勾股定理难题+提高

1、精品文档评卷人得分一、选择题1下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A4，5，6B 3，4，5 C2，3，4 D1， 2， 32给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为3 和 4，则第三边长为 5；三角形的三边a、 b、 c 满足 a 2c 2b2，则 C=90°； ABC中，若 A： B：C=1：5： 6，则 ABC是直角三角形；ABC中，若 a ： b： c=1：2： 3 ，则这个三角形是直角三角形其中，假命题的个数为（）A1个B2个C 3 个D 4个3如图，如果把 ABC的顶点 A先向下平移3 格，再向左平移1 格到达 A 点，连接 AB，则线段 AB 与线段 AC

2、的关系是（）A垂直B相等C平分D平分且垂直4下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是1 23，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果 A= B= 1 C，那么 ABC是直角三角形；2若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC中，若 A B= C，则此三角形是直角三角形。A3个B4个C5个D6个5如图， ABC中， AB=AC=5,BC=6，M为 BC的中点， MN AC于 N 点，则 MN=（）A 6B 9C12D1

3、655556下列各组数中，是勾股数的是()A 14， 36， 39B 8， 24， 25C 8， 15， 17D 10， 20， 26。1 欢迎下载7（ 2013 贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高4 米，两树相距8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A8 米B10 米C12 米D14 米8如图， 四边形 ABCD中， AB=AD，AD BC，ABC=60° ， BCD=30° ，BC=6，那么 ACD的面积是（）A3B3C 23D 9324试卷第 2页，总 6页精品文档第 II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得

4、分二、新添加的题型评卷人得分三、解答题9在 Rt ABC中， CAB=90° ， AB=AC（ 1）如图， 过点 A 在 ABC外作直线 MN，BM MN于 M，CN MN于 N判断线段 MN、BM、 CN之间有何数量关系，并证明；若 AM=a ， BM=， AB=c ，试利用图验证勾股定理a222；bb= c（ 2）如图，过点A 在 ABC内作直线 MN， BM MN于 M， CN MN于 N，判断线段 MN、BM、 CN之间有何数量关系？（直接写出答案）10（ 6 分）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将 Rt ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A

5、 与 B 重合，折痕为 DE（1）如果 AC 6cm， BC8cm，可求得 ACD的周长为；（2）如果 CAD:BAD=4:7，可求得 B 的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt ABC纸片，将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，若 AC 9cm， BC 12cm，请求出 CD的长11如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC5cm， BC 12cm，现将直角边AC 沿直线 AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与 AE重合，求 CD的长。3 欢迎下载AECDB12如图，学校B 前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB， BC两条路可到达公路，经测量 BC6km，

6、BA 8km， AC 10km，现需修建一条路使学校到公路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长13如图， ABC中， ACB 90°， AC 9， BC 12，求 Rt ABC中斜边 AB上的高 CD14阅读理解题：如图，在 ABC中， AD是 BC边上的中线，且AD=1 BC2求证： BAC=90°试卷第 4页，总 6页精品文档15如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形( 两直角边长分别是a、 b，斜边长为c) 和一个正方形 ( 边长为 c) 请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形(1) 画出拼成的这个图形的示意图；(2) 用 (1) 中画出的图形验证勾

7、股定理16课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图（ 1）求证： ADC CEB；（ 2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等） 17（ 10 分）如图，在 ABC中， AB 13， BC 10， BC 边上的中线AD12ABDC（ 1） AD平分 BAC吗？请说明理由（ 2）求： ABC的面积评卷人得分四、填空题18直角三角形两边长分别为3 厘米、 4 厘米，则第三边的长为。19一个直角三角形的两边长分别为9 和 40，则第三边长的平方是20若一个直角三角形的两边的长分别为m 、 n ，且满足 m 3 n 40 ，则第三

8、边的长为 _21已知 x6y 8( z10) 20 , 则由此 x, y, z 为三边的三角形是三角形22 ABC的三边长分别为22m1， 2m，m 1，则最大角为 _23在长方形纸片ABCD中，AD 3cm，AB 9cm，按如图方式折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE。5 欢迎下载24如图，在 Rt ABC中， ABC是直角， AB=3，BC=4，P 是 BC边上的动点，设BP=x，若能在 AC边上找到一点Q，使 BQP=90° ，则 x 的取值范围是25如图， OP 1，过 P 作 PP OP且 PP 1，得211OP；再过 P作 PPOP且 PP111211

9、2 1，得OP2322 322 33；又过 P作 P P OP且 P P 1，得 OP 2依此法继续作下去，得OP2012_评卷人得分五、计算题试卷第 6页，总 6页精品文档参考答案1 B【解析】试题分析： A 42+52 62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B 32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；222C 2 +3 4 ，不能构成直角三角形，故不符合题意；222D 1 +2 3 ，不能构成直角三角形，故不符合题意故选 B考点：勾股数2 B【解析】试题分析：命题中若4 是直角边，则第三边长为5，若 4 为斜边，则第三边长为7 ，故错误；命题中应该是B=90°，故错误；

