高中数学数列通项的常用求法

1、数列通项公式的求法一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目 例1.等差数列 an是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5 a；.求数列 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求岀首项与公差(公比)后再写岀通项。二、公式法_SI若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列 an的通项an可用公式anSn Sn 1例2已知数列an的前n项和Sn满足Sn 2an ( 1)n ,n 1 .求数列an的通项公式。Snn 1点评：利用公式ann求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.Sn Sn 1n 2

2、三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特 殊数列。an的通项公式.1求解。2类型1递推公式为an I anf(n)解法：把原递推公式转化为 an I anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。已知数列an中，a1kk1,且 a2ka2k 1 ( I) , a2k 1 a2k 3 ,其中 k 1,2,3,求数列 an的通项公式。(高考题)例3.已知数列an满足a11 1击,an 1an2，求 an。2 n2 n类型2 ( 1)递推公式为an Iaf (n)an解法：把原递推公式转化为nlf

3、(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an已知数列an,满足日1=1，an=a1+2a2+3a3+(n 1)an-1(n 2)，则 ®的通项(高考题) an例4.已知数列2an 满足 a1 , an 13n-an ,求 an。1(2).由 an 1f (n)an和a1确定的递推数列an的通项可如下求得:由已知递推式有anf(n 1)an 1, a. 1f (n 2)an 2，?,a2f (1)a1依次向前代入，得请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!anf(n1)f(n2)f(1)a1,简记为an(k1f(k)a1(n1,k 1f (k)1),这就是叠(迭)代法的基本模式。(

4、3)递推式：an 1Panf n解法：只需构造数列bn,消去f n带来的差异.例5.设数列a na14, an 3an 1 2n1,( n2),求an .说明：(1 )若f (n)为n 的二二次式则可设bnanAn2BnC ;(2) 本题也可由an3an 12n1 ,a n 13a n22(n1) 1(n3 )两式相减得anan13( an I an 2)2 转化为bnPbn 1q求之.例6.已知a13,a n 13n 1(n 1)，求an-an。0n 1类型3递推公式为an I Pan q （其中p, q均为常数，（Pq（P 1） 0）在数列an中，若a1 1,an I2an 3（n1）,则

5、该数列的通项 an3 （高考题）例7.已知数列an中，a11， an I2an 3，求 a.类型4递推公式为an IPanqn （其中p, q均为常数，（Pq（P均为常数）设数列an的前n项的和Sn43an1 2n 132,n3123,解法：该类型较类型 3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1)(q1) 0)。(或ann 亠1 Pan rq ,其中 p, q, r求首项a1与通项an ；（高考题）n 1an 1P an1q :,得：n 1? -nqq qq解法：把原递推公式转化为：an I t p（an t）,其中tq ,再利用换元法转化为等比数列求解。1 P引入辅助数列 bn（其

6、中bnan），得:bnPb1 bn1再应用类型3的方法解决。qqq例8.已知数列an中，a15an 11 an(1)n 1,求an。632类型5递推公式为an 2Pan 1qan（其中P, q均为常，数）。解法：先把原递推公式转化为an 2 San 1t(an 1S t PSan ) 其中S，t满足St q再应用前面类型3的方法求解。已知数列an满足a11,an 12an1(n N）.求数列an的通项公式；（高考题）例9.已知数列an中，a11,a22 ,an22an 11an :,求 an。33SI利用an(nI）进行求解。类型6递推公式为Sn 与 a n的关系式。(或 Snf(an)解法:

7、SnSn 1(n2)已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an（高考题）1 例1o.已知数列an前n项和Sn4annr .（ 1）求anI与an的关系；（2）求通项公式an.2类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。11例 11.已知数列an中，a11 ；数列 bn 中，b 0。当 n 2 时，a.（2a.1bnj,bn一临 12bn 1）,求 an,bn.33四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较

8、高。通常可对递推式变换，转化成 特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种 重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如 a n 1 =p a n +q （ p 1，pq 0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an I +k=p (an+k )与原式比较系数可得 pk-k=q,即k=,从而得等比数列an+k。 P 1、，1例12、数列a n满足a I =1 , a n = an 1 +1 ( n2),求数列a n的通项公式。2说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当

9、组合，可得等比数列 an -2,从而达到解决问题的目的。例 13、数列an 满足 a1=1, 3an I an70,求数列an的通项公式。例14.已知数列an满足a11,且an I3an 2 ,求 an.点评：求递推式形如an I Pan q (p、q为常数)的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 an的p(an来求得,也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年咼考考得很多的一种题型. 例15.点评:已知数列an满足a1递推式为an IPan1, an 3n 2an 1 (n 2)'求 a.n 1n 1q (P、q为常数)时，可同除q ,得an 1n 1q1 ,令 bna-n从

10、而化归为an IPan q ( p、q为常数)型.q2、通过分解系数,可转化为特殊数列ana n 1的形式求解。这种方法适用于 an 2Pan Iqan型的递推式，通过对系数P的分解，可得等比数列anan 1:设 an 2kan 1h(ankan),比较系数得h kP,hkq ,可解得h, k。已知数列an满足a1,a23,an 23an 12an(n).(I)证明：数列an I an是等比数列；(II)求数列an的通项公式；(高考题)例16、数列an满足a12, a25, an 23an 12 an=o,求数列a n的通项公式。分析：递推式an 2 3an12an0中含相邻三项，因而考虑每相

