狭义相对论讲授纲要

1、狭义相对论讲授（纲要）一、物理定律的变换与不变性二、光速测量及以太理论的破产三、爱因斯坦假定与洛仑兹变换四、相对论运动学、四维矢量五、相对论动力学六、狭义相对论与电磁学（略）一、物理定律的变换与不变性 1伽利略的力学相对性原理 牛顿的力学三定律； 伽利略变换； 伽利略变换下力学规律（定律）的形式不变性； 伽利略变换是力学规律不变性的充分条件，而非必要条件（充 分而不必要），充分而不唯一； 牛顿的绝对时空概念。时空线性变换的一般讨论前提： 1相对性原理（不变性与协变性的概念） 2时间及长度测量的相对性或光速不变原理 试举例分析： 机械波的波动方程与波速问题2 2 ；-y 1 ； y .2=2.2

2、:xv tN :弹性模量P :（惯性）质量密度其中旦是相对于介质所在的特定惯性，故 V也是相对于介质这一 dx特定参照系。观察者相对于介质有一运动速度时，他测得的波速用相 加原理。这与力学相对性原理并不抵触。波速（相对于介质）与波源的运动状态无关（这一点与光速相同）2.电磁波的波动方程(J.C. Maxwell) 1861 年建立1：2E：2e；o % ；x2；：t2c2 - 一1 一 =9 1016m2/s22o%丿oc = 3X 10 m/s恰为真空光速。具有波动方程的形式1867年证实电磁波的存在（c来源于麦氏方程的真空形 式）。麦氏方程的建立并没依仗于某一参照录。附：庞加莱对相对性原理

3、的推广。庞加莱（又译彭加勒）（H.Poincar©）合理的推理一一麦氏方程的 真空形式对不同惯性系是形式不变的，即不能通过惯性系内部进行的 电磁学及光学实验来确定该系统的绝对运动或绝对静止一一把相对性 原理推广到电磁、光学领域。H. Poi ncare坚信相对性原理，1899年断定借助光学观测测定绝对 运动之不可能性，1904年在一篇论文中扩展了其思想。 洛仑兹收兹收缩（实际收缩） 质量随速度而增大 光速c作为动力学的极限速度 不放弃Ether假设问题的症结在于对时空本质的认识。人们先念地认为存在一种Ether媒质，即以机械波的模式解释电磁以太特性非常大的弹性模量 非常小的惯性密度

4、透明性“以太”论破灭的几个重要实验1.1881 年、1887 年 与 所进行的实验、=-c（图略）2l v2常2 （l 1=丨2=丨） c248v=3.0X 10 m/s, c=3.0x 10 m/s个与l=11.0m时，：=0.4 （个）（条纹级数）这是的实验。称为二级效应。结果没有观察到预期的条纹的移动。 说明若有以太，以太必为地球完全拖拽V=0恒星的光行差现象如图称为光行差角3.0 104m/s真实位首产卫位置tg：20.53.0 108 m/s得到实测的验证。结果说明以太完全不被地球所拖拽。若恒星不在观察正上方，而是位于与黄道平面（公转平面）夹角为 的上方，则:tg：二VSi"

5、;0：Vsi”0c VCOS% c布喇德雷对天龙座星进行了一年的观测，与计算结果极为接近。斐索拖曳实验一水流申1851年（H丄.Fizeau）斐索做了一个著名的以太拖曳实验5* 水源干涉条纹移动数目:凤 ct 4n2lk v Q =这是与V i有关的一级效应。其中k为拖曳系数：V=E±kvic丿n结果测得：K =0.434 一 0.0201（1818年菲涅耳推出：k =1 - 2）n2本实验证明以太被部分拖曳。这就是以太论的不可调和的矛盾。狭义相对论基础一、相对论和量子力学是近代物理的两大理论支柱。狭义相对论 special relativity （特殊） 相对论I 广义相对论gen

6、eral relativity （一般）二、相对论诞生的背景十九世纪末，二十世纪初，经典力学、热力学及电磁学已系统而 接于完备地建立起来，但在晴朗的物理学的天空，还飘浮着两朵“乌 * ”云。绝对黑体辐射的紫外发散“灾难”一一量子论的诞生两朵乌云迈克耳逊一莫雷实验以太论的破灭T相对论的诞生三、爱因斯坦建立狭义相对论的考虑（思想）1参照一一伽利略的力学相对论，即：力学现象对一切惯性系而 言，都遵守同样的（物理）规律，即力学规律对一切惯性系都是等价 的。但电磁场的麦克斯韦方程组在伽利略变换下却不能保持其形式的 不变性局限性。所谓相对论：就是物理规律在某种变换（时空座标）之下保持形 式的不变性。在伽里

