高考导数压轴题处理集锦

1、高考导数压轴题处理集锦ComPany number :WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-X导数压轴题题型1-高考命题回顾例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (2013全国新课标【I卷)(1) ISx = 0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2) 当 m2 时，证明 f(x)>0.(1) 解/(力=出一1灾+?护(力="一士'(0)=小一詁需=0加=1,I C-I-1 I 定义域为a-x>- 1, /'(Q=J不J=一，显然/()在(一1,0上单调递减，在0, +s)上单调递增.(2)证明 g(x)=eX-In(X+

2、2),则 r(X)=er-p(x>-2).IKX)=gt ()=cxCv>-2)(x)=ev+x+22>°所以()是增函数，/?(Q=0至多只有一个实数根, 又 g'()=疋乔°，&'(0)=1_尹。，2所以?(X)=g()=0的唯一实根在区间(一*, 0)内， 设 g,(x)=0 的根为/,则有 g,(r)=ez-|<z<0)*所以，ez=yr+2=e z,当 -(-2, /)时，g'(x)vgG=0, g(x)单调递减；当 (r, +时，g'()>g'()=0, g()单调递增；八.11

3、+ F所以 g(x)min = g() = e"-ln( + 2) = + 2 + f= / + 20当 m<2 时，有 ln(x÷77)<ln(÷ 2),所以 f(x)=ev 1 n(x+7)ev -In(X ÷ 2)=<g(x)(x)min>0.例2已知函数/(x)满足MX) = f'()e-i-f (0)x+ -X2 (2012全国新课标) 2(1) 求/(x)的解析式及单调区间；(2) 若 /(x) -2 +ax+b,求(a + l)b 的最大值。2(1) /(X)=广严-/(0)x÷l2 =广(X)=广

4、严/(0) + x令兀=1得：/(O) = I得: f(x) = ex X+ -X2() = ,(x) =el - +X2g,(x) = ex+l>0=>y = g(x)在XeR上单调递增得：f(x)的解析式为 f(x) = ex-x + -x2乙且单调递增区间为(0,+oo),单调递减区间为(YO,0)(2) f(x)-x2+ ax + bo (x) = e' (d + l)x0得/(x) = er -(a +1) 2 、勺6 +1 0时，hx) > 0 => y = /?(x)在XWR上单调递增X Yo 时,l(x) -OO 与 i() O 矛盾 当 +1

5、>O时,h,(x) >0<>x> In(G +1),R(X) VOoXVn(a +1) 得：当X = ln(« +1)时，/心)min = (d +1)-(" +1)ln( + 1)-Zj0 令 F(X) = x2-x2 In X(X > 0):则 Fr(X) = X(I- 2 In x) '"x = 7 时，F(X)max = I当Z_1,"时,(Eb的最大值为才例3已知函数/() = +-.曲线U f(x)在点(IJ(I)处的切线方程为 x + 1 Xx + 2y-3 = 0°(2011全国新课标

6、)求、方的值；如果当>o,且心1时，/(x)>4+-1求的取值范围。X-I X(II)解(I)a(-nx) IIf'W = 7由于直线"2y-3 = 0的斜率为-二(x + l)x2/=1,1即厂r 1(I)且过点(IJ)I故解得 a = l Z? = l。'b = 1,12 2(In 由(【)知f()=-1÷-,所以 + l X宀、ZlnX I1 /O1Jk-I)(x2-l)/()( +)= (2InX +) o兀一1 X I-%'X考虑函数 /K A-) = 2 In X + (ZI)(X > 0),贝 IJJr/7 G)=,(

7、x)<O , h(x)递设 R SO,由 (x)=A(AI)7cvlr 知，当 XHI 时,%-1减。而力=O 故当Xe(OJ)时, -h(X)>0-当 XW (1, +s)时，h (x) <0,可得一!-l-x2从而当 x>0,且 XHI 时，f(X)-+X-1 X(ii)设 O<k<l.由于伙一 l)(x2 +l) + 2x = (k- l)x2 +2x + k 1 的图像开口向下，且厶=4一4伙一1)2>0,对称轴X=!>1当Xe (1, 丄)时， 1 一&I-Zr. 1(k-l) (x2 +1 ) +2x>0，故"

