高考理科数学试题全国卷

1、2 0 15 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的.1+z(1) 设复数Z满足=i ,则IZl =1 -Z(A)1(B)、2(C) . 3(2) sin20 cos10 cos160 sin10 =(A)P(D)2(3) 设命题P: Tn N,(A) - n N,(C)V n E N ,(4) 投篮测试中，每人投1(Cr-P为(B)n N,(D)n N,1(D)2(B)-T n2>2' n 2>2 n2 23次，至少投中2次才能通过测试n ,则n2n 2n =2n2n.已知某

2、同学每次投篮投中的概率为0. 6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(D)0. 312(A) 0. 648(B) 0. 432(C) 0. 36(5)已知M(xo, yo)是双曲线x2y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1 MF2 V 0,2则y0的取值范围是(A)(匸，込(33,3.32 22.22、32”3,)(C)(,)(D)(，)663333(6) 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问:积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一B)()，估算出堆放斛的米约有

3、(B)§2 斛T (C)36 斛 (D)66 斛 BC= 3CD ,贝914 ÷(B) AD AB AC331T(D) AD AB AC33f(x)的单调递减区间为(A) AD AB - AC34(C) AD AB AC3米堆底部的弧度为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3,(A)14 斛(7) 设D为ABC所在平面内一点1 4 ：31.2 3(8) 函数f(x) =UJ - - .的部分图像如图所示，贝U1 3 1 _(A)(), O / (b)( 一 .，；、：i + ：), k'- /13

4、13(C)( I: ) , ki /(D)(J. ；亠.十 J , k 丁t= 0.01 ,则输出的 n =(9) 执行右面的程序框图，如果输入的(B)6(C)7(D)8(10)(A)IO(11)(12)(13)(A)125(X X y)的展开式中,(B)2052X y的系数为(C)30圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示表面积为16 + 20二，贝U r =(B)2(C)4(D)60r)组成一个几何体, .若该几何体的(D)8正视图(A)512.设函数f(x) = ex(2x 1) ax + a,其中a : 1 ,若存在唯一的 整数x0,使得f(x

5、0)：O,则a的取值范围是()3Ar，I) B.2e,4)C.,-)2e 4D. 2e，I)第II卷、填空题：本大题共 3小题，每小题5分(13) 若函数 f(x)= xln(x+.a x2)为偶函数，则 a = 2 2(14) 一个圆经过椭圆 y1的三个顶点，且圆心在 X轴上，则该圆的标准方程为16(15)若x，y满足约束条件4X -1 _0I« X y 0X + y 4 兰0中，/ A = B = C = 75°，BC= 2,贝U AB的取值范围是,则y的最大值为X(16) 在平面四边形 ABCD三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分1

6、2分)Sn为数列an的前n项和已知an>O，- ' N -(I )求an的通项公式：( )设，求数列,：:，的前n项和(18) 如图，四边形ABCD为菱形， ABC = 120°, E, F是平面ABCD同一侧的两点, DF 丄平面 ABCD , BE = 2DF , AE 丄 EC.(1) 证明：平面 AEC丄平面 AFC(2) 求直线AE与直线CF所成角的余弦值(19) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费X 了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值BE平面 ABCD，年 I销!售旦

7、里/tmton MO -MD MD "*SK) £00 - 晰 _I,i* 如 M JU J? 4 4 4( Tf 54 3(?ABEx(单位：千元yi(=l)对年销售量y(单F 8)数据作年宣传费(千元)84 (Xi X)2i=18嗚(Wi W )2i=18才(Xi x)(yi i=1Hy)8(Wi W)(yi y)46.656.36.8289.81.61469108.8表中 Wi = Xi , , W = 1 二 Wi8i=1(I )根据散点图判断，y= a+ bx与y= C + d . X哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费X的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理

8、由 )( )根据(I )的判断结果及表中数据，建立y关于X的回归方程；(In )以知这种产品的年利率 Z与X、y的关系为Z= 0. 2y x.根据( )的结果回答下列问题：(i ) 年宣传费X= 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii )年宣传费X为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(5 V1)， 二乘估计分别为：(20)(本小题满分12分)(U2 V2) (UnVn),其回归线V =、：.' U的斜率和截距的最小在直角坐标系Xoy中，曲线C:2Xy=与直线I: y= kx+ a(a>0)交于M, N两点,4M和N处的切线方程；(I )当k= 0时，分别求C在点

9、 ( )y轴上是否存在点 P,使得当k变动时，总有 OPM = OPN ?说明理由.(21)(本小题满分12分)3 1 已知函数 f( X) = X ax ,g (x) - -1n x4 X轴为曲线y= f(x)的切线；表示m, n中的最小值，设函数 h(x)=min'f(x),g(x) /(X 0),讨论h(x)(I )当a为何值时， ( )用 min Im, nl 零点的个数 请考生在(22)、(23)、题目计分，做答时，请用 (22)(本题满分10分)选修 如图，AB是。O的直径,(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个 2B铅笔在答题卡上将

10、所选题号后的方框涂黑.4 1:几何证明选讲AC是。O的切线，BC交。O于点E(X 1)2+ (y 2)2= 1 ,以坐标原点为极点，X轴的正半(23)(本小题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系XOy中.直线C1 :x= 2,圆C2 : 轴为极轴建立极坐标系.(I) 求G , C2的极坐标方程；(II) 若直线C3的极坐标方程为(24)(本小题满分10分)选修4 5: = ( P4不等式选讲R ,设C2与C3的交点为M , N ,求厶C2MN的面积已知函数 ' ' =X+ 1| 2|x a, a>0.(I )当a = 1时，求不等式f(x)>1的