7、略变换之下：x" = x-utx = x"-uty" = y十=I或 tz = zz = zt = tt 二 tS（x yzt ）系沿x轴以速度u相对于S系运动。由此:V； =Vx uax = ax* a a y *a = avz另外：mm （与速度无关）=由 F = m a , F = ma = F = F （力学相对性）这就是力学相对性的数学表达。2. 牛顿的绝对时空概念是伽利略变换的基本前提，但并不是力学 相对性原理的前提。3. 爱因斯坦狭义相对论基本假设（公理）1905运动物体的电动力学（A.E in stein） 物理学相对性原理：物理学定律在所有惯性系

8、中都是相同的， 亦即物理学定律与惯性系的选择无关。所有的惯性系都是等价的。 光速不变原理：在所有惯性系中，由自空间（真空）中的光速 具有相同的量值c,与观察者及光源的运动无关。 第一个假设说明（意味着）所有的物理定律（包括力、电、光、热）等都应遵守同样的相对性原理一一力学相对性原理的推广。这里,相对性在某种变换之下，所有物理规律都具有形式不变性具 体表现为在爱因斯坦一一洛仑兹变换之下许多物理量及物理方程具有协变性。第一假设也否定了绝对时空的存在。 第二假设与迈一莫实验结果一致，但显然与伽利略变换不相容 它隐含着一个前提一一对于电磁波的传播来说，真空是各向同性的。 爱因斯坦在他的两个基本假设的前

9、提下，推导出正确的物理定 律相对性变换表达式洛仑兹在此之前在承认以太的基础上，也曾提出这一套变换式（错 误的前提一正确的结果）。四、洛仑兹变换x ' = Y（x -ut） 八y= z ' = z或e = 7（-Ux）Ic2该变换式的简单推导：Z = z"V -112t =7(t- U X)Ic2X12cpS系中：P(x,0,0,t)JTS系中:P(x：0,0,t)x = y(xf - ut “) y = y'如图：s 系沿S系之X轴正向运动（速度为u）两系原点重合的时刻，t=0,，此时收射一光信号，在t（t ）时刻到达P点（X轴上），根据光速不变原理：x=ct

10、， y=0， z=0 （ S 系中）x =ct ， y =0，z =0 ( S 系中)X = x"(x,t)r=tx,t)；x = x(x : t")jt =t(x；t)因P点选在X （或X J轴上,y = y.=0， z = z> 0，故上述变S系与S 系之间应有变换:换中无y， y，z，z项。该变换座是线性的（因为自S系或S 系观 察同一事件的结果座是一一对应的）。一一（自S系观察到一个结果，那么自S系也只能观察到一个结果。）x = a11x a12t t 二 a?1 x a?2t又t时刻，对x'O的点座有x二ut （同时成立）x = a(x _ ut)t

11、时刻，x=0的点座有- -ut而有,x = a“(x ut)联立（1），（2）a2x 二 a“(x - ut) - a11 ut =(1 一 a121)xa1uttr = a11(ut)x = ct"及（3）式可知:于是:其中：吋二1a1 u ' a1 Cu au -C a121c1t 二(t X / c)X 二（xut）五、结论洛仑兹爱因斯坦一洛仑兹变换x" = ?(x _ut) y' = y'x = Y(x，_ut") y = y"Z = Zjt”= Y(t ux/c2)z = zit = 了 (t"_ux"

12、;/c2)(1)(2)(3)a11u（从S系-S 系变换）（从S 系-S系变换）对低速情况，u；：書c,卩0,> 1 o故有：；'xx-ut, y = y, zn t=t ox = x" + ut； y=y； z = z： t=t"故伽利略变换是洛仑兹变换在低速下的极限形式。洛仑兹变换（他种推导法）一、前提：1物理学相对性原理2.光速不变原理其作用与地位。类似于平面欧几里德几何中七条公设的地位二、变换的特点：1. 线性（正交）变换2. 一一对应（在S系一一S 系变） 并加注明：“线性变换”的限制。“一一对应”的限制。三、洛仑兹变换的推导如图：S 系沿S系之X轴

