAECD.DADEDF(【分析】根据三角形

7、的中位线的性质和向量的加法三角形法则和平行四边形法则，可得选项【详解】由加法的三角形法则可得，UUUUUUUurUuLrUUIrUUJrFDDAFA , FDDEEF0，由三角形的中位线性质得，UJUIUUUJUIUUUUlrIUIr四边形ADEF疋平仃四边形，DEDAEC，DADEDF，故选：ACD.AF7如图，在 ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE/ BC,AB/ CF,连接CD,那么（在横线上只填一个向量）： AB + DF =；UUlr IUr AD + FC =;_ Uur UUr IU AD + BC + FC =.【分析】根据四边形DFCB

8、为平行四边形，由向量加法的运算法则求解【详解】如图，因为四边形 DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则得：u IULr IUU UUU Uur AB + DF = AB + BC = AC.UUr IUr UUU UuU IUL AD + FC = AD + DB = AB.UUrUUrIUIrUJU UiurUULUUr AD +BC + FC=AD + DF +FC = AC .tUUlrUUUUJU故答案为：（1）AC（2） AB（ 3）AC&化简：UUU UUJUUU UUU UUU _ UUJ UULr UUU UUU UJJ BC + AB ； DB + CD + BC

9、 ； AB + DF + CD + BC + FA.【分析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解【详解】UUUUUUUJUUUU UUrBC +AB =AB +BC = AC ；UUUUUUUUUUUU UUUUUUrDB +CD +BC =BC + CD +DB =0 ；UUUIULrUUUUUU UUUUrUUU UUUUJrULUrAB +DF +CD + BC + FA .=AB +BC + CD +DF +FA=09如图，已知 D, E, F分别为 ABC的三边BC , AC , AB的中点，求证:IUV UJV UIly VAD BE CF 0 【分析】利用向量加法的三角

10、形法则，在图形中寻找回路，即可证明【详解】UUUr由题意知ADUULr ACUUr CD，UJUBEUuUlBCUJU CE ,UUUCFUUUCBUJU BF，UlUULUUUUUUJ由题意可知EFCD,BFFABcIUITACInUuUrUuBcUrUuCFUCEUCDUullrUrWlrc WE AAIUUUuLrUlurIUUIUurUillrAECDBFAEEFFA0 题型二、向量的减法1 如图所示的ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AD 上，且 BDDC，AE2EC ,UUU2AF ,则向量EFDF6 21 IUU 2 UUlr B. AB - AC 331 IUV 3 U

11、UUv D. AB AC341 UUi 2 LUUrC. AB AC63【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解【详解】 由题意，根据向量的运算法则，可得:1 UuU ULIJAC AB22 UuU 1 UUU 1 ULJr AC AB AC.3 62UUUluUrUjUEF AF AE1UJU 2 UJLr 1 -AD -AC - 333故选：A.UULr2.在 ABC中，点D是边BC的中点，贝U BD （）1 UJU 1 ULJT B. AB -AC2 2IuuJ 1 ULUTA. AB -AC2 21 IUiV 1 UUUZC.-AB - AC2 2【分析】由向量的减法法则可得出结

12、果 【详解】UUUr i UUUi UUUr由题意知BD -BC - AC 2 2故选：C.1 UUlV -AB1 UUV-ACD.22UUU1 UUU -AB1 IUlr 丄AC .AB22V M Uuy0 ,则 OC3.已知O,A,B是平面上的三个点,Uly ULUr直线AB上有一点C,且2AC CBUUI UUVA. 2OA OB【分析】B.UUIOAIUy2OB2 UUV 1 IUyC. OA OB3 3D.1 UJV 2 LUV OAOB33I IUUULUUUUJUUJUUJU由ACOCOA,CBOBOC代入运算即可得解【详解】UJUULUrLULjUJLUJU Uurr解：因为2

