数学分析典型题

1、6个等价定理 1º 确界定理 2º 单调有界定性 3º 闭区间套定理 4º 列紧性定理（Weierstrass聚点原理） 5º 完备性定理（Cauchy收敛原理） 6º 紧性定理（Borel有限覆盖定理） 在一般的教科书上论证它们的线路是：1º（作为公理）2º3º4º5º及3º6º. 实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个. 这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重要的. 下面就作其中一些训练，其余留给大家自己作. 15

2、º6º. 即用完备性直接证明紧性. 26º1º. 即用紧性直接证明确界定理. 36º2º. 即用紧性直接证明单调有界定理. 46º3º. 即用紧性直接证明闭区间套定理. 56º4º. 即用紧性直接证明列紧性. 66º5º. 即用紧性直接证明完备性. 73º1º. 即用闭区间套定理直接证明确界定理. 83º2º. 即用闭区间套定理直接证明单调有界定理. 93º5º. 即用闭区间套定理直接证明完备性. 101º

3、3º. 即用确界定理直接证明闭区间套定理. 111º4º. 即用确界定理直接证明列紧性. 121º5º. 即用确界定理直接证明完备性. 131º6º. 即用确界定理直接证明紧性.144º1º. 即用列紧性直接证明确界定理.154º2º. 即用列紧性直接证明单调有界定理.164º3º. 即用列紧性直接证明闭区间套定理.174º6º. 即用列紧性直接证明紧性定理.185º1º. 即用完备性直接证明确界定理.195º2&#

4、186;. 即用完备性直接证明单调有界定理.205º3º. 即用完备性直接证明闭区间套定理.215º4º. 即用完备性直接证明列紧性定理.222º1º. 即用单调有界定理直接证明确界定理.232º4º. 即用单调有界定理直接证明列紧性定理.242º5º. 即用单调有界定理直接证明完备性定理.252º6º. 即用单调有界定理直接证明紧性定理.极 限 1） 数列极限存在、不存在的“”定义. 2） 两边夹定理、单调有界性、Stolz定理等以及各种技巧. 3） 函数极限的“”定义、性

5、质等. 1用定义证明：若存在，则. 2用定义证明：若，则. 3设，且，则. 4设且，则. 5若且，则. 6求及 （为自然数）. 7证明：不存在（不存在）. 8若满足（为常数且）. 则存在，（若，则）. 9设，求. 10设，求. 11设，求证. 12设，证明. 13设. 求. 14设，求. 15设，证明存在，且计算. 16设，求. 一般地，设，求. 17设，求.18设，求. 19设，则当时，有. 20已知，数列满足，则收敛. 21设且，则. 22设数列满足条件：，有， 则（其中为有限或）. 23设满足：，有，则 （1）存在； （2）若，则. 24求. 25设为的整数部分，而为的小数部分，求.连续

6、与一致连续函数 1设在内连续，且，则Const. 2设在上连续，且，若 则（1）存在； （2）设，则； （3）若将条件改为，则. 3设，记，则. 4设在上Riemann可积, 记, ，求证在上连续。 5设，且，令. 则 连续在上单调上升. 6设，并且，使，则，使. 7设，求证：存在常数使得，且存在，使得. 8叙述在某区间中不一致连续的定义 ，. 证明在和内一致连续，但在内不一致连续. 9设在上满足李普希兹条件：， 则在上一致连续.10设，求证：在内一致连续极限和均存在. 11证明：非常数的连续周期函数必有最小正周期.12设，且，则存在. 13设是在上的非负连续函数，且满足，有， 则. 14设在

7、开区间内是凸函数，即，有，则. 如开区间变为闭区间呢？15设且可逆，则在上严格单调. 16设为连续函数，且，则. 17设，且，则. 18设在上一致连续，且收敛，则存在. 19设，又设，方程在上无解或只有有限个解，则（1）若在上有界，则存在； （2）若在上无上界，则. 20设，且的最小值，则至少在两个点处取到它的最小值. 21设是定义在上的实函数，并且具有中间值性质，也即是：如果，那么，在之间有一个，使. 再假定，当是有理数时，满足的一切组成闭集，证明是连续函数. 22证明在区间上一致连续的充要条件是对于任给的正数及，总存在正数，使得当 时恒有. 23是否存在这样的函数，它在闭区间上每一点取值有

