高考数学利用导数研究零点问题专题预测题(有答案解析)

1、高考数学利用导数研究零点问题专题预测题1已知函数.-有唯一零点，则a=A.B.C.D. 11a2分析:函数.的零点满足-，设 _ _ ,则_ g-C,÷1 gT1e2(当 *：-"_：)时，当时，打'.f；: in ,函数单调递减；当1时，斥VMi,函数 一单调递增，当 =-时，函数 一 取得最小值，为 丁丄;= ：.设 -，当 =-时，函数 取得最小值，为 - 一，若-，：，函数与函数-没有交点；若-：，：，当-壮匚二卜厂J时，函数;和-X:门有一个交占八、即 - 二- '-，解得 -.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法:(1

2、) 利用零点存在性定理构建不等式求解.(2) 分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3) 转化为两个熟悉的函数图像的上、 下关系问题，从而构建不等式求解2.已知函数 f (X)= a2ex - 1 (a 0).(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 已知a>0且x 1 , +),若函数f (x)没有零点，求 a的取值范围.【分析】(1) 先求导f' (X)= 2axex+ax2ex = axex (2+x)，再分a> 0和av 0进行讨论即可得解；(2) 根据(1)可知，当a>0时，f (X)在x 1 , +)上单调递增，则保证 f (1 )>0 即

3、可得解.【详解】(1) f' (X)= 2axex+a2ex= axex (2+x),令 f' (X)= 0,则 X= 0 或 X =-2, 若a> 0,当XV- 2时，f' (x)> 0, f (X)单调递增；当-2vXV0 时，f' (X) V 0, f (x)单调递减；当x> 0时，f' (X )> 0, f (X)单调递增； 若av 0,当XV- 2时，f' (X)V 0, f (X)单调递减；当-2v XV0 时，f' (X)> 0, f (X)单调递增；当x>0时，f' (X)v 0

4、, f (X)单调递减；综上所述，当a>0时，f (X)的单调递增区间为(-,-2)和(0, +),单调递减区间为(-2, 0)；当av 0时，f (X)的单调递增区间为(-2, 0),单调递减区间为(-,- 2)和(0, + ).(2) 当a>0时，由(1)可知，f (x)在x 1 , +)上单调递增，1若函数没有零点，贝U f (1)= ae- 1 >0 ,解得a>-,e1故a的取值范围为 一，e3.已知函数f X2ax X 1Xe1.(1)证明：当XO 时，ex5X2 ；(2)若函数f X只有一个零点，求正实数分析:5(1 )把ex x2转化成X5In2X ,令

5、g X5Inx ,由题意得，即证明2g X min 0 恒成立，通过导数求证即可(2)直接求导可得,f'(X)2aa XaXe,令 f (x)= O ,得故根据O与21的大小关系来进行分类讨论即可a【详解】证明：(1)令X X 5nx ,则2g'1 A2x2x 52x分析知，函数X的增区间为减区间为0,5所以当X O,所以X5.In X ,25所以X2 .eX2所以当X O时,时,即XInX min5X2，5In丄2lnIIn- O25X2 .解：(2)因为f ()a2 X 1所以f'(X)2 ax2a 1 XXe2a 1XXaXe讨论:当a丄时,2f'(X)2

6、X2ex,此时函数f X在区间上单调递减故此时函数f X仅有一个零点为 0；1 2a 12a 1当Oa 时，令f ' X 0 ,得X 0 ,故函数f X的增区间为,02 aa2a 1减区间为，0,a2a 1又极大值f 00 ,所以极小值f0 a1当X时，有0 ex 1.a又 ax2 X 1 ax2 X 0,此时 f x 0，当a时，令f ' X 0 得 0 X 2a2a2a 1区间为,0 ,J1故当0 a 2时，函数f X还有一个零点，不符合题意；a1 ,故函数f X的增区间为0,2L ,减a2a 1又极小值f 00 ,所以极大值f0a若 X2 ,贝Ua 1X2aX2 X 1x