13、向右均速直线运动速度为 V首先：y" = y , z"z。记时起点：t =t =o时两座档系原点0, 0 重合，考虑o点的运动。x=0（S系中）vf（S 系中）因而：X二'（ vt ）而不可能有：x = （x vt）n （n>1）否则违反变换的线性及对应的要求。（举例：当n=2时，一头 猪变两头猪之不可能性）再考虑o 的运动：丈=0（S系中）K = vt（S 系中）如法炮制：（同0点之理）x = （x - vt）而不可能有X、（x vt）n （ n>1）、的普适性。（对任意事件） 特殊事件：t “丄0时，一光子自0点（0点）沿x轴发射：x =ct（S系中

14、）jx"=ct（S系中）又 二（惯性系s，s之平权性、变换之可逆性）将代入、并联立、可得：C= 丫 （ct vt） =Y（C v）tCt = Y（ct' + vt） = Y （c + v）t"两式相乘：cct "t = 丫2 （c - V2 ）tt J Y = ,1Ji-v2/c2于是：x 二（xvt） ； X 二（x vt ）可得 t = t - W xcx，= Y(x _vt)故 y= y, z" = z站 vt = ”(t_x)L.c其递变换：x = Y(x"-vt)«y = y； z = z"z =丫&

15、;7勺)LC四、其意义：洛仑兹是四维闵科斯基时空的线性正交的变换，有 了这一变换，任意其它四维矢量的 ss变换也都遵从同一变换形式 并解释这一变换被称为洛仑兹变换的原因。§ 20.4相对论中的长度与时间一、狭义相对论最基本的一点就是对经典力学的绝对时空观进 行了一次彻底的清算和深刻的革命。 经典力学中，物体的长度和两事间的时间间隔是具有绝对意义的，不随观察者的运动状态而变（即与观测的参考系的选择无关）。 狭义相对论中，物体的长度依观测者所在的参考系而定，两事 件之间的时间间隔也是依观测者所在的参考系而定，因此“长度”与“时间”只具有相对意义。二、狭义相对论中“动尺缩短”的效应在与动尺

16、（一根长棒、沿X，X 轴放置）相对静止的参考系s 系 中测得棒长Io =X2 -x1，叫做固有长度或本征长度。在相对于长棒运动（沿-X轴方向以-v速度运动）的参考系中（S系），欲测棒长须同时测定两端点的坐标 x2，X,，则S系中：（t时刻）I =X2 -旨叫运动长度或相对论长度由洛仑兹变换：:一11-;22X,二（Xi _vt）X2 二（X2 -Vt）故：X2 _X = （X2 -X,）即：lo = I J（f A1）或 1 .；o j1 c2 "o Go这就是所谓动尺缩短效应。注意：相对于观测者运动的方向（x轴方向）物体的长度“缩短” 了，而垂直于运动方向物体的线度（y向，z向）沿

17、变。 动尺缩短的效应，并不是动尺在运动方向受到某种“压缩”作 用，而是一种相对论效应，动尺的长度本来就只有相对意义，与其运 动状态有关。 动尺缩短效应也不是一种视觉效果，不是一种观测上的错觉和 幻觉。三、狭义相对论中“动钟变缓”效应或时间膨胀的效应设一事件在S系中某点X、处发生，用固定在S系中时钟来量 度，这事件发生于t1时刻，另一事件也在X、处发生于t2时刻，两者 之间的时间间隔 t =t2 -1；二。叫做固有时间或本征时间。而从固定 在S系中的时钟测量时，前一事件在tj寸刻发生于xi处，后一事件在 t2时刻发生于X2处（一般X2 X;）而：PPtl 二宀 一 ），t2 二一）cc则氏=t2

18、 t厂辿2 J） = t .氏：S系中观测的时间间隔；固有时间；t =0:即时间膨胀效应的表达式。即：一时钟由一个与它作相对运动的观测者来说，就比由相对静 止的惯性系中观察时走得慢些。四、孪生子佯谬的简单阐释五、举例 书中例题Pii8，例20-3,例20-4 （ Pi2o）。 球在运动时的形状（方程）。习题册，作业布置。§ 20-5 相对论动力学基础一、问题的提出：若保留质量的绝对不变性 =矛盾：从牛顿力 学：a=dv=F=若口不变，贝归在恒力f作用下：dt m7； ，这与v< c相矛盾。所以经典力学的质量概念必须进行相对论修正。动量守恒等定律也将不满足相对论变换的不变性。S系

19、：y方向:=mayao 叫ybO =°（碰前）=yao 二-ybOmayambyb =02但S系中yaO - yaOf12V c ,Ji-u2/c2”ybO = yb02 yaO - yb0i - xbOu / c 若 S系中ma = mb必导致：I PaO I 'I PbO IPay。Py。"同样碰后：iPayWPylPy，凡厂OPay°Pby° = PayPby因此：必须对经典力学的质量的概念进行相对论的修正m =严牙，m与物体的运动状态有关。 Jm 二 mO / f（v）。必须对牛顿经典动力学方程进行相对论修正：而保留动量的定义。P 二 m