13、ACCB0，所以2(OCOA) (OB OC)0,UlUJrUllU IUU所以 OC 2OA OB，故选：A.4.如图所示，在梯形ABCD 中,AD/BC , AC与BD交于0点，则UUUurUUUUr UUU BA BC OA OD DA【分析】利用向量的加法法则和减法法则求解即可【详解】uuur uuur uuur uuur uuur BA BC OA OD DAuuur uuur uuur BA BC + ODuuur uuur uuur uuur OA +DA CA ADuuur uuurDA CA,故答案为 :CA5化简下列各向量的表达式：uuur uuur uuur uuur A

14、B BC AD ；(ABuuru uuur uuurCD) - (AC - BD )； ®(uuurAC uuru uuur uuur uuurBOOA)-(DC-DO-uuruOB )【分析】 利用加法、减法的三角形法则求解 .【详解】uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB BC AD = AC AD = DC .uuur uuru uuur uuur uuur uuur uuur uuru uuur uuur r (AB - CD)-(AC - BD ) = (AB + BD)-(AC + CD)= AD - AD = 0uuur uuru uuur u

15、uur uuur uuru uuur uuur uuur uuru uuru uuru (AC + BO + OA)-(DC DO OB)= (AC + BA)- (OC OB )= BC BC =6化简下列向量表达式： uuuur uuur uuur uuur(1) OM -ON+ MP - NA；uuur uuuur uuur uuuur(2) (AD- BM)+(BC- MC)【分析】 利用加法、减法的三角形法则求解 .【详解】uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuru uuur uuur(1)OM -ON+ MP- NA= NM+ MP-NA=

16、NP- NA= AP.UUIrIlUuU UUUUULD UIJLrULJIr UUUILIlJn Uuir LT uuu(2) (AD- BM )+ (BC -MC )= AD +MB + BC +CM = AD + (MB + BC +ILJuLUILr r UULrCM )= AD + 0 = AD .题型三、与向量模有关问题r r r rrPrrr1已知非零向量a,b满足ab O ,a3,且a与a b的夹角为，则|b|()4A. 6B. 3 .2C. 2.2D. 3【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.【详解】r r r rrr r r解：非零向量a

17、, b满足agD O ,可知两个向量垂直，a 3,且a与a b的夹角为，4r rr r. 、 .r说明以向量a , b为邻边，a b为对角线的平行四边形是正方形，所以则 b 3 .故选：D .2.对于任意两个向量 a和b ,下列命题中正确的是()VVVV VVVVA. 若a , b满足a b ,且a与b同向，贝U V bVVVVB. a b , a bV V V VC. a b a bVVVVD. a b , a b【分析】 利用向量的概念、向量的加法以及向量的数量积即可一一判断【详解】A项错误，向量不能比较大小；B项正确，利用向量加法的运算法则可判断;r r r rC 项错误，Ia b |

18、Iallbl ；D项错误，|； b ab.故选：B.3. a , b为非零向量，且r r a baa t）,则（)r rr rA. a , b同向b a , b反向rrc abr rD. a , b无论什么关系均可【分析】r rrr rr r分别讨论a与b不共线,a与b同向,a与b反向且Ja b的情况，进而得到结果【详解】Mrrr rr r一 一 r.rrrrrrabba当向量a与b同向时，a 当向量a与b反向且a故选:A当两个非零向量a与b不共线时,a b的方向与a,b的方向都不相同，且a b ab的方向与a,b的方向都相同且a b a b ；Irr r I rI rb时,a b的方向与b的

19、方向相同（与a的方向相反）4.已知 a 3, b 4 ,且 a b 5 ,则 a b ()A. 3B. 4C. 5D. 7【分析】IUlI r ULIl r运用向量的加法原理令 OA a, OB b ,以OA, OB为邻边作平行四边形 OACB ,根据已知条件中向量的模和勾股定理可得平行四边形OACB为矩形，根据矩形的性质可得选项【详解】IUlr r Iun r令OA a，OB b，以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则根据向量加法的几何意r rr r义，可知 a b OC， a b AB，r r r r由已知条件可知平行四边形 OACB为矩形，于是 a b a b 5.AOB 60 ,