7、2X 1 ,得 a 1X2ax2X 1，2ax X 1所以f (X)X 1e(a 1)x2 IXIe2 Xa 1 X eX e52 2a 1 Xx2Xe2所以当X 2且X a 1时，fX o ,故此时函数f X还有一个零点，不符合题意综上，所求实数1a的值为一.24.已知函数fX 1,(1)判断f X的零点个数，并说明理由:(2)设Xo是fX的零点，证明：曲线 y InX在A Xo,l n Xo处的切线与曲线y ex有且只有一个公共点.【分析】(1)求导利用函数单调性及零点存在性定理解决;(2)先由已知得到切线方程 yX In Xo 1 ,构造 h(X)丄 X In Xo 1 eX ,问题转X

8、oXo化为证明h(x)只有一个零点.【详解】(1)由已知得f X InX X 11 ,所以1f (X)-X(X 1)2 o '所以 f X 在 1,上单调递增,又 f (2) In 2 3 0 , f(e2)12e210 ,由零点存在性定理可知，存在唯一Xo(2,e2),使得f Xo0,故f X的零点个数为1.(2)曲线1y In X在A Xo,In Xo处的切线方程为y In Xo(X Xo),即Xo1y XXoIn Xo1 ,1 0 ,即(x0 1)1 n x0 x0 1因为X)是f X的零点，所以In Xo2xo1令 h(x) X In xo 1 ex ,求导 h'(x)

9、 Xo-ex ,由 h'(x) o得 X InXoXo,由 h (X) o 得 X In Xo,故 h(x)在(In Xo)上单调递增，在(In Xo,)上单调递减,所以h(x)的最大值为1h( In Xo)( In Xo) In Xo 1 eXoInX)In x0)In x0 1Xo(In Xo)Xoln Xox°1(Xo 1)In XoXoXoXo1 ,由可知h(In Xo) o ,所以 h(x)只有一个零点即曲线y In X在A Xo,In Xo处的切线与曲线y ex有且只有一个公共点5.设函数f X X 2 COSX SinX, f X是函数f X的导数(1) 证明：

10、f X在区间，一上没有零点;2 2(2) 证明：在X o, 上，f X o.【分析】(1)利用不等式的基本性质可证得X o对任意的X -,-恒成立，进而可得出结论;(2)由 f X2 CosxSin X2 Cosx以及2COSX0 ,只需证XSin X2 COSx任意的X 0,Sin X2 COSx恒成立，通过构造函数FXX,利用导数分析该函数在区间0,上的单调性，结合单调性可证明出结论成立【详解】(1) QfXX 2cosxSinX,f X2XSin X,当 X时，f X2 XSin2XSin X2x202 22因此，函数yf X在区间上没有零点；2 236.已知函数f() X ax.(1)

11、 讨论f (X)的单调性；1(2) 若函数g(X) f(X) Xlnx在，2上有零点，求a的取值范围.2【分析】(1) 先求导，对a分类讨论，利用导函数的正负可得f (X)的单调性1(2) 将已知进行转化，得到x3 ax in 0在 ，2上有解，分离参数 a ,构造函数,2求导求得值域，可得 a的范围.【详解】32(2)2 CoSXSin X2 cosxSin XX2 cos X由 COSX1,1,所以2COSX0恒成立，故只需证明 XSin X0即可.cos X设 F(X)Sin X2 cos X故函数所以当2cos X 12cos XSin XCOS2 X2cos X 322 CoSXX在

12、区间0,2 cos X0 时，FX0 ,即 f X 0 .21 cosx22 2 CoSX上单调递增,所以FXFOO .(1)因为 f X X ax ,所以 f X 3xa.当20时，因为f X 3x a0,所以f X在R上单调递增;当0时,X 0,解得X3a3a或X33解得 3a33aX 3上单调递增;-3a-3a上单调递减.3(2)因为xlnx,所以gX3 ax xlnx，XlnX 在1，2上有零点,等价于关于 X的方程10在-,22上有解,即X3axXl nx 0 在1，2上有解因为x3ax xlnx所以X2lnx .X2 InX，2x2x2 12，解得丄2212，解得一2上单调递减,1

