指数平滑法数学模型的参数估计和预测

1、指数平滑法数学模型的参数估计和预测【关键词】 数学模型；,参数估计；,预测；,检验,摘要： 建立二次指数平滑法数学模型，对模型中的参数进行了估计和检验且对模型进行了预测。关键词： 数学模型； 参数估计； 预测； 检验 1 二次指数平滑法的定义及分布11 一次指数平滑法的定义设X1，X2，Xn为时间t的观察值(t=1,2,，n)，独立且服从正态分布N(0，)，对一般情况，做代换Yt=Xt-,St(1)为时间序列中时间t达到一次指数平滑值的定义：St(1)=xt+(1+)St-1(1)(t=1,2,n, 0<1)根据递推关系可得： St(1)=xt+(1-)xt-1+(1-)St-3

2、(1)=xt+(1-)xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)St-3(1)=xt+(1-)xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)t-1X1+(1-)tS0(1)因0<1，所以t时，limt(1-)t=0那么St(1)=xt+(1-)xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)t-1X112 二次指数平滑法的定义设S1(1)，S2(1)，Sn(1)为线性趋势某时间序列t的一次指数平滑值，St(2)为时间t的二次指数平滑值，若St(2)=St(1)+(1-)St-1(2),(t=1,2,n,0<1)根据递推关系可得：St(2)=St(1)+(1-)St-1(1)+(1-)2S

3、t-2(1)+(1-)t-1St(1)因E(Xi)=0, Var(Xi)=2,Xi独立。均值E(St(1)=Ext+(1-)xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)t-1X1=0Var(St(1)= Varxt+(1-)xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)t-1X1=Var(xt)+Var(1-)xt-1+Var(1-)2Xt-2+Var(1-)t-1X1=2Var(xt)+2(1-)2Var(xt-1)+(1-)42Var(Xt-2)+ +2(1-)2(t-1)Var(X1)=21+(1-)2+(1-)4+(1-)2t-22=1-(1-)2t 2- 2E(St(2)=ESt(1)+(1-)S

4、t-1(1)+(1-)2St-2(1)+(1-)t-1S1(1)=0Var(St(2)= VarSt(1)+(1-)St-1(1)+(1-)2St-2(1)+(1-)t-1S1(1)=2Var(St(1)+2(1-)2Var(St-1(1)+2(1-)4Var(St-2(1)+ +2(1-)2t-2Var(S1(1)=21-(1-)2t 2- 2+2(1-)21-(1-)2t-2 2- 2+ +3(1-)2t-21-(1-)2 2- 2=32 2-1-(1-)2t+(1-)21-(1-)2t-2+(1-)41-(1-)2t-4+(1-)2t-21-(1-)2=22 (2-)21-(1-)2t-

5、t(1-)2t(2-2)因为St(1)是Xt(t=1,2,n)的线性组合，而St(2)是St(1)的线性组合且XtN(0,2)，所以St(2)、St(1)也服从正态分布：St(1)N(0, 1-(1-)2 2- )2St(2)N(0, 22 (2-)21-(1-)2t-t(1-)2t(2-2)2 建立数学模型假定：序列S1(1)，S2(2)，Sn(1)具有线性趋势变动预测方程为：t+T=t+tT t=2St(1)-St(2)t= 1-(2St(1)-St(2)t+T是第t+T期的预测值，t为预测模型所处的时间周期，T为由预测模型所处的时间周期至需要预测的时间之间的周期数，t，t为参数。E(t)

6、=E(2St(1)-St(2)=0E(t)=E( 1-(St(1)-St(2)=0 Var(t)= Var(2St(1)-St(2)=4VarSt(1)+VarSt(2)=41-(1-)2 2- 2+22 (2-)21-(1-)2t-t(1-)2t(2-2)=f()2 Var(t)= Var( 1-(St(1)-St(2)=2 (1-)2 Var(St(1)-St(2)=2 (1-)2 21-(1-)2 2- +22 (2-)21-(1-)2t-t(1-)2t(2-2)=g()2因为t，t是Xt的线性组合，所以t，t分别服从正态分布N(0,f()2),N(0,g()2)。3 对参数作出假设检验