20、求 a b .uuu rUIUr5.已知 OA |a | 3, OB |b| 3 ,【分析】UuI连接OC, AB,根据菱形的性质得 OC AB,再由 AOB= 60°得出AB IoAl 3 ,CD 3,可求得a .【详解】UUU UUU如下图所示，因为|OA I |OB I 3 ,所以四边形 OACB为菱形，连接 OC, AB,则OC AB, 设垂足为D.3.32UUU因为 AOB= 60° 所以 AB |OA I 3.所以在 RtA BDC 中，CD所以 IOOCIIa b| 孚 2 3 3.6.已知a 3 , V 4 ,求2a 3v的最大值和最小值，并说明取得最大值和

21、最小值时 与b的关系.【分析】根据向量加法法则，可知2a 3b 2a 3b 2a 3b ,当；,b同向时取得最小值,r r当a , b反向时取得最大值，求解即可.【详解】rrr r r r rr解： a3, b4 ,且 2a3b2a3b2a3brrr r 2 3 3 4 2a 3b 2 3 3 4 ,即 6 2a 3b 18.r r当且仅当a , b同向时，2a 3b取到最小值6rr当且仅当a , b反向时，2a 3b取到最大值18.7.设a 8 , b 12 ,则a b的最大值与最小值分别为【分析】,进而求解即可分别讨论a,b共线同向,a,b共线反向,a,b不共线的情况【详解】r r r r

22、当a,b共线同向时,a b a b 81220 ；当a ,b共线反向时Ib r a r ID当a,b不共线时，a bb ,即 4 a b20,所以最大值为20,最小值为4,故答案为：20; 4r rrr8.若a1，b2,1 ,则2ab的取值范围是【分析】求出b ,利用平面向量模的三角不等式可得出2Vb的取值范围【详解】QbV 2,1 ,d J2 125 ,由向量模的三角不等式得VVlVVVVLVVj-2 a b2a b2 a b,即厉2 2a b葯2.因此，2a b的取值范围是J5 2,J5 2 .故答案为：.,5 2, . 5 2 .ABC 中，点 D、E、UUIrF分别在边AB、BC、CA

23、上，且ADUULrUuD UiW3DB，3BE EC，1.IuUUUrCF 3FA,若IUU BC2 ,则UULrAEUULr BFUUirCD【分析】I八，EUuJUlLrUUU +UUIrUUUUUUUUlUUJUJU分别用AB、AC、BC表示AE、BF、CD，可计算出AEBFCD，进而可求得UUIV UUlV UUlVAE BF CD 的值.UJUUUrUuyQ AD3DB,则ACUJU3 UUr同理可得AE-AB4IUlrIUJUUrlr所以，AEBF CD【详解】IUlVCD1 UUir AC ,43 UJU-AB4UUV UIUVUULr3 CB CD ,可得 CDUUjr 3 U

24、JU 1 UlUrBF -BA -BC ,441 IUir 3 UUJ IUUUAC BA BC4443 UuJ IUIU CB -CA ,4 43 UUU 1 UUJ3CB -CA4 41 UUir BC ,2UUlV UUV UUlV 因此，AE BF CD1 UULV -BC1UUy BC22故答案为：1.IUUV IUly10.设点O在 ABC的内部，点D, E分别为边AC, BC的中点，且OD 2OE1 ,则IUV UUy IUUVOA 2OB 3OC 【分析】由向量的加法法则，把OA 2OB 30C转化为2(CUD 2OE),从而易得结论.【详解】UIU UuU点D, E分别为边A

25、C, BC的中点， OA OCUJU Uiln UJlrUJU2OD , OB OC 2OE,IuU UUr IUlr OA 2OB 3OCIUU UUIrUUUUrOA OC 2(OB OC)UUr2ODUur2 OD2 .故答案为：2.UJir V UUy V Juy V11在边长为1的正方形 ABCD中,设AB a,BC b , AC C，则V IV Cr , a V bV , V V V .【分析】结合图形根据平面向量的基本运算求解即可【详解】rrUJUUJUUurUIUrUULrUUir2.2ac| ABBCAC |ACAC |2| AC |rrUuJUJUrUUrUUJUuLrUU