13、2, 2上单调递增,因为lnln2，22 ln2ln2，所以1542ln2154minln2，max1 2ln 一2 21ln22故a的取值范围为ln2,-21ln2 .2InXI1Oa7已知函数 f() , g(x) Xlnx -ax2- , (a R).X22(1) 讨论函数f (X)的单调性；(2) 若函数g(x)有两个极值点，试判断函数g(x)的零点个数【分析】(1)先确定f (x)的定义域，通过求导数解出其单调区间； 利用函数g(x)有极值，判断a的取值范围，进而确定极值点的大小关系，得到g(x)的单 调区间，最后通过极值g x ,g X2的正负判断出零点的个数ln X【详解】(1)

14、由题意可知函数f (x)的定义域为(0,), f (x)当X (0,1)时：f (x)0,所以f (x)单调递增；当X (1,)时:f (X)0,所以f(x)单调递减；所以当X (0,1)时，f(x)单调递增，当X (1,)时，f(x)单调递减_Inx 1 由题意得:g (x) In X 1 ax 0有两个不同的零点，即a有两个不同的根设XInx 1为X1 X2,由(1)得f(x)当X (0,1)时f (X)单调递增；当X (1,)时f (X)单调X1递减；有In X11X10, f (1) 1 当 X (1,)时 f (X)0,所以 a (0,1)时，有 0 X 1 X2 使eIn X21单

15、调递减，在X1,X2单调递增,a, - a 且函数 g(x)在 0,x1 , x2, X2现只需比较g X1 ,g X2的正负进而确定零点个数In X11-；g X2 XiX2In X2 丄 ax；-且2 2In X21X2,即 g Xiix1 In X1212Xi2 X1In X11,gX2b2nx2 1x22 2In x2 12 x2令 h(t) 1tlnt -t2 2Int 1PT则h(t)2Int t 12t2O所以函数h t在(0,)上单调增,所以O Xi 1时gXih Xih(1)X21 时 g X2hX2h(1)O 时 g(x)a O, x2时 g(x)1 2 a有 g x1x1

16、 In x1ax1且 a2 2所以函数有三个零点&已知函数 f() (X 2)ex a(x 1)2.(I) 讨论f (x)的单调性；()若f(x)有两个零点，求a的取值范围X试题分析：(I)先求得f ' X X 1 e 2a .再根据1,O,2a的大小进行分类确定 f X 的单调性；()借助第(I)问的结论，通过分类讨论函数的单调性 ，确定零点个数，从而可 得a的取值范围为 O,试题解析：(I) f' XX 1ex2a X1 x 1 ex2a .(I)设 a O,则当 X ,1时，f' X O ；当 X 1, 时，f'x O.所以f (X)在 ,1单调递

17、减，在 1,单调递增.()设 a O ,由 f'x O 得 x=1 或 x=In (-2a ).e 若a,则f' X X 1 ex e ,所以f x在 ， 单调递增2e 若 a一，则 In (-2a)v 1,故当 X ,In 2a 1, 时，f' X O ；2当X In 2a ,1时，f'x O,所以f x在 ，In 2a ,1,单调递增，在若ae 则In22a 1 ,故当X,1In2a ,时,f' X0,当X 1,In2a时，f' X 0 ,所以1Ir X在,1,In 2a单调递增，在1,In 2a 单调递减() (I)设 a 0 ,则由(I)

18、知，f X在,1单调递减，在1,单调递增又f 1e, f 2a ,取b满足bv 0且bIn?,2，a I C2 231则f bb 2a b 1a bb0 ,所以f X有两个零点.22()设a=0,贝U f XX 2 eX ,所以 f X只有个零点.In 2a ,1单调递减.)设av 0 ,若f X 在 1,(iii单调递增.,则由(I)知,e2又当X 1时，f XV 0,故f X不存在两个零点；若 ae上2 ,则由(I)知，f X在1,l n 2a单调递减,In 2a , 单调递增.又当X1时f X V 0,故f X不存在两个零点.综上，a的取值范围为0,9.已知函数 f(x) ae2+(a-