10、命题、均正确；故假命题有2 个；故选 B.考点：真命题与假命题.3 D【解析】试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A B 与线段AC的关系：如图，将点 A 先向下平移 3 格，再向左平移 1 格到达 A点，连接 A B，与线段 AC交于点O A O=OB= 2 ， AO=OC=2 2 ，线段 AB 与线段 AC互相平分，又 AOA =45° +45° =90° ， A B AC，线段 AB 与线段 AC互相垂直平分故选 D考点： 1. 网格问题； 2. 平移的性质；3. 勾股定理 .4 D.【解析】试题分析：三角形三个内角的比是1：

11、 2： 3，设三角形的三个内角分别为x， 2x，3x ， x+2x+3x=180 ° ，解得 x=30° ， 3x=3 × 30° =90°，。1 欢迎下载本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角， 则此三角形是直角三角形， 故本小题正确；直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是直角三角形， 故本小题正确； A=B= 1 C，2

12、设 A=B=x，则 C=2x， x+x+2x=180 ° ，解得 x=45° ， 2x=2 × 45° =90°，此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，三角形一个内角也等于另外两个内角的和，这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和， 又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的

13、，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确故选 D考点： 1. 三角形内角和定理；2. 三角形的外角性质5 C【解析】试题分析：连接AM， AB=AC，点 M为 BC中点， AM CM，BM=CM， AB=AC=5， BC=6， BM=CM=3，在 Rt ABM中， AB=5， BM=3，根据勾股定理得：AM=AB2 BM 252 33 4，又 S AMC= 1 MN?AC=1 AM?MC，22?12 MN=AM CMAC5故选 C考点： 1. 勾股定理； 2. 等腰三角形的性质答案第 2 页，总 11 页精品文档6 C【解析】满足

14、a2 b2 c2 的三个正整数a， b，c 是勾股数，因为82 152 289， 172 289，222所以 8 15 17 ，即 8、15、 17 为勾股数同理可判断其余三组数均不是勾股数【解析】如图，设大树高为AB 10 米，小树高为CD 4 米，过 C 点作 CE AB于 E，则四边形 EBDC是矩形连接 AC，则 EB CD4 米， EC 8 米， AE AB EB 10 4 6（米）在 Rt AEC中， ACAE2 EC2 10米8 A【解析】试题分析：如图，过点A 作 AE BC于 E，过点 D 作 DF BC于 F设 AB=AD=x又 AD BC，四边形AEFD是矩形形， AD=

15、EF=x在 Rt ABE中， ABC=60° ，则 BAE=30° ， BE=1 AB=1 x，22 DF=AE=AB 2BE 2 =3 x，2在 Rt CDF中， FCD=30° ，则 CF=DF?cot30 °= 3 x2又 BC=6， BE+EF+CF=6，即 1 x+x+ 3 x=6，22解得 x=2 ACD的面积是： 1 AD?DF=1 x×3 x=3×22= 32224故选 A考点： 1. 勾股定理 2. 含 30 度角的直角三角形9（ 1）证明见解析； （ 2）MN=BM-CN.。3 欢迎下载本卷由系统自动生成，请仔细校

16、对后使用，答案仅供参考。【解析】试题分析：（ 1）利用已知得出 MAB= ACN，进而得出 MAB NCA，进而得出 BM=AN，AM=CN，即可得出线段 MN、 BM、 CN之间的数量关系；利用 S1121112=S +S +S = ab+c +ab， S=（BM+CN）× MN=（a+b） ，梯形 MBCN MAB ABC NCA22梯形 MBCN222进而得出答案；（ 2）利用已知得出 MAB= ACN，进而得出 MAB NCA，进而得出 BM=AN，AM=CN，即可得出线段 MN、 BM、CN之间的数量关系试题解析：（ 1） MN=BM+CN；理由： MAB+ NAC=90&

17、#176;， ACN+NAC=90°， MAB=ACN，在 MAB和 NCA中BMAANCMABNCA ，ABAC MAB NCA（ AAS）， BM=AN，AM=CN， MN=AM+AN=BM+CN；由知 MAB NCA， CN=AM=a， AN=BM=b， AC=BC=c， MN=a+b， S 梯形 MBCN=S MAB+SABC+S NCA= 1 ab+ 1 c2+ 1 ab， S 梯形 MBCN= 1 （ BM+CN）× MN=1 （ a+b） 2，22222 1 ab+ 1 c2+ 1 ab= 1 （ a+b） 2，2222 a2+b2=c2；（ 2） MN=BM

18、-CN；理由： MAB+ NAC=90°， ACN+NAC=90°， MAB=ACN，在 MAB和 NCA中BMAANCMABNCA ，ABAC MAB NCA（ AAS）， BM=AN，AM=CN， MN=AN-AM=BM-CN考点：全等三角形的判定与性质10操作一（ 1） 14cm（ 2） 35 °操作二CD=4 5【解析】试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD， BAD= B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设 CD=x，表示出BD， AE，在 Rt答案第 4 页，总 11 页精品