26、JUUUUUJUJUaCb| ABACBC | ABACCB | ABAB |2|AB | 2rrrIUIrUJUUUUUJUrUurULJJUUJUIjUrCab| ACABBC |ACBACB | ABBA|0|0 .9故答案为：2 2 , 2, 0.12已知v 2 , b 3, C 4,则V b C的最大值为【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可【详解】解析: a bC,a Ibl C2 3 4 9,所求最大值为9,当且仅当a,b,c同向时取得最大值.故答案为：9题型四、向量数乘运算1 化简；(a-b)-(2a+4b)t(2a仪揃=【分析】根据向量数乘的运算法则，可直接得出结果【详解】

27、2 J2J(C-b)+4b)+ (Zu +23b)22 4_4 -25-二 ,q (J = "jb + ItJ + b55331515-BO = C故答案为2.若 3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) 0 ,则 X【分析】直接根据向量运算法则得到答案【详解】r a3 r4b r X由已知得 3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) O,所以 X 3a 4#故答案为:r a3r b43.化简下列各式:rr r i rIrr 3(6 a b) 9 a b ; 3a 2b3 2r b3 - Oo r a1 - 22 2(5a 4b C) 3(a 3b C) 7a.【分析】直

28、接利用向量的线性运算法则计算得到答案【详解】r r r r 3(6a b) 9 a 3b18a 3b 9a 3b 9a ;r b2r a31 - 2r b3 - 00 r a1 - 22r O r b3 - 4r a r b3 - 2 r a21 - 22(5a 4b C)3( a 3bC)7a1Oa8b2c3a9b3c 7aUurIuV4.已知点P为ABC内一点，PA 2PBUUJK r3PC O ,则 APB, APC, BPC 的面积之比A. 9: 4:1B 1:4:9C 1:2:3D. 3: 2:1【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式,再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意

29、22义，三角形面积公式确定面积之比【详解】. C UUUUUU IUU解：Q PA 2PB 3PCUUJPAUJIrPCUUul UJJr2(PB PC),如图:0，Q PAIUH IUUPC PDUUU UUJ 2PF ， PBUuU IUlr PC PEIIJUr2PGIuJPFUJlr2PG，P、G三点共线，且PF 2PG ，GF为三角形ABC的中位线S APCS BPC1-PChl21PC h2hh2PF 2PG而 S APBISS ABCAPB，APC，BPC的面积之比等于 3: 2:1故选：D UUy5.如图，已知 ABC中，D为AB的中点，AEUuy1AC ,若3UJJV DEU

30、JyUJlyAB BC ,则( )5A. -6【分析】B.C.5D.-6利用向量的线性运算将DErUUU IUir用AB, AC表示,由此即可得到的值，从而可求的值.【详解】因为UJIrDEIUUDAIUUAE1 IuU-BA21 UurAC 31 UUJ-BA2IUUBCIUJBA1 IUU -BA 61 UUrBC 31 UIU -AB 61 UJUBC ,3所以3.故故选:C.6.已知点ABC内部一点,并且满足UJyQAUUy2QBUuy3QCBOC的面积为Si，ABC的面积为【分析】UZ UUy将QAUJy2QB3QJC 0 化为 QA QCUJy2 QBUUyQC,再构造向量1 UJ

31、yQA QC 和2IUUV1 UUyQB2UUu/QC得出比例关系，最后求解5152【详解】, UJy 因为QAUUy2QBUJiyUUy3QC 0 ,所以 QAUJlyQC 2UuyQBUuy QC ,UuV UUyUUUz UUV Uuy UUV分别取 AC，BC 的中点 D， E，则 OA OC 2OD，OB OC 20E 所以UDZ 2OE：，即O， D， E三点共线且I UuyIUlyOD2OE如图所示,则 S OBC故答案为:1二 S DBC ， 由于D为AC中点，所以S DBC3-61s、 1ABC， 所以S;.67.已知点UJV 1P是VABC所在平面内的一点，若AP1 UUV