19、 2) e X- X.(1)讨论f (X)的单调性；f 2)若f (X)有两个零点，求 a的取值范围.试题分析：(1)讨论f(X)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因 式分解，再对a按a 0 , a 0进行讨论，写出单调区间；(2)根据第(1)问, 若a 0 , f(X)至多有一个零点.若a 0 ,当X Ina时，f ()取得最小值，求出1最小值f ( In a) 1 In a ,根据a 1 , a (1,) , a (0,1)进行讨论，可知a当a (0,1)时有2个零点.易知f(X)在(，Ina)有一个零点；设正整数n。满足noln(3 1),则 f(n°)en

20、6;(aen°a 2)n°en°n°2n°n°0.由于a3ln( 1) lna,因此f(x)在(ln a,)有一个零点.从而可得a的取值范围为 a(0,1).试题解析：(1) f X的定义域为，f X 2ae2x a 2 ex 1aex 1 2ex 1 ,(i) 若a °,则f X 0,所以f X在， 单调递减(ii) 若 a °,则由 f X °得X lna.当 X , lna 时，f X ° ；当 X lna, 时，f x ° ,所以 f x 在lna单调递减，在lna,单调递增.

21、(2) (i)若 a °,由(1)知，fX至多有个零点.(ii)若a° ,由(1)知，当XIna 时，fX取得最小值，最小值为f lna11lna. a当a1时,由于flna° ,故f X只有-个零点；当a1,时，由于1丄alna° ,即flna ° ,故f X没有零点；当a°,1时，1-alna°,即f lna°.又f 242aea 2 e22 2e 2° ,故f X在，lna有一个零点设正整数n°满足n° ln3 1a,则f n°en°n°ae

22、76; a 2n°en°n°2n°n°°.由于ln3 1alna,因此f'X在lna,有一个零点.综上，a的取值范围为 °,1 .点睛：研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数f()有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含 参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断 y a与其交点的个数，从 而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究， 研究其单调 性、极值、最值，注意点是若f()有2个零点，且函数先减后增，则只需其 最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于

23、 0的点.10已知函数 f X l3 a 2 x 1 .3(1) 若a 3 ,求f X的单调区间；(2) 证明：f X只有一个零点.分析：(1)将a 3代入，求导得f (X) X2 6x 3 ,令f (x)0求得增区间，令f (x)013求得减区间；(2)令f() -X3 a(x2 X 1)0 ,即3a 0 ,则将问题转3 X X 13化为函数g(x) P上3a只有一个零点问题，研究函数g(x)单调性可得X2 X 1详解：(1)当 a=3 时，f (X) =1X3 3x2 3x 3, f ,(X) =x2 6x 3. 3令 f '( x) =0 解得 x=3 2 3 或 x=3 2、3

24、 .当 x(-, 3 2.3 )( 3 2.3 , +)时，f '(x) >0;当 x( 3 2.3 , 3 2-、3)时，f '(x) <0.故 f (X)在(-,3 2j3), ( 3 23 , +)单调递增，在(3 243 , 3 2忑)单调递减.x3(2)由于X2 X 10,所以f X 0等价于r3a 0.X X 133a ,则 g '(x)2 2X X 2x 32 0,仅当 X=0 时 g 'X 1X2(X) =0,所以g (x)在(-,+)单调递增.故(X)至多有一个零点，从而f (X)至多有又 f (3a- 1) = 6a22a10，f

25、 (3a+1) =30，故 f(X)有个零点综上，f (x)只有一个零点.点睛：(1)用导数求函数单调区间的步骤如下:确定函数f (x)的定义域；求导数f (x)；由f (X)0 (或f (X)0)解出相应的X的取值范围，当f(X)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当 f (X)0时，f(x)在相应区间上是减增函数(2) 本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证11. 已知函数f(x) Sinx ln(1 x)， f (x)为f (x)的导数.证明：(1) f (X)在区间(1-)存在唯一极大值点；2

26、(2) f (X)有且仅有2个零点.【分析】(1) 求得导函数后，可判断出导函数在1,?上单调递减，根据零点存在定理可判断出x°0,使得g X00 ,进而得到导函数在1,上的单调性，从而可证得结论；2 2(2) 由(1)的结论可知X 0为f X在 1,0上的唯一零点；当 X 0, 时，首先可2判断出在 0,X0上无零点，再利用零点存在定理得到f X在X0,2 上的单调性，可知f X 0 ,不存在零点；当X2'时，利用零点存在定理和f X单调性可判断出存在唯个零点;,可证得f X 0 ；综合上述情况可证得结论【详解】(1)由题意知:定义域为：1, 且f XCOS XXfOOf

