推理与证明教学案

1、课题：推理与证明推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比直接证明间接证明数学归纳法综合法分析法反证法推理1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推

2、理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。重难点突破一、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性例1：观察； ；.对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 _.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故

3、例2：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” 解析猜想：证明：左边=右边例3：(深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_;=_. 【解题思路】找出的关系式解析 例4：(佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为_ .解析

4、的分解中，最小的数依次为3，7，13，由得二、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征例1：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短（）例2： (韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_ _.【解题思路】从方法的类比入手解析原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径

5、是高例3： 在中,若, 则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,可表述为 【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间 解析由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则”证明：设在平面的射影为，延长交于，记由得，从而，又，即例4. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：。变式训练：

6、在ABC中，若C=90°，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论 答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。三、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理例1：定义x为不超过x的最大整数，则-2.1= 点拨：“大前提”是在找最大整数，所以-2.1=-3例2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面

7、，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。例3：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分例4：命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A使用了归纳推理 B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导

8、到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定

9、原命题的结论成立重难点突破一、 综合法 例1 ： (东莞高三调研测试) 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；【解题思路】证明函数（）满足三个条件解析（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 例2：(佛山)证明:若,则解析当时，两边取对数，得，又 当时例3：在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，例4：已知数列中各项为：个个12、1122、111222、 ,证明这个数列中的每一项

10、都是两个相邻整数的积.解析 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 二、分析法例1： 已知,求证 解析要证，只需证 即，只需证，即证显然成立，因此成立例2： 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证 即，设，则成立，从而成立例3： 已知，求证：解析 ，显然成立，故成立三、 反证法 例1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2：已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根，

11、则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根例3：（江西）某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得 A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立 D.当时，该命题成立解析用反证法，可证当时，该命题不成立例4：（宝安中学、翠园中学期中联合考试）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 解析，所以3和9的对数值正确，若正确，则从而，即，矛盾。故15的对数值错误，应改正为4、 数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：    （1）（

12、归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；    （2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。    只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。  例1. 用数学归纳法证明：时，。解析：当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。假设时等式成立，即有，则当时，所以当时，等式也成立。由，可知，对一切等式都成立。 例2. 。解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。上式表明当时命题也成立。由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。例3： 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2