8、限，但在这个闭区间上任何点的任意邻域内无界？ 24设在上一致连续，且，有，则 . 25证明：，使. 26设在上有界，命则在点连续. 27设在上一致连续，在上连续，且，证明在上一致连续.一元微分学及应用 1°导数与微分定义 2°Férmat定理、中值定理、Taylor公式、洛必达法则3°函数的升降、极值、凹凸性及拐点. 1设，则. 2设存在，令，求. 并求下列极限：（1）； （2）. 3设在上可微，且无公共零点，则集合是有限集. 4设在内可导，且单调，则. 5设在内可导，则，使且. 6设在内可导，且，则在内不一致连续. 7设在中连续，导数存在，且存在，则在

9、中一致连续. 8设在上连续，在内可导，且，为自然数，则，使. 提示：令. 9设在上连续，在内存在，若且有，使，则，使. 10设在上二阶可导，且，则，使. 另外，将条件改为，结论亦真.11设在上二阶可导，且，则，使得. 12设在上二阶可导，则，使. 13已知在上可导，且，则，使. 14证明Darboux定理：若在上可导，则必能取得介于与之间的一切值. 15设在上二次连续可微，且，求证： （1）； （2）. 16设在上二阶可导，且，则. 17设在内二阶可导，且，则. 18设在上三阶可导，且，有，. 则与在内有界. 19设在上连续，在内可导，且非线性函数，则，使. 20设，则. 21设在上有界且二阶

10、可导，则，使. 22设在内二阶可导，且，则. 23设在上可导，且为常数)，则. 24设，在内可导，且，则使. 25设在上无穷阶可导，且 （i）存在，使 ； （ii），则. 26设有二阶连续的导数，满足关系式：且，论证是否为的极值点或拐点. 27设在内可导且存在，求证：存在且可以对在点补充定义使存在. 28设在内可导. 证明：单调上升单调下降. 29设在上连续，在内二阶可导，且，则，使. 30设，则 （1）对任一自然数，方程在内只有一个根； （2）设是的根，则. 31设在上连续，在内二阶可导，且.若在上的最大值为，求证：， （1）存在惟一的，使； （2）极限存在，并且. 32设函数在实数集上可导

11、,满足: 存在常数使, , 求证：. 33设, 在内可导，且, 求证当存在时, 存在. 34设. （1）当为偶数时，求证在实轴上有正的最小值； （2）当为奇数时，有且仅有一个实根. 35设是的实根，则且. 36设，求证： （1）是首项系数为1的次多项式； （2）有个不同实根. 37求证：切比雪夫拉盖尔多项式有个不同正实根. 38设在的某邻域内有阶连续导数，且与. 由微分中值定理：，求证：. 39设、在内可微，且，则在、之间至少有的一个零点. 40若，则方程有唯一实根. 41设在内有各阶导数，在点，它们全异于0. 若对和，写出Taylor公式：，求. 42设在上可导，则单升单升. 43求最小的和

12、最大的，使，有. 44设在上有界，在上可微，是非零常数，且，则. 45设在上连续且二阶可导，. 则必存在，使. 46设在上连续，在内可导，且，则，使. 47设在上连续，在内可导，且，则，有. 48设在上一阶可导，在内二阶可导，且， 则（1），使；（2），使. 49设在上连续，在内可导，则若在内不恒为零，则，使. 50设在上连续，在内可微分，且，其中是正常数. 证明存在. 51设有多项式，其中，并且它们满足关系式， 试证：. 52证明：所有具有正系数且是偶函数的非零多项式，处处都是凸的，并且只有一个极值点. 53设是二次连续可导的偶函数，且，则是它的极值点. 54设在内连续可微，并且，唯一的，使

13、，则或严格凸，或严格凹. 55函数在上可能有的零点最多是几个？其中是不同的实数，为实数且不同时为零. 56设在上可导，且，有，则 （1）在上任意阶可导； （2）是不超过二次的多项式. 57设且，则，只要，便有. 58设，则，使，有. 59给定方程，求证： （1）在内方程有唯一解； （2）； （3）. 60证明：函数在内的最大值为. 61设在内单升，且，则 （1）当时有； （2）. 62设在上次可导，且（、为常数），则有 （1）均在上有界； （2）.一元函数积分学 1ºDarboux上、下和、上、下积分及定积分定义. 2º定积分存在的充要条件、必要条件、充分条件、性质 3&#