27、X在 1,0上单调递减1'2COSXSin XQ X 12在陀上单调递减,sinX,在巧上单调递减sin 21,上单调递减2Sino 1 1Xo% ,使得gXox0, 时，1,Xo 时，gX在 1,X0上单调递增；在X0,2上单调递减X0为g X唯一的极大值点即：fX在区间1-上存在唯一的极大值点X0.2（2）由（1）知:f X1COS X， X1,X 1当X1,0 时，由（1)可知f X在 1,0上单调递增X 0为f X在 1,0上的唯一零点当X 0, 时,2X在O,Xo上单调递增，在X0,上单调递减2又 f 00f x00f X在0,X0上单调递增，此时f X f 00 ,不存在零

28、点又 f COS -02 2 2 2x1X0,，使得 fx02f X在X0, X上单调递增，在X,? 上单调递减2e又 f x0f 00, f Sin In 1InInl 02 2 2 2f X 0在X0,上恒成立，此时不存在零点2当X , 时，Sinx单调递减，In X 1单调递减2f X在，上单调递减2又f 0fSin InIlnIO2即ff0 ,又f X在,上单调递减22f X在上存在唯一零点2当X,I时，SinX1,1，In X 1 In1 In e 1SinX In X 10即f X在，上不存在零点综上所述：f X有且仅有2个零点“ 八 Cr= (X - a)2 +x-a- a(_a

29、 - 1)12. 设为实数，函数.(1) 若，求"的取值范围；(2) 讨论'的单调性； 2 fW ÷ - (O + CO)(3) 当时，讨论在区间内的零点个数.试题分析：(1)先由MVI可得a+al ,再对反的取值范围进行讨论可得"+gG的解，进而可得'的取值范围；(2)先写函数的解析式，再对”的取值范围进行讨论确定函数的单调性；(3)先由(2)得函数的最小值，再对：的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数.试题解析：(1)3F+aZ+W十，因为所以同+ ol ,当时，一.，显然成立；当-；,则有_ . L .，所以-.所以1 '：'

30、;'.综上所述的取值范围是对于-,其对称轴为 . 一 - 一- ，开口向上,所以 在上单调递增;对于-一一，其对称轴为八.-_ ，开口向上，所以在一一上单调递减综上所述，在 H ；：上单调递增，在<-： i.-rr' 上单调递减(3) 由(2)得.在讣川心上单调递增，在:上单调递减，所以(x2 -3x-x > 2(i) 当，-时，<-1，I 5x÷4jx < 2jr+7=<3/W=- x>0令，即 ()因为 在-上单调递减，所以.：J44而 - 在.),.i上单调递增，-_ ,所以一 与 - 在：-/ 无交点X""

31、;Jt/(j) = x -5x=-di33当 x2时，就，即 Jt" 3jr- ÷4 0 ,所以 XJ -4 0 ，所以-一，因为"-:，所以=:，即当'=:时，一有一个零点 =(ii)当 * -时，.一一 -，当时，"厂：-匚巳打- “，而 -在上单调递增,4、 斗当'- = -时，一 -下面比较 -与-的大小aa0?_匕2-4_(左一丄X<十十2)结合图象不难得当.： 1时，-与- 有两个交点综上所述，当=:时，一有一个零点 =;当"：时，有两个零点13.已知函数 f(x) (X a)ln X (a R).(1) 若a

32、 1 ,求f(x)在X 1处的切线方程；(2) 若对于任意的正数 X , f (X)0恒成立，求实数a的值;(3) 若函数f (X)存在两个极值点，求实数 a的取值范围.【分析】(1) 利用导数的几何意义得到切线斜率，利用点斜式可得切线方程;(2) 对Inx分类讨论，简化不等式，即可得到实数a的值；当X 1时，f 10,f 10,(3)函数f X存在两个极值点等价于f XInxaX1存在两个不相等的零点设g X InxaX1 ,研究函数的单调性与极值即可【详解】(1)因为f XX a Inx a R ,所以当a1时,f XX 1 Inx ,则f XIInX11 -,X所以f x在X 1处的切线