32、 -AB 41 UUU-AC ,则2S APCS APB【分析】设F为AB的中点，D为AF的中点，E为AC的中点,UUU 由APIIJlDAB1 LUTAC得到2PJLPJC，再进一步分析即得解.如图，设F为AB的中点,D为AF的中点,J1 UlU1 UJIr因为AP-AB-AC42UJU 1AP -IuJUr1 IUU APUUT所以可得APPBPC，42整理得PA PBr2 PC0.r UuJ 又 PA PBUUT 2PF，所以PFrJPo，所以S APCs APF ，【详解】E为AC的中点,又 SAPF-S APB，所以 AAPC2S APB1故答案为丄2题型五、向量与四心结合考查问题1

33、已知O为VABC所在平面内的一点,HUrlUUIUUrI且满足OA OB CO，则VOBC的面积与 ABC的面积的比值为(1A-31B-22C.33D4【分析】根据题意，可得O为 ABC内部一点,取BC中点D，连接并延长OD 至 E ,使 DE ODAD为中线，同理延于是四边形BOCE是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到 长BO交AC于F ,则F也为中点，即可得到 0是重心【详解】” I IurIUUUJIrFUUnUlWUlIlrr 斗 亠 亠亠解：由OAOBCO得OAOBOC0，故O在内部,如图，取BC中点D ,连接OD并延长至E ,使得DE OD , 则四边形BOCE为平行四边形

34、 则 OB OC OUU ,又因为 OB OC AO,UULr UUUIUr所以A、O、E三点共线且IAOllOEl 2OD,即O为ABC的重心.所以S OBCS ABCOD 1AD 3故选：A 2.已知A, B, C是平面上不共线的三个点,UIU UUr 若 AB ACUUr UUIr AB AC UUr- TUUIrABAC0，,则厶ABC 一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形【分析】UJU 设APUUUABIUlrAC,利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P在BC边上的中线,也在A的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项【详解】UJU 设APU

35、UUABIUirAC ,则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上IUU设AEUuUABUUUABIUrAFUUUACUUtn ,它们都是单位向量,AC由平行四边形法则，知点P也在 A的平分线上，所以 ABC-定是等腰三角形.故选：B3. OAB 中，OA= a， OB =b， OP = P，若 p =t( $ b)，t R 则点 P在()A. AoB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C. AB边所在直线上D. AB边的中线上【分析】a b 、注意十与十都是单位向量，ba从而raV b -V是与 bAOB的平分线共线的向量，故可判断P的位置.【详解】如图,IUlyODIUVOE故

36、四边形ODFE为菱形,所以P在角平分线上.UuV OFIUlV UuV OE OD，则UlUV ODIUIrOE1 ,UUUUJUOF是 AOB的平分线，因OPtOF，UHr uuiAOgAB4.平面内 ABC及一点O满足lABIUULrUULrIUIriUUAOgAC COqCAUUtf , UUi - IACl ICAlUur UiUCOqCB ,则点O是ABC的(CBA.重心B.垂心C.内心D.外心【分析】 利用表达式，转化推出 O所在的位置，得到结果即可.【详解】UIlr UIW IUIr IlUUr 解：平面内 ABC及一点O满足AOUAB AOUAC， IABl IAClIULTI

37、UlT ABUULT AC可得Aoa-UUTr-UULT )0 ,所以O在CAB的平分线上,IABIACUUT UUrIuU IuUIUUIuUCOgCAUUU-COgCB UUn,可得:COg(宜-CUL)0,CACBCACB所以0在ACB的平分线上，则点0是ABC的内心.故选：C 5 .已知O是平面上一个定点,代B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足IUV IUyOP OAUJlV(AB( AB Sin BUJJyACUUJVAC Sin C),(O）,则点P的轨迹一定通过 ABC的（A.外心B.内心C.重心D.垂心【分析】UUJI UUU 根据OP OAUUUAB( AB Sin BUUlTACUUUAC Sin C),(0）可得ULUAPUUJrAC-UUU-UUtTABSin BAC(UULT ABULIU),从而APSin CUULT UULT(AB