11、解集；6,求a的取值范围( )若 f(x)的图像与X轴围成的三角形面积大于2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案A卷选择题答案 一、选择题(1)A(7)A(2) D(8) DA、 B卷非选择题答案 二、填空题(3) C (4) A(9) C( 10) C(5)A11)B(6)B(12)D(16) - _ ' - .'' _ ,.'-3 2225(13) 1(14) (X ) y :24(15) 3二、解答题(17)解：2 2(I)由 an 2an = 4Sn 3 ,可知 an 1 2an 1 =4Sn I 3.2 2 可得 an 1 -'

12、an ' 2(an 1 -a) = 4an 1 即由于 an 0可得 a* 1 -a* = 2.又 a1 2a =4a1 3 ,解得 a-1(舍去),a3an = 2 n 1.所以CaJ是首相为3 ,公差为2的等差数列，通项公式为(ii)由 an = 2n 1 设数列fbn ?的前n项和为Tn ,贝U(18)解:(I)连结 BD ,设 BDnAC=G ,连结 EG, FG, EF. 在菱形 ABCD中不妨设 GB=1.由.ABC=120 ° 可得 AG=GC= -.,3 .由 BE _ 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.又 AE _ EC,所以 EG= ,3 ,

13、且 EG _ AC.在 R ： EBG 中，JZr可得 BE= 故 DF= - .在 RtAFDG 中，可得 FG=.22在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2 , BE=I- , DF= 2 ,23/2222可得 FE= .从而 EG2 FG2 =EF2,所以 EG _ FG2又ACnFG =G,可得EG _平面AFC.因为EG 平面AEC 所以平面 AEC _平面AFC(Hl)图，以G为坐标原点，分别以 GB , GC的方向为X轴，y轴正方向， GB为单位长，建立空间直角坐标系G-Xyz.由(I)可得 A(0,r3,0), E(1,0, 2), F (-1,0, ),C(0,3,0)所以=

14、(-1,32).故 cos AE,CF2 '2 TAE =(1 3 '2), CFTCF，牛 3.Z AE CF 3所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为3(19)型。3 .解：(I)由散点图可以判断，y = c d X适宜作为年销售量 y关于年宣传费 X的回归方程类2分(II)令W = =X ,先建立y关于W的线性回归方程。由于? = y 一 (JW=563 -68 6.8 =100.6。y关于 W的线性回归方程为y? = 1 00. £ W8因此y关于X的回归方程为 ? =100.6 68、X。(III) (i)由(II)知，当X=49时，年销售量y的预报值年利

15、润Z的预报值2 = 576.6 0.2-49=66.32。9 分(ii)根据(II)的结果知，年利润 Z的预报值2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。12分(20)解：2(I)有题设可得 M (2、a,a), N(_2、,a,a),或M(-2、3a ).又 y =-,故 在x=2為24处的导数值为Ja, C在点(2a a, 出)的切线方程为y -a = a( x =2 Ba) , a -x-y=a02y =在X- -2. a ,即 '.ax y a = 0 .4股所求切线方程为. 5x - y - a = 0和 ax y 0(III)存在符合题意的点，证明如下：设P(0,

16、 b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM , PN的斜率分别为k1,k2故 x1 X2 = 4k, x1x2 - -4a.从而kx a代入C的方程得X2 -4kx -4a = 0.当b=-a时，有(21)解:(X0,0)则 f(x°) =0, f(x0)=0 即卩3 1(I)设曲线y=f(x)与X轴相切于点x； ax004!=23x0 a = 0解得x0丄,a =243因此，当a 时，X轴为曲线讨=f (x)的切线4(II)当是 h(x)的零点；若 a：-5,则 f(1)<0,h(1)=min? f (1),g(1), f (1) ： 0,故x = 1不是 h(

17、x 的零点4当 (0,1)时，g(x) =-1 nx 0.所以只需考虑f(x)在(0,1 )的零点个数综上，当22)解：(I) 链接AE ,由已知得， AE _ BC AC _ AB在Rt AEC中，由已知得，DE=DC故乙DEC NDCE链接 OE,则.OBE= . OEB 又.ACB+ . ABC=90 ° 所以.DEC+ . OEB=90 ° 故.OED =90o, DE是L O得切线(II) 设 CE=1, AE=X ,由已知得 AB =2-. 3 , BE=*12-2由摄影定理可得，AE=CE.BE ,所以X2 =J12-X2即X4 2 -12=0 可得 X 3 ,所以.ACB= 60o(23)解:(I)因为X=PCoS日,y = Psin ,所以C1的极坐标方程为 PCoSB=-2 , C2的极坐标方程 为22cos J - 4sin 二4=0。5 分2、2,(II)将 代入 -CO -4si nr 4 = 0 ,得3.24 =0 ,解得4P2 = J2。故 P1 _p2 = J2 ,即 MNl=J2。1由于C2的半径为1,所以.C2MN的面积为一。10分2(24)解：(I)当 a =1 时，f (x)a1 化为 x+1 2x1 -1Ao ,当X乞-1时，不等式化为x-4 0,