14、186;积分第一、第二中值定理，Newton-Leibnitz公式 1设在上连续且单调增加，按提示的思路用五种不同方法证明:.思路一: 利用定积分的定义; 思路二: 利用函数与其导函数的关系;思路三: 利用积分第一中值定理;思路四: 利用积分第二中值定理;思路五: 利用积分的保序性;思路六: 利用微分中值定理;思路七: 利用其它方法。 2设，则. 3若，则. 4若，且，则.5设，则在的任意连续点有. 6设，且，则. 7设，且内可导，又，则，使. 8任给，求证：. 9设，且，又，则. 10设，则. 11设，则. 12设，且，是上连续的凸函数，则 （1）； （2）； （3）. 13举出一反例，使在

15、上可积，在点间断，但. 14设为次代数多项式，则. 15若是连续的且以为周期的周期函数，则的任一原函数是以为周期的周期函数与线性函数之和. 16设，则. 17设在上连续且单调增加，则. 18设，且，命，则，有. 19设，则. 20设，且，则. 21设在上连续，且单降，则. 22设，在上连续，则. 23设在上可导，且满足，则. 提示：令. 24设在上连续，则 （1）存在唯一的，使; （2），存在唯一的，使，且. 25设在上连续，在内二阶可导，且， 则（1）在内恰有两个零点； （2），使. 26设，且在内有个相异零点，又，则. 27设是连续的以为周期的周期函数，则. 28设，且，则. 29设且，则

16、 （1）； （2）. 30设，且，则 （1）； （2）. 31设，则，使（提示：考虑）. 32设在上可微，且，则. 33设在上连续，并且，则. 34设，则. 35设，且，使，则在内至少有个零点. 36设在上有界且可微（或连续可导），并满足，则. 37设、，并且，记，则. 38设，则当时，. 39设在上单降，且收敛，则. 40若在上单降，又在上存在，则收敛收敛. 41若且单降，则与敛散性相同. 42设收敛，在上单降，则 （1）； （2）.43设在上一致连续，且收敛，则. 若仅仅收敛，而在上连续，且，则是否仍旧成立？44设，且，则存在. 45设是上的凸函数，则在上也凸. 46设，则. 47设在上连

17、续，且存在，则.48求证：. 49证明：.50设在上连续，且，则至少存在两点，使. 51Bellman不等式：设与在上连续，若，其中均为非负常数，则. 52设在上有阶连续导数，且，则. 53设在上可积，且在此区间上有正的下界，则. 54已知在上可积，并且，则存在，使. 55证明：. 56设，且，则. 57证明：与值无关. 58设收敛并且等于，则也收敛并等于. 59设在上连续，且，有（、均是正常数，则 60设，则. 61*设在上连续可导，且满足： （i）为常数； （ii） 则 62设在上单降，则，有. 63计算：. 64Gronwall不等式：设、和是上的非负连续函数，若，则 . 65设在上连续

18、，且，则在内至少存在两个不同的点、，使. 66设在上二阶连续可导，且满足 （1）； （2），则. 67*设，在上有界，且，则. 68设在上单升，使广义积分收敛，则. 69设，且，则. 70设在上可导，单升且，则. 71设在上连续，非负和严升，由积分中值定理，使，求. 72给定，是非线性函数且及，则. 73设在上可积，又设，则在上除的可能不连续点外有定义且连续，并求出的简单表达式. 74设， （1）求证：； （2）求证：. 75设且，证明： （1）若，则； （2）若，则. 76设，则可表成两个单升函数之差. 77设，命， 问为何值时，最小？ 78设在上单升且恒正，是微分方程 的解，证明：在上有界

19、. 79若，有，则. 80求值：. 81设在中有连续的导数，且，求证：在上满足条件. 82设连续，记，求证：当时，有，并确定值. 83设，求证：. 84设，求证：. 85研究广义积分的敛散性. 86研究广义积分的敛散性. 87在闭区间上是否存在满足下列条件的函数？在上连续可导，并且，.88设在上的连续函数满足条件：对上的任一偶连续函数，积分，试证：是上的奇函数.6个等价定理的应用 1设在上连续，求证：，使且. 2设在上连续，其最大值和最小值分别为和，则必存在区间，使得 （1）或； （2），当. 3设在上连续，但不为常数，则，使在点不取极值. 4设在内不为常数，则及，使，在内总有两点，使. 5设