20、v，m = mO / f(v)dp d (m v) d ( mOv)dtdtdtdv dm二 m vdt dtm°i'2知:v c 时，m : =dv s dt0（ F=常数）这与v_ c且vW c是自洽的（这就是）相对论的（在洛仑兹变换 下）的理论的自洽性。满足两个前提：光速极限，洛仑兹变换下不变性。相对论的极限近似T回到经典力学。即：极限兼容性。相对论中的同时性与因果律一、经典力学中同时性的概念 经典力学中，若在惯性系K中观测的两件事件，是同时发生的， 那么在惯性系K 中的观测也是同时发生的一一从伽利略变换可直接 导出。 经典力学认为时间是绝对的，惯性系的改变不影响时间的

21、量度。 经典力学中，同时性具有绝对意义。二、狭义相对论中的同时性的概念 若在K系中观察两事件是同时发生的，那么K 系的观测就不一 定是同时发生的。 同时性是相对的，即相对于某一 K系是同时的，不存在具有绝 对意义的同时性。三、同时性的相对性的证明1事件的时空表述一事件Pi发生于K系中ti时刻(xi, yi, z )处，记为(xi, yi, zi, ti)， 另一事件P2在同一 K系中发生于t2时刻(X2, y2, Z2)处，记为(X2, y2, Z2, t2)。而在 K 系中 Pi，P2 分别发生于(xi, yi, zi, ti)，( x2, y2, z2, t2 ) (K 相对K系沿x轴以速

22、度v运动)。根据洛仑兹变换X = （X _ vt） t =（初则:t2 - h 二(t2 - h) -(x2 - Xi)c若两事件在K系观测是同时发生的，即：'t2 -X =0n （x1, x2两处同时发生事件p及P2）t2 -1； = - * （x2 - X1）L.c这就是说：在K系中观测到的同时发生于不同地点的两个事件， 在K 系中观测却不是同时发生的。同样，在K 系中观测到两事件发生 于不同地点，那么，按洛仑兹变换，从 K系中观测它们并不同时。从（1）式可以看出： 同时性的相对性的问题在于信号传递需要时间，假如信号的速 度无穷大，则同时性将具有绝对意义。 现实的日常生活中速度远小

23、于光速，不同事件之间的空间距离 至多是太阳系的尺度，因而同时性近似具有绝对性（光速可看成T田）。因此，我们未曾感觉到同时的相对性。四、因果律及最大的信号速度因果律的哲学含义此处不讲，我们处理的是两个事件在不同惯性 系中的先后顺序问题。设 K系中事件Pi发生于tl时刻X1处，事件P2 发生于时刻t2及X2处，且P2迟于Pl发生，即t2 > tl按洛仑兹变换t2 - 匕='伦 - t;） - 舟（X2 - Xi）C 若t2> tl，且:Vt2 _t12 （x2 - x1）（2）c贝U： K 系中观测也有：t2 -tj，仍然是事件P1发生于前，事件P2 发生于后（先后顺序不变）。

24、 反之，右 t? - ti 2 仪2 - X ） = t? - ti。c则事件P2在前、事件Pi在后（先后顺序颠倒）。 但并不是所有两事件的先后顺序都是相对的（可颠倒的）。如果两个事件之间存在因果关系或间接的因果关系，则它们的称后次序是 绝对的不容颠倒的。（在任何惯性系中观测都是顺序不变的）。两个事件Pi（ Xi, ti）, P2（X2, t2），若有因果联系，则存在从P ； P2 的信号传播，该信号速度Xi代入（2）式：t2 -tiUV：C2 （保持Pi，P2先后次序不变的条件）。其中v是K 系相对 于K系的运动速度。因而v也可看是一种信号速度。v ： c。V C故：J c保证了具有因果关系

25、的两事件的先后次序具有绝对意u <c义（永不颠倒）。因为：无数经验告诉我们：光速是物质运动（或信号传播）的最 大速度，也是一切相互作用传播的极限速度。在以上前提下，相对论的时空观完全符合因果律的要求（即狭义 相对论在因果律问题中是自洽的）。五、间接的因果关系问题举例中国武汉（Xi, ti）T美国纽约（X2, t2）飞机起飞片一飞机降落P2武汉ti时刻A男孩出生Pi纽约t2时刻B孩出身P2飞机的起飞到达着陆是不可颠倒的因果关系。因而 A男孩与B 孩具有严格的长幼关系（兄弟关系）。=Pi与P2之间具有间接的因果 关系。例：i.在同一惯性系中不同地点同时发生两个事件，它们不存在因果关系，试证明