33、方程为y O ；(2)因为对于任意的正数 X , f X O恒成立，所以当InX O时，即X 1时，f X O，a R ； 当InX O时，即X 1时，X a恒成立，所以a 1 ；当InX O时，即X 1时，X a恒成立，所以a 1，综上可知，对于任意的正数 X， f XO恒成立，a 1 .(3) 因为函数f X存在两个极值点，a所以f X Inx1存在两个不相等的零点.X设g XInxaX1 ,则gXIaXa2 2 X XX当aO时，gXO，所以g X单调递增，至多一个零点.当aO时，因为XO,a时，g XO, gX单调递减，Xa,+ 时，g XO：，gX单调递增，所以Xa时,gX ming

34、aIn a 2 因为g X存在两个不相等的零点，所以In a2 O ,解得 e2 a O.因为2 eaO，所以12 ea a因为g1In2 a1O ,所以在 a,上存在一个零点.aa因为2 eaO，所以2 aa 2又因为g a2 1 1 Ina -1 2I n a1,aa112t 1设 t a ,则 y 2lnt -1(O t 亍)，因为 y 2 O,tet11122所以y 2ln t - 1(O t7)单调递减，所以 y 2ln 2 e 1 e 3 O,tee1 所以g a Ina1 O ,所以在 O, a上存在一个零点.a综上可知：e2 a O 【点睛】 已知函数有零点求参数取值范围常用的

35、方法和思路(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解.14.设函数 f() mex 23 ,其中 m R.(I)当f()为偶函数时，求函数 h(x) Xf(X)的极值；()若函数f()在区间2,4上有两个零点，求 m的取值范围.【分析】(I)根据偶函数定义列方程，解得m 0.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符x2 3号变化规律，即得极值，()先分离变量，转化研究函数 g X J上,X 2,4

36、,ex利用导数研究g X单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的m的取值范围.【详解】(I)由函数f X是偶函数，得f X f X ,2即me % X 3 meX X23对于任意实数X都成立，所以m 0.32此时 h X Xf X X 3x ,则 h X 3x 3.由h X 0 ,解得X 1.当X变化时，h X与h X的变化情况如下表所示：X,111,111,h X-OO-h X极小值/极大值所以h X在 ，1 ,1,上单调递减，在1,1上单调递增所以h X有极小值h，h X有极大值h 12()由 f X meX兰二所以“ f X在区间 2,4上有两个e零点”等价于“直线 ym与曲线g X,

37、X 2,4有且只有两个公共点”e对函数g X求导，得X2 2xXe由g X O ,解得X1X23.X2, 111,333,4g X-OO-g X极小值/极大值X的变化情况如下表所示:当X变化时，g X与g所以g X在2, 1，3,4上单调递减，在1,3上单调递增.又因为g 22e , g 12e, g 32, g4 13e所以当2em 13或m *时，直线yeem与曲线2,4有且只有两个公共点在区间2,4上有两个零点.136即当 2e m 4或m 3时，函数f Xee【点睛】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2) 分离参数后转化为函数的值

38、域(最值)问题求解.(3) 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解215.已知函数f X 2aln X X .1讨论函数f X的单调性；22当a 0时，求函数f X在区间1,e上的零点个数【分析】X当a 0时，f X在0,上单调递减;(1)先对函数f X求导，分别讨论a O, a 0,即可得出结果;(2)先由(1)得a 0时,函数fX的最大值f XmaxIa a Ina 1,分别讨论 a Ina 1a Inaa Ina即可结合题中条件求出结果【详解】22al nxX?X0时,0时,2 a X2X 0 ；当a 时，f X 0当a 0时，f x在0, . a上单调递增， 在,a