20、，且有界；，在上至多只有有限个根，则存在. 6设，则（1），使且； （2），使得在点连续； （3）在上有稠密的连续点. 7设有按大小排列的个点：，用代替和，然后再按大小排列，得，再用代替和，然后再按大小排列，得，依此下去，得个点列，则. 8证明：序列有界的任何子列，都有收敛的子列. 9设在上无界，则，使，在中无界. 10设是内的凸函数，且有上界，则和均存在. 11证明Osgood引理：设（或），若（或），则（或），使得. 12用紧性证明Dini定理：设收敛于，且，数列单调，则在上一致收敛于. 13设在内可导，且与均存在，则 （1）与均存在； （2）可对在点补充定义，使与存在. 14设、在内可导

21、，且，则若存在，必导致存在. 15设在内可导，单调下降，且存在，则. 16设在上连续，并有唯一的最大值点；又设，使，则.17设在上可导，又设（1）； （2）若，则有，则的根只有有限多个. 18设在内连续，且无极大值点，则只存在两种情况： （1）在内单调； （2），使得在内单降，在内单升，且为的最小值点. 19设在内连续，且无极大值点，又，使，则存在. 20设在内连续，它仅有有限个极值点，则是波浪形的（即分别在内单调，且单升与单降是相间的）. 21设在上定义，则称在上上半连续. 证明：上上半连续函数必达到它的上确界. 22设在上严格单降，且函数满足，则任给初值，令，则有收敛并且其极限是的根. 2

22、3设, 数列为无界的, 但不成立, 不利用有界数列必有收敛的子列证明有一个收敛的子数列. 24设在有限闭区间上只有第一类间断点，定义则，满足的点只有有限多个. 若将有限闭区间改为有限开区间，则结论是否仍成立？ 25证明：任何数列必有单调子列.上下极限与数项级数 1°上极限与下极限 2°正项级数的比较判别法及各种判别法 3°Leibnitz判别法、Abel变换、Abel判别法、Dirichlet判别法 4°绝对收敛与条件收敛级的性质 1设满足：，则. 2设两数列与满足关系式， 求证：存在存在. 3设数列满足，其中，则收敛收敛. 4设，则. 5设，则. 6设

23、，求证：. 7设，则. 8设在上定义，且，有； 又设； 任给初值，命，求证： （1），使且此是唯一的； （2）. 9设有界，且，命则，使. 10设正数列满足：则收敛. 11设有界，并满足，求证： 12设有界，并满足，求证：. 13设，并满足求证：存在，并求其值. 14设，则收敛. 15设，则收敛. 16设，则收敛. 17设，则收敛. 18设，则. 19若收敛，则. 20若收敛，则. 21求证：. 22举出可用Cauchy判别法而DAlembert判别法失效的收敛的正项级数. 23若正项级数收敛，且，则. 24设， 求证：收敛收敛. 25若满足条件：（1）（2）收敛，则收敛. 提示：命，则，而.

24、 26设收敛，且，则收敛，并且 . （提示：用Abel变换） 27对数列、定义，求证：若与都收敛，则 收敛. 28设正项数列单升且有界，则收敛. 29设，收敛，求证： （1） 收敛； （2）. 30设，且，则. 31证明：收敛. 32设，讨论的敛散性. 33设，则与是否收敛？ 34设单调下降，收敛， 令. 求证： （1）； （2）收敛，且. 35设，求证：. 36设正项级数收敛，和为，令，求证：当时，. 37设发散，且，求证：当时，发散. 38设收敛，求证：收敛. 39设，求证：的和在与1之间.40举出一个收敛正项级数的例子，其中. 41数列满足：，做出数列，使，.42设，且（为常数，），则收

25、敛. 如发散且，则发散. 43给定级数，设存在，则当时，级数收敛；当时，级数发散. 44求级数之和：. 45对于什么实数，级数收敛？46对于什么实数，级数收敛？ 47设正项级数满足下述条件：（1）对有界；（2）单调下降趋于，则收敛. 48设序列单调下降趋于，且数列：，则. 49设是从调和级数中按顺序去掉分母中含有数字的那些项后所成的级数，则收敛且. 50设绝对收敛，且有，则发散. 51已知级数收敛，其中，则级数收敛. 52设，又设对，函数并且是单降的，假定，证明级数收敛. 53研究级数的敛散性，其中是方程的正根，并且按递增顺序排列. 54设，求证： （1）；（2）. 55设，求证：. 56设在