26、（反证）： CX2 -X。2 （y2 - M）2 （z2 -可）2信号传播速u（ ：t 二 0）At故u>C,这与光速是最大的信号传播速度矛盾。例：在同一惯性系中同一地点不同时刻的两个事件的先后次序是 绝对的（在任何其它系中都是这一次序）。用 t2 - ti 二t2 - ti -冷（X2 - X1）证明。Cv mov2 v2 c假® F /v，贝q：=mo1 d11,32=mo c(_1) = m c2 _ m0 c相对论中的能量前提：动量定律与功能原理根据功能原理的相对论不变性:外力作功=动能增量dEk 二 F ds 二 F v dt=v (F dt)=v (mv)(动量定律

27、)P2-Ek 二 p vd(mv)二 ovdJi其中:i：2Ek =E -E°E = me2总能量：一切形式的能量均包括在内cEo二moc2 静能：一切形式内能总和。Ek二E-E。一一动能：由于运动而具有的动能。Ek二mc2-moc2与经典力学中动能的概念的异同:EkmOc22 2-moc二 moc f( j于是:f( )十2_作其关于' 的泰勒展开:f( )1 v23 v42C2 8JEk-m0°21 v22c24 V 4 c1 2m°v23 m°v48 Km°v2m°v2Hv22c丿这就是相对论中动能概念与经典力学中动能概

28、念的联系与区别 爱因斯坦质能关系式发现的意义。 在质量与能量的关系上实现了相对论基础上的统一。质量与能量存在当量关系。 它是现代热核反应的理论基础，现代核工业与核子技术的理论 基础之一。质能关系E = me2对人类无现实意义但 E = me2意义重大（有现实意义），需要重新理解 :物质不灭原理能量守恒与转化原理在质、能概念统一的前提下理解。能量动量关系:三角关系：E2 = E0 P2e22E = me_moc2_仁2/e2m°v=h （以光子为例讨论）J -v2/e2'2Eo = moe爱因斯坦光量子理论E = hv与德布罗意物质波理论二-在光子P的相对论能量 动量三角关系中

29、胜利会师。间隔不变性与因果关系一、三维空间笛卡尔坐标系中两点间隔d 二.(X2 -Xi)2 (y2 -yi)2 (Z2 -Zi)2点片(为，,可)，p2(x2,y2,z2)，在三维欧氏几何中，d对于坐标 系0 xyz的平移与转动变换是不变的。二、四维Minkowski时空中两事件Pi，P2的间隔Si2。S召=(x2 - xi)2 (y2 - y1)2 (z2 - Z1)2 - C2(t2 - ti)2事件p (xi, yi, zi, icti)世界点 PiP2(x2, y2, z2, ict2)世界点 P2Sj2可正可负亦可为零，但在洛仑兹变换下保持不变：即：(X2 - Xi)2 W2 -)2

30、(Z2 - Zi)2 -C2(t2 -ti)2=(X2 -X；)2 (y2 - yi)2 (Z2 - Zi)2 -C2(t2 - ti)2三、讨论i. Si =S；2 <0类时间隔这是因为：总存在一个参考系S，使：X2 二 Xi, y2 二 yi, Z2 二 Zi 而有：Si22 = S；2 = -c2 (t2 -ti)2(< 0)也就是说：这两个事件在S系中是被纯粹的时间间隔着，故谓之 类时间隔(time-like)。具有类时间隔的两事件可具有因果关系或具有 间接因果关系。(加以说明)，间接因果关系举例：飞机起落同时，两异地小孩同时出生，其先后 顺序具有不可颠倒性。直接因果关系举例：举枪伤人致死，人死不可复生，破镜不可重圆， 覆水难收。2. sj2 =Sf2 >0类空间隔此时，总存在一个参考系S，使：t2 二 ti，而有：S§ =S$ =(x2 -X；)2 +(y2 -y1)2 +(z2 - zf)2©0)事件Pi，P2在s '系中被纯粹的空间所间隔着，故谓之类空.间隔。具有类空间隔的两事件不可能具有直接或间隔的因果关系。(加以说明)它们的先后顺序是可以颠倒的。3. = S；2 = 0类光间隔在任意惯性系中两事件 Pi，P2的间隔s% = S；2 = o。说明两事之 间是通过光或电磁波信号相互连接的。(X2 -Xi