8、(x) >0,而 h (1) =0,故当 x (L )_k时，h (x) >0,可得一 h (x) v,与题设矛盾。l-x2(iii)设 kl.此时 F + 1A2x, (jt-l)( + l) + 2x>0=> (X) >0,而 h(1) =0,故当 x ( 1, +oc )时，h (x) >0,可得一 h (x) v, _JC与题设矛盾。综合得，k的取值范围为(-OO, 0例 4 已知函数 f(x) = (x3+3x2+ax+b)e"x. (2009 宁夏、海南)若a = b=-3,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(-o,),(2,p)

9、单调增加,在(,2),(卩,+)单调减少,证明>6. 解：当 a=b=-3 时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)ex,故f(x) = - (xx2-3x-3)e"x +(3x2+6x - 3)e'x=-e"x (3-9x)= -x(x-3)(x+3)e当 x<-3 或 OVxV3 时f(x)>0;当一3<x<0或 x>3 时f(x)<0.从而f(x)在(8, 3),(O,3)单调增加,在(3,0),(3,+)单调减少.(2) f(x)= (x3+3x2+ax+b)e"x +(3x2+6x+a)e"x=

10、 e"x x3+(a-6)x+b a 由条件得 F=0,即 23+2(a-6)+b-a=0,故 b=4-a.从而 F(X)=-C-X x'+(a-6)x+4-2a.因为 f() = F(3) = 0,所以 x3+(a 6)x+4 2a=(x 2)(x )(x ) = (x 2) x2-(a+)x+a将右边展开,与左边比较系数,得a+卩=2,a = a-2故0 a = J(0 + a)2-4a0 = J12-4a 又(卩-2)(a-2)<0, 即 a-2(a÷)+4<0.由此可得 a<-6.于是 -a>6.2.在解题中常用的有关结论曲线y =

11、/(;V)在X = XO处的切线的斜率等于f(0),且切线方程为 y = ,()(-) + ()o(2)若可导函数y = /(X)在X = Xo处取得极值，则广() = 0o反之，不成 立。(3)对于可导函数f(x),不等式fx) >0(<0)的解集决定函数f(x)的递增 (减)区间。(4)函数/(X)在区间I上递增(减)的充要条件是：VxeZ V)0(0)恒 成立(广(X)不恒为0).(5)函数/(X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于/G)在区间I上有极 值，则可等价转化为方程f,(x) = 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f(jc)为二次函数且I=R,则有>()

12、o(6) /(x)在区间I上无极值等价于/(X)在区间在上是单调函数，进而得到 f,(xy) 0或z(x) 0在I上恒成立(7)若 V/ , f(x) >0恒成立，则 /Wmin >0;若Vr/, f(x) <0恒成立， 则/(叽Vo(8)若3 ,使得/()>0,则 /(x)max >0；若3 x0Z ,使得 /()<0* 则 /Wmin <(9)设/(X)与g(x)的定艾域的交集为D,若 XeD f(x)>g(x)恒成立， 则有f-gnm >0(10)若对 X1 1 > -V2 Z2 , f(xl)>g(x2)恒成立，则 /(

13、)min > gWmdx . 若对 X1 l , 3 X2 2 ,使得 f(×)>g(X2y 则 /(X)Inin >g(Qmin 若对 X1 Z1, 3 X2 e I2 ,使得/3)Vg(X2),则/(x)ma V g(x)ma (11)已知/(X)在区间人上的值域为A, g(x)在区间厶上值域为B, 若对 V , ,3 x2 Z2,使得 /(Xl) = Ig(x2)成立，则 AB o(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f,(x) = 0有两个不等实根西、x2, 且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：X Inxx-1 (x>0)X

14、 1 <ln(x+l)x (x>-l)" 1 + X ex 1-x9(D(X) = InA +Kv),且t/=2 ,求函数/W的单调增区间；(2) 在中当"0时，函数y = f()的图象上任意不同的两点Ag*J, &2，力)，线段AB的中点为C(%,y°),记直线AB的斜率为R ,试证 明：R>'(o).若g(x) = pnx + 0(x),且对任意的9宀eg,“工勺，都有&(兀2)-&(")一 "2 一" ，求G的取值范围. 例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数=2in&