19、文档 BDE中，利用勾股定理可得答案试题解析：操作一（1） 14cm（ 2） 35 °操作二由折叠知： AE=AC=9， DE AB，设 CD=DE=X，则 BD=12-X， AB2AC2BC2 =81+144=225， AB=15 BE=15-9=6，222，又 BDDEBE(12x) 2=x2 +36，9X=，2即 CD=45cm考点：轴对称，线段的垂直平分线1011 CD的长为3 cm【解析】试题分析：利用翻折变换的性质得出 DE=CD， AC=AE=5cm， DEB=90° ，进而利用勾股定理得出 x 的值试题解析：有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm， BC=

20、12cm， AB=13cm，将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， DE=CD，AC=AE=5cm， DEB=90° ，设 CD=xcm，则 BD=（12 x） cm，222故 DE+BE=BD，即 x2+（ 13 5） 2=（ 12 x） 2，解得： x= 10 ，3则 CD的长为 10 cm3考点：勾股定理12 4.8km【解析】解：过B作 AC的垂线，垂足为D，线段 BD就是要修的路222222 100，在 ABC中， ABBC 8 6 100，而 AC10222ABC 90°由11 AB BC AC，即 ABC是直角三角形，且AB BCAC

21、 BD，22得 BDAB BC6 84.8 （ km），AC10即所修路长为4.8km。5 欢迎下载本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。13365【解析】解：在 Rt ABC中， ABAC2BC 292 12215 由三角形的面积公式得1AC BC1AB CD，22AC BC91236 CD15，AB5即斜边 AB上的高 CD是36 514（ 1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形 .（2） 1 3。2【解析】试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可试题解析：（ 1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这

22、个三角形是直角三角形。（ 2）因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，则 a+b=1+3根据勾股定理，得222a +b =2因为（ a+b） 2= a 2+b2+2ab即（ 1+3 ）2=4+2ab所以 ab31 ab1322所以这个三角形的面积为132考点：直角三角形斜边上的中线15 (1)( 答案不唯一 ) 如图答案第 6 页，总 11 页精品文档(2) 验证：大正方形的面积可表示为(a b) 2，又大正方形的面积也可表示为 c241 ab ，2 (a b)2c241 ab ，2即 a2 b2 2ab c2

23、 2ab a2 b2 c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方【解析】 (1)( 答案不唯一 ) 如图(2) 验证：大正方形的面积可表示为(a b) 2，又大正方形的面积也可表示为 c241 ab ，2 (a b)2c241 ab ，2即 a2 b2 2ab c2 2ab a2 b2 c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方16（ 1）证明见解析；（ 2）砌墙砖块的厚度 a 为 5cm【解析】试题分析： （ 1）根据题意可知 AC=BC， ACB=90° ， AD DE， BE DE，进而得到 ADC=CEB=90° ，再根据等角的余角相等可得BCE=DAC，从

24、而得到结论；（ 2）根据题意得： AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得 （ 4a）2+（ 3a）22=25 ，再解即可试题解析：（ 1）根据题意得：AC=BC， ACB=90° ， AD DE， BE DE， ADC=CEB=90°， ACD+BCE=90°， ACD+ DAC=90° ， BCE=DAC，在 ADC和 CEB中，ADCCEBDACBCE ，ACBC。7 欢迎下载本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 ADC CEB（ AAS）；（ 2）由题意得： AD=4a， BE=3a，由（ 1）得： A

25、DC CEB， DC=BE=3a，222在 Rt ACD中： AD+CD=AC，（ 4a） 2+（ 3a） 2=252， a 0，解得 a=5，答：砌墙砖块的厚度a 为 5cm考点 1. ：全等三角形的应用2. 勾股定理的应用17（ 1）平分，理由详见解析；（ 2） 60【解析】试题分析：（ 1） AD平分 BAC，理由为： BC边上的中线AD BD=5在 ABC中， AB=13， AD=12， BD=5，222222 25 =24 +7，即： AB=AD+BD ADB=90°，即 AD BC， AD垂直平分 BC AB=AC AD平分 BAC由（ 1）得 AB=AC， AD垂直平分

26、BCBCAD S ABC=2=60考点 :1. 等腰三角形的性质；2. 三角形面积的计算方法18 5cm 或7 cm【解析】试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析试题解析：（ 1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；（ 2）当 4 为斜边时，由勾股定理得，第三边为7 cm；故直角三角形的第三边应该为5cm 或7 cm考点：勾股定理19 1681 或 1519【解析】设第三边为x（ 1）若 40 是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2，所以 x2=1681（ 2）若 40 是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402，所以 x2=1519所以第三边的长为1681 或 1519205或 7答案第 8 页，总 11 页精品文档【解析】试题分析：m 3 n 4 0， m 3=0， n 4=0， m=3， n=4，即这个直角三角形的两边长分别为3和4当 4 是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为 x，则由勾股定理得到：