11、邻两项的组合，即把中间一项可发现一个等比数列anan 1。例17、数列an中，a11,a22,3an 22a n 1an ,求数列an的通项公式。说明：若本题中取k1,h 1 ：,则有an12an11an 1 -an 即得anI的系数分解成1和2,适当组合,an 11an为常数列，an I31/nana21F1-故可转化为例313。例18.已知数列an满足a11, a22, an点评：递推式为an 2 Pan I 求出，从而化归为上述已知题型.特征根法qan (p、q为常数)2an3时，可以设an 2 San1an3t(anI San),其待定常数s、t由St p ,st q五、1、设已知数列

12、an的项满足a1b, an 1 Cand ,其中C 0, C 1,求这个数列的通项公式。作出一个方程X CX d,则当Xoa1时，an为常数列，即ann 16；当X0 印时，an bn X0 ,其中bn是以C为公比的等比数列，即bn b1C ,b1印 X0.请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!例19.已知数列an满足：an I an 2,n N,a 4,求 a. 32、对于由递推公式 an 2 Pan I qan, a1, a22给出的数列 an ,方程X PXq O ,叫做数列 an的特征方程。n 1n 1若x1 ,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1B

13、x2,其中A，B由a1, a2 决定(即把a1, a2 ,x1, x2和n 1,2，代入an Ax1n 1 Bx； 1，得到关于A、B的方程组)；当x1 x2时，数列an的通项为 an (ABn)x1n1 ,其中 A，B 由 a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和n 1,2 ,代入 an(ABn)x1n 1,得到关于 A、B的方程组)。例20：已知数列an满足a1 a,a2 b,3an 2 5an I 2an 0(n0,n N),求数列an的通项公式。3、如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于n N ,都有an I -Pa q (其中P、q、r、h均为常数，且 ran hPh qr

14、,r 0,a1h-),那么，可作特征方程Xrqrx hPX,当特征方程有且仅有一根X0时,则1一 是等差数列；当特征方程anX0有两个相异的根2时，则色Nan是等比数列。X2数列an满足a11 且 8an 1an16an 12an0( n1).求数列an的通项公式.(高考题)例21、已知数列an满足性质：对于n N,an1an2an3,求an的通项公式.例22.已知数列an满足：对于nN,都有an I13an 25an若a15,求an； (2)若a13,求 an； (3)6,求 an;(4)当a1取哪些值时，无穷数列an 不存在?说明：形如：anmanl 递推式，考虑函数倒数关系有 k(an

15、1 b)1 k(-an 1an丄k丄anan 1则bn可归为anI Pan q型。(取倒数法)例 23： anan 13 an 1,a1六、构造法： 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想岀一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”若已知条件给的是数列的递推公式要求岀该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉1、构造等差数列或等比数列：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构

16、造方法.2例24：设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,对于任意正整数n,都有等式：an2an4Sn成立，求an的通项an.解：a； 2an4Snan12 2an4(Sn1Sn4Sn 1，1) 4an(anan 1 )(anan 12) 0 ,V arI an 10 , anan 12 .即 an是以2为公差的等差数列，且2a12a1 4a1a12. an2 2(n1)2n例25：数列an中前n项的和Sn2nan,求数列的通项公式an.解:a1SI2a1a11当n2时，anSnSn 12nan2( n1)an 1C1an2 an 1anan 112an 2-2(an 12)令bnan 2

17、,则bbn 1 ,且b112 1 an an 1 2an 2 an 1(2)n11bn是以1为公比的等比数列，bn2an 2(2)n1.2、构造差式与和式： 解题的基本思路就是构造岀某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式 例26：设an是首项为1的正项数列，且a：a21nann anI 0 ,( n n*),求数列的通项公式an.解：由题设得(an an 1)(an an I n) 0.V an 0 , an 1 0 , anan 10.ana1(a2 aj(a3a2)(anan 1) 1 2 3an 2(n3) an 1(n2)an,(n N*),求通项公式an

18、.解：an2an 1(n2)(an II an)(n 2)(n 1)(ana.(n2)(n 1)43(a2a1)(n 2)! ana1(a?a)(a3a 2)(an am)12! 3!例27：数列an中，a11,a23 ,且an 2(n 3)an 1 (n an an 1 nn n(n I)例 27：数列 an 中，a11,a23 ,且2)n! ( n N*)2)an, (n n*),求通项公式an.3、构造商式与积式： 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法例28：数列an 中,a112,前n项的和Snn2an ,求 an 1 .解：anSnSn 12 n Ian(n1)2an1(n221)an (n 1) an 1ann 1a n 1n 1 ananan 1a2a1n1n211 1an 1an 2a1n1n32 n(n 1) an 11(n1)(n2)4、构造对数式或倒数式：有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决2例29：设正项数列 an满足a1 1, an 2an I (n2).求数列an的通项公式.解：