15、gt;o)(1) 若/'(x)"对任意的兀>°恒成立，求实数"的取值范围；Z ( I )1S(X) =:m w(-,l),x +x7 <1(2) 当21时，设函数X ,若 e-,求证XiX2 <(l + -v2 )4例7 (绝对值处理)已知函数/(x)=F+加+ C的图象经过坐标原点，且在 X = I处取得极大值(I) 求实数的取值范围；(II) 若方程=恰好有两个不同的根，求/(x)的解析式；(III )对于(II)中的函数/(X),对任意Q、QeR ,求证： l(2sin)-(2si7)l81.例8 (等价变形)已知函数/(x) =O

16、r-I-InX (teR).(I) 讨论函数在定义域内的极值点的个数；(II) 若函数/3在工=1处取得极值，对Vx (0,÷o),(-)x-2恒 成立，求实数b的取值范围； (In)当OVXVyVe2且时，试比较2与上皿的大小.X I-InX1 I 7 /(x) = In g(x) = -X2 + InX + (n < 0) 例9 (前后问联系法证明不等式)已知22 I直线/与函数ZW(A)的图像都相切，且与函数'w的图像的切点的 横坐标为Io(I) 求直线/的方程及m的值；(II) 若 h(x) = f(x+l)-g '(x)(X 中 g'(X)是

17、g(x)的导函数),求函数力(X) 的最大值。f(a + b)-f(2a)<-(III)当OVbVG日寸，求证：2(1例10(整体把握，贯穿全题)已知函数/(a)=1-i.X(1) 试判断函数()的单调性；(2) 设”?>0,求/O)在m.2m Jt的最大值；(3) 试证明：对任意,1N,不等式In(r <旦都成立(其中。是自然对数 的底数).(IlI)证明：- + + + > .al a2 an n +1例U (数学归纳法)已知函数/(x) = In(X+ 1) + /MV ,当牙=0时,函数/(x)取 得极大值.(1)求实数加的值；(2 )已知结论：若函数/(x)

18、= In(X+ l) + m-在区间(")内导数都存在， 且G>-1,则存在x(圧(Gb),使得广(Xt)=/"W 试用这个 b_u结 论 证 明： 若 -1<齐。2， 函 数g(x)=_(X-X1) + /(X1),则对任意 XG(X,X7),都有屯一兀f() > g(x)；(3 )已知正数入人,血,满足l1+. + =l,求证：当n2, 7yv时，对任意大于-1,且互不相等的实数x1,x2,.,x,都有 /(Axi +2,x2 + + 2"X”) > if (X1) +1f (X2) () 例12 (分离变量)已知函数 = A2+ &#

19、171;lnxGZ为实常数).若"=-2,求证：函数/在(1,+8)上是增函数：(2) 求函数/W在l,e上的最小值及相应的X值；(3) 若存在"W,使得(÷2)成立，求实数的取值范围.例13 (先猜后证技巧)已知函数/(a-) = I-I)(I) 求函数/3的定义域(II) 确定函数/(X)在定义域上的单调性，并证明你的结论.(In)若Qo时/() >亠恒成立，求正整数k的最大值.+l例 14 (创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).(【)若x=0是F(X)的极值点,求a的值；(II)当 a=l 时，设 P

20、(Xhf(XI),Q(X2, g(x 2)(x>O,x2>O),且g(x)PQ (x) = ax2 -2ax +b(aO,b<) 2,3 M = r a,b f(2x)-k2x0 2/(l2r-ll) + (-3) = 0=X -1,1 kI2"-1Ik /(x) = (X-G)(x + ")e' a、 be R x = a f (A) U = O b a -, x2f j () b 兀已 R Xe x2f Xv x Xh, , Xii, Xil “ S，® " 123'4小/() = n g(JV) = Al卫+加(心

21、0)若 “ = _2 ,函 数7(x) = /(劝-g(x)在其定义域是增函数,求的取值范围；(2) 在(1)的结论下,设函数(X)=e2x+bex 0, 12,求函数©(x)的最 小值；(3) 设函数f(x)的图象G与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作X轴的垂线分别交Ci、C2于点M. /V,问是否存在点R,使Cl 在M处的切线与C?在N处的切线平行若存在,求岀R的横坐标;若不存在,请说明理山.例18 (全综合应用)已知函数/(x) = l + ln-(0<x<2)2 X(1) 是否存在点M(«,/?),使得函数y = /(-)的图像上任