39、,上单调递减(2)由(1 得 f X max f - a a In a 1 ,当a Ina 10 ,即0 a e时，函数f x在1,e2内有无零点；当a Ina 10 ,即a e时，函数f x在0, 内有唯一零点. a，又1 Va , e e2 ,所以函数f X在1,e2内有一个零点；当 a Ina 10 ,即 a e时，由于 f 110， f a a Ina 1fe22aI n e2 e4 4ae42.ae22.ae2，Le42若2、a e20 ,即e a 时，f e 0 ,由函数单调性知4X10.a 使得 f X10，X2一 a,e2 使得 f x?0,2故此时函数f X在1,e 内有两个

40、零点；2若 2.a e20 ,即-.a e e 时，f e20，2且 f . e2aI n .e e a e 0， f 11 0，从而f X由函数的单调性可知 f X在1,'.e内有唯一的零点，在-e,e2内没有零在1,e2内只有一个零点综上所述，当a 0,e时，函数f X在1,e2内有无零点；4er2当a e,时，函数f X在1,e内有一个零点；4e4当a e, 时，函数f X在1,e2内有两个零点.416.已知函数 f X In XaXa R(1)讨论f X的单调性;(2)若a 1 ,当X 0时，函数g X2X 2mf X m 0有且只有一个零点，求的值.【分析】(1)求导后讨论a

41、 0 a0时的单调性(2)将a 1代入，得到函数g X的表达式，由条件只有一个零点，求出在极小值时取得零点，计算出m的值【详解】(1)函数fX的定义域为0,，所以函数f X1 ax aX.当a 0时，f X在上0,单调递增.当a 0时，令1X 0，得 X ，a,由f X 0得X a所以函数f X在0,1上单调递增，在上a单调递减.由题意知g XX2 2mlnx 2mx22x 2mx 2mX ， X 0X 0 ,得 x1m . m2 4m20 (舍去)，m . m2 4m20,X2 时，g0,X?上单调递减;X2,时，g X 0，g X在0,X2上单调递增;所以g X的最小值为g X2 ，因为函

42、数g X有且只有一个零点，所以g x20.X2X20x； 2ml nx2 2mx2 0，得 202 mx2 m 0所以 2mlnx2 mx2 m 0,因为m O ,所以2lnx2X210. (*)设函数 y 2lnx2 x21 ,易知当X 0时，该函数是增虑熟，且当X 1时，y 0 ,所以方程(*)的解为X2 1，所以Xm一 m 4m I ,解得m 1 .2 217.已知函数X X 2 In X ax 1 .(1) 当a 1时，证明f X的图象与X轴相切;(2) 当a 1时，证明f X存在两个零点.【分析】(1) 先求导，再设切点，求出切点坐标，即可证明，(2) 分离参数，构造函数，利用导数求

43、出函数的最值，即可证明【详解】证明：(1)当 a= 1 时，f (X) = ( X - 2) lnx +x- 1.(X) = lnx + 1,若f (X)与X轴相切，切点为(X0, 0),解得X0 = 1或X0= 4 (舍去). X0= 1 ,切点为(1, 0),故f ( X)的图象与X轴相切(2) V f (X) = ( X- 2) Inx+ax- 1 = 0,I ,21lkInx +,X a=(-2)InX1设 g (X)=丄-InX丈,、11 2(1-LnM) l-2InM g ( X )=-p 亠+o=2，令 h (X)= 1 - 2x- 2lnx易知h (x)在(0, +)为减函数，

44、Vh (1 )= 1 - 1 - 2ln 1 = 0,当x( 0,1)时，g'( x)> 0,函数g (x)单调递增, 当x( 1, +)时，g'( X)V 0,函数g (x)单调递减, g ( X) max= g ( I)= 1 ,当 x0 时，g (X) -,当 X +时，g (x)-,当av 1时，y= g (X)与y = a有两个交点，即当av 1时，证明f (X)存在两个零点a218已知函数 f XX 1 X Inx(a 0).2(1) 讨论f X的单调性；(2) 若1 a e ,试判断f X的零点个数.【分析】(1) 对f X求导后对a进行分类讨论，找到f X 0和f X 单调区间.1(2) 由(1)可知1 a e时，f X有极大值f和极小值a0的区间，即为f X的f 1 ,研究他们的正负,并且找到令f X