26、点二阶可导，且，则级数绝对收敛. 57求和：.58设且，则.函数项级数 1º函数列、函数项级数 2º一致收敛、各种判别法及性质 3º幂级数 4º三角级数 1设在内一致收敛，则 （1）收敛；（2）在上一致收敛. 2证明Riemann函数具有： （1）在内连续； （2）在内连续可微. 3设在内连续可导，且，则，有于. 4设在上有界，且在上一致收敛，则在上一致有界. 5设，则 . 6设在上一致连续，且，则在上一致连续. 7设在内无穷次可导，则 （为常数）. 8设收敛，则在上一致收敛. 9设，则它的任何子列均不一致收敛. 10试证在上一致收敛，但在任何区间内不能

27、逐项求导. 11设，又使，则. 12设在上有界，且，则. 13设在上满足条件：， 且在上，则. 14设且. 又数列单升，则 （1）在上下半连续； （2）在上达到最小值. 15设在上满足，且，令，则存在常数，使得. 16设，且，则. 若将改为，则是否？ 17设，且一致有界. 若，则.18设，且，则. 19设，且，则. 20设，且 则为上的奇函数. 21设，且 ，则为上的偶函数. 22求证：. 23求证：. 24设的收敛半径为，且在内一致收敛，则它在上一致收敛. 25给定数列，已知，令，求证：. 26设，求证：当时有 （1）收敛； （2）. 27设的收敛半径为1，和函数为，若发散，则.28设，求证

28、： （1），； （2）在点可导； （3）； （4）在点不可导. 29求证：（1）在上如下函数项级数一致收敛于：; （2）及. 30设，其中为常数，则 （1）可在内展开成幂级数； （2）可以开拓到，且在上无穷多次可微. 31设，又已知这两个级数的Cauchy乘积产生的级数收敛，则乘积级数的和为. 32给定数列，命. 求证： （1）如级数在收敛，则当时也收敛； （2）如级数在发散，则当时也发散； （3）存在（可为无穷），使级数当时收敛，当时，发散，称为收敛指标； （4）级数在上一致收敛； （5）级数在上绝对一致收敛. 33求下列幂级数的收敛域： （1）； （2）. 34设； ，求. 35设在上单降

29、且有界，求证：. 36设在内的导数单升且有界，求证：. 37设是以为周期的周期函数，满足，则. 38设，求证： （1）； （2）存在； （3）. 39求证：. 40设在上一致连续, 且在上一致收敛于,证明在上一致连续. 41设、均一致收敛且一致有界，则也一致收敛. 42设，则级数在上一致收敛于零. 43设为多项式序列，若级数在上一致收敛于，则必为多项式. 44设在上收敛，且存在常数，使得及，恒有，则在上一致收敛. 45Fibonacci数列定义为：，则是有理函数的Taylor系数，并确定的表达式. 46设对有定义，并且对于充分大的，可以表作， 其中为实数，则无穷级数 收敛的充要条件是. 47设

30、是单调减少的正数列，证明级数 在任何区间上都一致收敛的充要条件是. 48计算极限. 49设. 试证若时，且，则级数的收敛半径. 50设为满足关系的数列，命，则. 51求Newton二项式展式 的收敛域. 52证明等式：. 53设在上连续，在上连续，则级数在上一致收敛. 54证明：级数在开区间内一致收敛于，且具有连续导数. 55设，求函数列的收敛域.多变量微积分学 1º多元微分学的一般理论 2º多元积分学的一般理论 3ºGreen公式、Gauss公式、斯托克斯公式等 1设是凸区域，且满足，则的海色矩阵是半正定的. 2设在中一阶连续可偏导，且（为常数），则当沿曲线：趋向无穷远时，. 3设在平面区域内二阶连续可微，则成立，其中，为到的边界的距离. 4计算，其中：的法向量指向内侧. 5计算第二型曲线积分，其中为自至的上半圆周. 6设是周期为的连续函数，令，试求的富氏系数. 7设为平面区域，则是调和函数对内任一圆周，且所围圆含于，均有. 8设在上连续，令，则. 9设在上二次连续可微，且满足，则. 10设为空间第一卦限区域，函数在内有连续偏导数，为中任一光滑闭曲面，试给出第二型曲面积分的充要条件，并证明之. 11计算下列各题: 1) , 其中为圆周; 2) ，其中为立方体, , 的边界的外表面;3) , 其中为圆周, , 从轴