22、意一点P关于点M对 称的点0也在函数y =/(x)的图像上若存在,求出点M的坐标;若不存 在,请说明理由；2r-l i19On 1定义 Sn =工 /(-) = /(-) + /(-) + - + /(),其中 n 2 ,求 S,013;n n nH(3) 在的条件下,令s” +1 = 2a ,若不等式2fl- ()m > 1对VneN n2ffl 成立,求实数加的取值范围. 导数与三角函数综合例19 (换元替代，消除三角)设函数/(X) = F-沙(XeR ),其中 aeR(【)当"=1时，求曲线)U(X)在点(2, /)处的切线方程；(H)当0时，求函数/(朗的极大值和极小

23、值：(IlI)当 >3,"-I，。时，若不等式 /(Icosa)R(TyosU)对任意的XeR恒成立,求R的值。 创新问题积累例20已知函数/() = ln-+ -.x-4 4I、求/(X)的极值.II、求证/(X)的图象是中心对称图形.若存在,求实数Q、方的值：若不存在，说明理山值范圉是III、设/(X)的定义域为Zx是否存在«,Z?D.当问时，/(x)的取 a b 4,4导数压轴题题型归纳参考答案01-0+0X极小 值Z0例解：(1)(2 1 时，X,由 zU) = 3x2-I = OJ 解得_3 *()的变化情况如下表：弟、23所以当 3时，KU)有最小值“ 3

24、9 .(2)证明：曲线尸mJ在点Pg ,2 - “)处的切线斜率k = /1)= 2“曲线y = /在点P处的切线方程为-V<2-'i2 一“)= 2"&-.> > *> Xr +aXU-Xr, n x = -; x _ -VI = ;_ XI= 令 >f = o,得2Al , 2“2“L <0V xi>a , 2i ,即 Ae2<xL- = 221 > 22丄XV 2 2",：, 所以 a1>-2>例 2(1)/(x) = InX-Gx+ - + “ _ X ad 1Y- ÷ X+

25、w 1Z c、=；(x>0)2“ *r(X) = F r-I(X>0),X令 II(X) = ax2 一 X +1 - a(x > 0) 当 4 = 0 时，(-) = -x + 1(->0),当 Xe(Oa),(x)>O,(x)<O,函数于单 调递减;当xe(l,+oo),(x)<0x)>0.函数/(x)单调递增. 当 H时I 由八X) = 0,即ax1 - +-a = 0,解得= 1,X2 = 1.a当 = 1时仔厂，()o恒成立，此时(-)oi函数/3单调递减；乙当0 VaV丄时 丄一 l>l>0,XE(OJ)时/心)>0

26、JQ)v0,函数/(Q单调递 2 a减；Xe(Il-1)0, ()<O,(x)>O1 函数/(x)单调递增；aA-(-l,+)时，(-)>OV)<O1 函数/(X)单调递减.a当 v 时丄 - IvO,当 xe(0,l),(x) > OJu) < O,函数 f(x)单调递减；a当"(l,+oo),(x) < 0,(x) > 0 I 函数 f(x)单调递增. 综上所述：当o时，函数/在(0,1)单调递减，(1,+S)单调递増； 当6/ = 1时易=花，/7« 0恒成立,此时,(-) 0函数/(X)在(0, +OO)单调递乙减；

27、当O <6<i时,函数/(X)在(0,1)递减,(1丄-1)递増,(丄_1,2)递减.2aa当a = 时，/3在(0,1)上是减函数 在(1,2)上是增函数 所以对任意4Xi (0,2), 有 /(X1)(I) = -II又已知存在 Rel,2,使 U1)(X2),所以-g(x2), X2 1,2, 怪) 又 g() = (x-b)2 +4-b2txe 1,2 当乃<1 时,g(x)min=g(l) = 5-2b>0与怪)矛盾;当 71,2j g(x)min =(I) = 4-r 0也与 锲)矛盾;117当 b>2 时,gU)n,n=(2) = 8-47-,7-.

