2014高考数学限时训练第2篇第9讲函数模型及其应用.

1、第 9 讲函数模型及其应用限时规范世练册梯昱练能丸鯉分层 A 级基础达标演练（时间：30 分钟 满分：55 分）一、选择题（每小题 5 分，共 20 分）1 某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每 月用水不超过 8 吨，按每吨 2 元收取水费，每月超过 8 吨，超过部分加倍收 费，某职工某月缴费 20 元，则该职工这个月实际用水（）.A. 10 吨B. 13 吨C. 11 吨D . 9 吨解析 设该职工该月实际用水 x 吨，易知 x8，贝 U 水费 y= 16+ 2 x 2（x 8）=4x 一 16= 20，x= 9.答案 D2.（2012 潍坊一模）某电视新产品投

2、放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中 能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是（）.2A. y= 100 xB. y= 50 x 50 x+ 100C.y=50 x2xD.y=100log2x+100解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选 C.答案 C3. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品1x 万件时的生产成本为 C（x） = 2x2+ 2x+ 20（万元）.一万件售价是 20 万元，为 获取更大利润，

3、该企业一个月应生产该商品数量为（）.A. 36 万件B. 18 万件C. 22 万件D . 9 万件1解析 利润 L（x）= 20 x C（x）= 2（x 18）2+ 142,当 x= 18 时，L（x）有最大值.答案 B4. （2013 东莞调研）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽 快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定 的时间 T内完成预测的运输任务 Qo,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数 关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）.解析 由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该

4、逐渐增大，故选 B.答案 B、填空题（每小题 5 分，共 10 分）5. （2013 银川模拟）某电脑公司 2012 年的各项经营收入中， 经营电脑配件的收入 为400 万元，占全年经营总收入的 40%.该公司预计 2014 年经营总收入要达到 1 690 万元，且计划从 2012 年到 2014 年，每年经营总收入的年增长率相同，2013 年预计经营总收入为 _元.400132解析 设增长率为 X,则有 40%X（1+ x） = 1 690,1 + x=10,因此 2013 年预计40013经营总收入为 40%X10= 1 300（万元）.答案 1 3006. （2012 金华十校期末）有一

5、批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在 一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样材料隔成三个面积相等的小 矩形 （如图所示），则围成场地的最大面积为 _（围墙厚度不计）.解析 设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为（200-4x）m，面积 S= x（2004x）=- 4（x-25）2+ 2 500故当 x= 25 时，S 取得最大值 2 500，即围成场地的最大面积为 2 500 m2答案 2 500 m2三、解答题(共 25 分)7. (12 分)(2010 湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年

6、的隔热层，每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)k与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) = 3x+ 5(wx2. (6x+ 10)3x+ 5-10= 70(万元)，800当且仅当 6x+ 10 = 3，即 x= 5 时等号成立.所以当隔热层为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元.8. (13 分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有 偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职 工每月最

7、低生活费的开支 3 600 元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的 资料中有：这种消费品的进价为每件 14 元；该店月销量 Q(百件)与销售 价格 P(元)的关系如图所示；每月需各项开支 2 000 元.(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为 L,则由题设得 L = QX(P 14)X100-3 600 2 000, 2P + 50, 14 P 20,由销量图易得 3厂2P + 40, 20P 26,r200(P19.5)2+450,14P20,代入式得( 6T2125015

8、0$ 3f+3 , 20P 26,(1)当 14 P 20 时，Lmax= 450 兀，此时 P= 19.5 元；1 250当 20P0,解得 n20,即最早可望在 20 年后脱贫.分层 B 级创新能力提升1. (2013 江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还 征收附加税已知某种酒每瓶售价为70 元，不收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若每销售 100 元国家要征附加税 X 元(叫做税率 x%),贝 U 每年销售520 5 O 5 19元解析 当 0t 1 时，甲从 0 点行往 B 点，乙从 0 点行往 A 点，故所围图形1n1为三角形，所以 S(t)二 2X2t

9、xtxsin 6 二 2t2(0t1 时，甲从 B 点沿圆弧 BD C 行往 C 点，乙则停在 A 点，故所围图形为三角形加扇形，S=SAAOB1 13r13r量将减少 10 x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，A. 2则 X 的最小值为().B. 6C. 8解析D. 10由分析可知，每年此项经营 中所收取的 附加税额为 104(100 x4x410 x)70 100，令 104(100 10 x) 70 100 112x104，解得 2x 8故 x 的最小值为 2.答案 A2.(2012 江西)如图,|0A|= 2(单位:m), |0B|= 1(单位:nm)，

10、OA 与 OB 的夹角为 6,以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧 BD C 与线段0A延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 0 出发，甲先以速率 1(单位：m/s)沿线段 0B 行至点 B,再以速率 3(单位：m/s)沿圆弧 BD C 行至点 C 后停止；乙以速率 2(单位：m/s)沿线段 0A 行至点 A 后停止.设 t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路 径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)= 0)，贝 U 函数 y= S(t)的图象大致是().+S扇=2+2Xrx3(t1)=2t+2此段图象为直线，当甲移动至 C 点后，甲、乙均不再移动.面积不再增加.显然选项 A 符合，故选

11、 A.答案A3.(2012 合肥一模)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图所示)，为降 低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_ .影部分的面积 S= xy=4(24 y)y= 4( y2+ 24y)，当 y= 12 时，S 有最大值为 180.答案 1804.将一个长宽分别是 a，b(0ba)的铁皮的四角切去相同的正方形， 然后折成一a 个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则 b 的取值范围是_ .(b】2解析 设切去正方形的边长为 x，x 0，2，则该长方体外接球的半径为 r21 1=4(a 2x)2

12、+ (b 2x)2+ x2 = 49x2 4(a+ b)x+ a2+ b2，在 x 0，2 存在最2(a+b)b a 5a a(小值时，必有 092,解得 b4,又 0b1,故 b 的取值范围是 1，解析依题意知，构造三角形相似，得20 x y 8x = 24 y，5即x=4(24 y)，4.答案0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造 的年总利润，贝 U a 的取值范围是多少？解 由题意得：

13、10(1 000 - x)(1 + 0.2x%) 10X1 000,即 X2 500 x0，所以 0 xw500.即最多调整 500 名员工从事第三产业.(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10 a 500 x 万元，从事原来产业(生的员工的年总利润为 10(1 000 x)(1 + 0.2x%)万元，J 则 10 a 500 xW10(1 000 x)(1 + 0.2x%)，3x21所以 ax 500= 1 000+ 2x x 500 x?，2x2所以 axw500+ 1 000+ x，2x 1 000即 aw500+ x +1恒成立，21 000/ 2x 1 000因为 500 x+

14、x 20,所以 0aw5,即 a 的取值范围为(0,5.6.(2012 湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能 获得10 万元到 1 000 万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励 方案：资金y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且资金 不超过 9 万元，同时资金不超过收益的 20%.x(1) 请分析函数 y= 150+ 2 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；10 x 3a(2) 若该公司采用函数模型 y= x+2 作为奖励函数模型，试确定最小的正整 数 a 的值.x解(1)对于函数模型 y= f(x)= 150+ 2,当 x 10,1 000时，f(x)为增函数,1 000 20f(x