7、假设：H0:t=0, H1:t0tN(0,g()2),N=t-0 g()2N(0,1)因为2未知，用无偏估计s2=1 n-1(Xi-)2代替2。Z=(n-1)Sn2 2X(n-1)2t=N Z n-1=t g()2S2 2=t g()S2tn-1取显著水平，确定拒绝域为m=(-,-t1- 2(n-1)(t1- 2(n-1),+)，其中t1- 2(n-1)满足p|t|t1- 2 = 1-，可由t2分布表查表得到。作决策：若|t|t1- 2(n-1)，拒绝零假设H0，说明Xi对方程有显著影响；若|t|t1- 2(n-1)，接受零假设H0，说明Xi对方程无显著影响。4 预测对于不同的样本，会有不同的

8、拟合直线，当直线变化有一定范围，不考虑扰动项i仅对t+T=t+tT的均值进行预测，而E(t+tT)恰好是t+T=t+tT的均值E(t+T)。先计算： Cov(t,t)=E(t-Et)(t-Et)=E(t,t)=E(2St(1)-St(2)( 1-(St(1)-St(2)= 1-E(2(St(1)2+(St(2)2-3St(1)St(2)= 1-2E(St(1)2+E(St(2)2-3ESt(1)St(2)因为EXi2=2, EXiXj=0 (ij,(i=1,2,n)E2=2+2(=0)E(St(1)2=Var(St(1)+(E(St(1)2=Var(St(1)+0=Var(St(1)=1-(1

9、-)2t 2-2E(St(1)St(1)=E(Xi+(1-)Xt-1+(1-)2Xt-2+(1-)t-1X1)(Xi+(1-)Xt-1+L+(1-)i-1X1)=E2(1-)i+t-2X12+2(1-)i+t-4X22+2(1-)t-iXi2+dXiXj (d=d()ij)=2(1-)i+t-22+2(1-)i+t-42+2(1-)t-i2+0+0=(1-)i+t-21-(1-)-2i 1-(1-)-2 22=(1-)i+t-(1-)t-i -2 2 (1it)E(St(2)St(1)=E(St(1)(St(1)+(1-)St-1(1)+(1-)2St-2(1)+(1-)t-1St(1)=E(

10、St(1)2+(1-)St(1)St-1(1)+(1-)2St(1)St-2(1)+(1-)t-1St(1)St(1)=21-(1-)2t 2-+(1-)2(1-)-(1-)2t-1 2-+(1-)22(1-)2-(1-)2t-2 2-+(1-)t-12(1-)t-1-(1-)t+1 2-=22(1-1-)2t 2-+22(1-)2-(1-)2t 2-+22(1-)4-(1-)2t 2-+22(1-)2t-2-(1-)2t 2-=22 2-1-(1-)2t+(1-)2-(1-)2t+(1-)2t-2-(1-)2t=22 2-1-(1-)2t 1-(1-)2-t(1-)2t=22 (2-)21-

11、(1+2t-t)(1-)2t E(St(2)2=Var(St(2)+(E(St(2)2=Var(St(2)+0=32 (2-)21-(1-)2t-t(1-)2t(2-2) Cov(t,t)= 1-21-(1-)2t 2-2+32 (2-)21-(1-)2t-t(1-)2t(2-2)-32 (2-)21-(1+2t-t)(1-)2t=2h()取T=T0固定值Var(t+T)=Var(t+tT0)=Vart+T0Vart+T0Cov(t,t)=f(a)2+T0g(a)2+T0h(a)2=f(a)+T0g(a)+T0h(a)2=m2t+T0N(Et+T0,m2)因t，t服从正态分布，标准化t+T0-Et+T0 m2 N(0,1)。当2未知时，用2的无偏估计S2=1 n-1(Xi-)2代替有：t+T0-Et+T0 m2 tn-1。给一个置信度，查表求出t 2(n-1)t+T0可以计算。t+T0-Et