28、17综上，实数方的取值范围是0，乜) O例 3 解：(D,(x) = 3v2+-3 .根据题意,得恍即爲汇解得慨所以伽=心.令/(X) = OI 即3-3 = O . x = ±l12+増极大值减极小值増2因为/(-1) = 2, /(l) = -2,所以当x-2,2时，/()ikk=2i 心=一2 则对于区间-2,2±任意两个自变量的值xrx2.都有 (x1)-(x2)(x)-(XtIlI = 4;所 Wc4 .所以 C 的最小值为 4. 因为点M(2,加)(心2)不在曲线y = (x)±,所以可设切点为CVyO) 则y0=-3x0 .因为() = 3-31所以

29、切线的斜率为3兀-3 .则3兀一3二兰匸旦二2即 2x - 6x + 6 +m = 0g(0)>0g <2-2 + In < 0例4解：广(X) =亠 3*72)2)2 + 3x3x + 2因为过点M(2")(加 2)可作曲线y = f(x)的三条切线, 所以方程2兀-6兀+6 +川=0有三个不同的实数解02+壇极大值减极小值増则所以函数(X) = 2-6+6÷?有三个不同的零点. 则g,(x) = 6x2-12x .令g'(x)=0,贝IJX = O或x = 2 .» 即6 + ?>0 » 解得-6<m<2

30、<令广(Q = OWx = *或= -1 (舍去).当0 A-<J,(x)> OJ(X)单调递増；当 * VX 1 时/(X) VoJ(X)递减 . /(1) = 13-1为函数()在0,1上的极大值.3 o33(2) 由 I " 一 InXl +lnf(x) + 3x > 0得“ > Inx- In或 < Inx + In2 + 3X2 + 3x设 h(x) = InX- In - = In ?八 + " , g(x) = In x + In - = In ,2 + 3x32 + 3X2 + 3x依题意知G > /心)或d <

31、; g(X)在X ；,；上恒成立, o 3g3 =2+3X 3(2 + 3x) 一 3x 33x (2 + 3*(2 + 3)>0J"、31 S /、2 + 6x ChE = J 丄C弓(2 + 6X)=J >0,2x + 3x 32x + 3x. g(x)与/心)都在：,；上单増，要使不等式成立, o 3当且仅当U >加丄)或G < g(b,即"> In 1或GVln 136353由 f(x) = _2x + b => ln(2 + 3x) 一二 / + 2x b = 0.令(P(X) = ln(2 + 3x)-X2 +2x-bi 贝

32、IJ '(x) = 3x + 2 = -22 + 3x2 + 3XFFjX 0,> 0,于是(X)¢0,上递增；33Fj/y2X e 时,f(x) < 0,于是卩在,1上递减，3而 0()> 0(0), 0(珂-)> 0(1)，. /(x) = -2x + h(x) = 0在0,1恰有两个不同实根等价于例5解：(1)/3 =丄-宀T =宀'一;心X (x + l)(x + 1)"91"£ 令(x)>O得工>2或O<x<l,函数/W的单调増区间为(0.1), (2,+oo).2Jn x2: /

33、rCv) =: Ir(Xoy) =一,又 Z g)-(xj InX,-InX1 “ XlX xx+x1 K= Z=(2)证明:当 G = O 时 /(x) = lnx大2 刃X2 1In 2不妨设X2 >A-I ,要比较R与广（临）的大小，即比较 Xl与土丁的大小, i十勺又V X2 >X11 即比较In乜与2312 =XI Xl + X2令?(X) = InX-2(A I) (X>1),J1JV) = - A：+1J心)在1,+8)上位増函数2(卫-1)i的大小 乜+ 14(X-I)23 _-0.X (x + l)2x(x+l)22(-1)又->l A (>Ad

34、) = 0 Jn互>一I 即"厂()xx× + 1由题意得F(X) = S(X) +X在区间(0,2上是减函数.lo S l2,F(A) = lnx + -+ x, . Fr(X)=丄一一+1x + 1X (兀 + 1)由尸(兀20=>1宀 + (兀+ 1)2=”+3大+丄+ 3在兀日1,2恒成立.XX设 W(X) = X1 +3x+- + 3 I X1.2,贝IJnr(x) = 2x- + 3>0XJrIn(X)在1,2上为增函数，/.a n(2)=斗.2° 当 0CxvLF(X) = -Inx +A + . /. F(X) = 丄一一+1A

35、+ 1X (+l)由 F(X)50=>4» + 匕 + 1)2=+“一丄一1在兀丘(0,1)恒成立XX设/(X)=F+兀一丄一11 Xe(OJ)为増函数, tr(l) = OX综上：“的取值范围为y.例6解:(1) '(X) = 2xIn(OX) + X J(X) = 2xIiI(OX) + xx2,即2 In x + lxx>0上恒成立设U(X) = 21n + l-x m,(x) = -1 = 0,x = 2,兀> 2 时，单调减，x<2 单调增I所以x = 2时心)有最大值w(2)O,21n26 + l2,所以O<dE.2(2) 当 = l

36、 时，(X) = - = A In X,X(A) = I+ lnx = O,x = l,m以在(1,+)上时)是増函数(0丄)上是减函数.eee因为丄 VXlV 兀+兀2 <1,所以 Xi + A->) = (Xl + x7)In(Xl +x7)> U) = x Inx1e即 1 n.Y <-l A2 In(Xl +小)同理In小 < AI + A： In(Xl +x->).X兀2所以 InM +Inx2 <( Al + A： + AI + b )InUl +x,) = (2 + -+ )In(XI + 小) XlXIAs X又因为2 + - + -4

37、,当且仅当“力2”时，取等号又X,D (-Jhx1 +S <1, In(Xl +X2)<°e所以(2 + + )In(XI +x2)41n(x +x2)所以Inxl +lnXI <41n(x1 +x2)所以:x1x2 V(Xl +七)4 例 7 (I) /(O) = 0=>c = 0,f,(x) = 3x2 + Icix + b, ,(1) = Ob = -Ia - 3 由f,(x) = 0=> = 1或t = 一二"二,因为当X = 1时取得极大值, 所以却二>=d<j,所以“的取值范围是:(-3)；(II)由下表:+0-0-递增

38、极大 值-“-2递减极小值递增依题意得：罟(加+ 3)2=-气兰，解得："一9所以函数/(x)的解析式是：/(X) = F - W +15x(III)对任意的实数Z0都有-22sin2,-22sin02,在区间卜2, 2有：/(-2) = -8-36-30 = -74,/(1) = 7,/(2) = 8-36 + 30 = 2函数/(兀)在区间-2,2上的最大值与最小值的差等于81,所以 I /(2Sin a) 一 /(2 Sin 7)l<81.例 8 解：(I ) ff() = a- = -_ T 当 0 时,fx) < 0 在(0+oo)上恒成立，X X函数.f(x)

39、在(0,+oo)单调递减，. /(x)在(0,+o)上没有极值点；当 Qo 时，r(-)<00<x<l1 f(x) > 0 得 x> 丄，aU(x)在(0丄)上递减 在(丄,乜)上递增，即.f()在2丄处有极小值.aa"当“ 0时/(X)在(0,+oo)上没有极值点，当">0时，f(x)在(0,+oo)上有一个极值点(ID V函数/(X)在X = I处取得极直“*. f(x)hx-2< + 丄一-h,X X令(A) = I+I-1,可得R(X)在肛2上递减，在£+00)上递增，X X g(x)min =g(K)T-亠,即方

40、12 (III) 证明：e">皿旦o一 >一，ln( y +1) In(X+ 1) ln(y + 1)令SM = 1,则只要证明g(x)在(e-l,+)上单调递増，ln(x + l)ex l(x + l)-"x+1又I 2. n ，In (x + 1)显然函数力(X) = In(X +1)在2- 1,+s)上单调递増x + 1: h(x) >1->01 即 g'(x)>OJ eg(X)在(一1,+S)上单调递増，即厂>In(X+ 1) ln(y + l) jI - 右 Zrgy、In(X ÷ 1) 当 x>y>

41、;-l 时，有"> in(y + i)例9解：(I) 03 =丄,厂(1) = 1；.直线/的斜率为1,X且与函数/(X)的图像的切点坐标为(1, O) , .直线/的方程为y = A-l. y = X -11 e 7 有一 y = -X + mx + 2 2又直线/与函数y = g()的图象相切，方程组<解。由上述方程消去y,并整理得X2 + 2(-l)-+9 = 0依题意，方程有两个相等的实数根，.A = 2("L1)F-4x9 = O解之, 得m=4或m=2 Qm < O,. m = -2.17(H)由(I)可知g(x) = -x2-2x+-yIX

42、g x) = X 2. II(X) = In(X + l)-x + 2(x>-l) :.h,(x) =_ 1 =.Jx+1x+1.当x(-l, O)B,h, (x)>O,h(x)单调，当 x(0,+oo)时,(x)<O,A(x)单 减。.当X=O时，/心)取最大值，其最大值为2。(ill) f(a + b)-/(2) = ln(d + b)-ln2d = In -Z +- = ln(l + - ).2a2ah /I h /证明.当"(70)时，ln(l + )<x, ln(l + -)<一 2a 2a例10解： 函数/(X)的定义域是(0.÷)

43、.由已知广(X) =匕怛.令 Jrf,(x) = 0 ,得 X = e 因为 TloVXVe 时，f'(x) > O ; '11 x>e 时，f,() < O . 所以函数f(x)在(0划上单调递增，在e.+)上单调递减.(2)由(1)可知MI 2me T即心+时，/(x)在n.2m上单调递增，所以U)wx = /(2h) 芈巴 T Im加，即0"时，当 me 时,/(A)在zm,2zm上单调递减，所以 /(A)max =I-I . In1 =()=- 综上所述，回-1,05注Im2(3) 由(1 )知 MI a (0,+) B f(x)mnL =(

44、e) = i-l .所以在XW(O,+co)时恒有AX) = Jl-ll-l,即l!ll,当且仅当x = e时等号成立.因此对任意 XeX ex(0.÷)恒有 InA-1.因为>0, e,所以 n-<-f 即eHHH e nln(r< 因此对任意/N不等式ln<l.HnHH例11解:(D当X(-1,O)时,(x)>0,函数/(X)在区间(-1,0)±单调递 増；当XW(O,-Ko)时，,(x)<0,函数/()在区间(O, +oo)上单调递减.函数/(x)在X = O处取得极大值,故m = -l.(2 )令/(a) = f(x)-8(x)

45、= (x)-八'匕心(X-Xl)-f (XI) I召一厂则F(X) = /V)-/(A|)Z(-.V函数/(X)在"(心禺)上可导 二存在2e(x1,x2),使得)=7'7'x!-21X+T1,T 当 Xe(XvXQ)时,hf(x) >0, Zz(X)单调递增I AA(X) >(Xl) = O ； .当 Xe(XQ.x2)时，IIf(X) < 01 "(X)单调递减,:.h(x) > Ii(X2) = O ；故对任意X 0(2)l 都有 f(x) > g(x)(3)用数学归纳法证明.当 n = 2 时,v÷=1

46、.且 A>, A >01AXl+2x2 e (XpX2)f 由(II)得 f(x) > g(x),即/(1X + 1X1) > y ( Al + >-21)÷/(X1) = U1)÷ lf(x2)I.当口 = 2时，结论成立.假设当“ =W伙n 2)时结论成立，即当+4=i时，/(X1X1 +A2X2 H人无)> 人 f(xj +人/(花)ICf(Xk) 当 n = k + l 时，设正数,A+ 满足入 + 2 4>+ = 11 令tn = +1 k,H=勺昇厶=生昇，儿=-I贝IJw+ A÷br =1且+儿=1InInI

47、n.当 = k + 0,结论也成立 综上由，对任意n2 ZN、结论恒成立.例 12 解：当 “ =一2 时./(x) = x2-2InXl 当 a(L+), f= 2( r 11 >0 ,X 故函数/(X)在(l+cc)上是増函数 广(X)= i' +" (x>0),当 xe1,w, 22 +aea + 2.a + 2e1.X若t-2l广在1间上非负(仅当6/ = -2, =l时，/3 = 0),故函数/(兀)在山打上是増函数 此时U)U = ) = 若一 2/ J V -2,0tV) = O ；当 IsV时，r(x)<0l此时/U)是减函数；当孑<e

48、时，,(x)>0,此时/W是增函数.故/Emin = /(宁)若 a-2e2, f,(x)在l,e上非正(仅当 = -2e2. x=e 时,V) = 0),故函数 ZW 在l,e上是减函数,此时f(x)min=f(e) = a + e2 不等式 /U) (“ + 2)x,可化为 a(x- In x)x1 - IX：5 lnxlx且等号不能同时取,所以nx<xf即X-InX>0,因而a A A (X曰1,打)A-InX令g) = L (AeiuJ)X-InJV又 SfM =(X-I)(X+ 2 - 21m)(x-lnx)2当 X l,d0f x-l0,lnx<ll x +

49、 2-21nx>0l从而(X)O (仅当X=I时取等号)I所以g(x)在II®上为增函数, 故能)的最小值为g(l) = T,所以G的取值范围是7÷) 例13解： 定义域(702(0,+S)-1 1 V) = -÷ln(x÷l)l 当X > OiH;广(X)V 0单调递减。当 (-hO)f 令1 1 1 Xg(x) =+ In(X +1) gx) = 一r += ;_T < Ox + 1(x + l)2 x + 1 (X + 1)21111Yg(x) = + ln(x +1)g,(x) = 一一 + - = -_< 0x + 1(

50、x + l) x + 1 (x + l)故 g(x)在(-1, 0)上是减函数,即 g(x)>g(O) = l>O,故此时广(X) =-丄丄r + ln(x + l)在(-1,0)和(0,+s)上都是减函 Jr + l数(3)当QO时./(%) > 恒成立，令X = I有R<2l + ln2x + l又k为正整数.k的最大值不大于3下面证明当k=3时，/(x) > (X > 0)恒成立当QO时(+ l)ln(x +1) + 1-2x>(亘成立令g(x) = (X +1)In(X +l) + l-2x 贝IJg,(x) = In(X + 1)-1,当x&

51、gt;e-1 时!Jgr(X) = In(X+ 1)-1,当 X>£ 1时,g'(x)>0 当 0 VXV£-1时,g'(x)<0I当x = e-1时，g(x)取得最小值g(e-) = 3-e>0当Qo时，(X +1)ln(x + l) + l-2x>0恒成立，因此正整数k的最大值为3例 14 解:(I )F(x)= ex+sinx -ax, FG) = ex + COSx-a.因为A-O是F(X)的极值点,所以F ,(0) = 1 +1 -" = 0," = 2.又当 «=2 时,若.r<0

52、, F '() = e' + COS xa <0 ;若 x>0, FxX) = ex + COS x-a>0. x=0是F(X)的极小值点，心2符合题意.(Il)Ta=I,且 PQ2 = ex' + Sin Xl x2 -x1 = ex' + Sin 片一册令Il(X) = ex + SinX-XJI'(x) = ex + COSx- > O 当.r>0 时恒成立.x0,+)时力(%)的最小值为 (O)=1.IPlmin=l.(【II)令 0(x) = F(X) - F-x) = ex -ex +2SinX-2v.贝IJ x

53、) = ex + ex + 2COSX-2a. S(X) = 'x) = ex -ex -2Sin X.因为 S '(x) = ex +e-x-2CoSX 0 当 >0 时恒成立，所以函数S(X)在O, +s)上单调递增，S(x)2S(0)=0当x0,+)时恒成立；因此函数0(%)在0,+oo)上单调递増，,(x),(0) = 4-2a当x0,+)时恒成 立.当a<2时,'g 0,x)在0,+如 单调递増,即(x) 仅O) = O.故a<2时F()>F( - x)恒成立.例15 解：(I) (I)(X) = (-l)2+l+Z>-叶2斗9。

54、一 6“ + 2 + b = 2U(2) = 24-4 + 2 + b = 5Jg(3) = 29 6 + 2 + b = 5L(2) = 5，> V4" 一 4 + 2 + b = 2故a = 1b = 0"0时，g(Q在R 3上为增函数当a < OHI, g(x)在2, 3上为减函数 故 b < 1 a = 1 Z? = Og卩 g() = X2 -2x + l. f(x) = x + -2.(II)方程 /(2)-20 化为 2r+r-22t 1 + 22 令 A，kt2-2f + l Vxe-1,1 ,2记乙(t) = t2-2t + :. min

55、=0 ao(III) 方程/(2r-ll)÷(-3) = 0化为|211 + 占气-(2 + 3灯=01211IZ 1 II2r-ll2 一(2 + 3灯12丫一11+(1 + 2灯=0, I 2x -1IO令 I2jr-ll=f,则方程化为"_(2 + 3 灯 f + (l + 2 灯=O (t0)1 + ?k方程I 2 11 +万Wn - (2 + 3灯=O有三个不同的实数解，由=I2"-1I的图像知，八一(2 + 3約,+ (1 + 2灯=O有两个根儿、Z21 fi<t1 <1 <t2 或 Ov/IVIl t2 = 1 IS(t) = r2 -(2 + 3k)t + (1 + 2k)0(0) = 1 + 2k > O¢(1) = _k < O(O) = I+ 2k>00(1) = -k =O /. k > On 2 + 3k I0<< 12例 16 解：(I) = 0时,f(x) = x2(x+h)e：.,(x) = x2(x + /?) ex +x2 (% + /?)= exxx2 +