2014年黄浦区高三数学一模试卷及参考答案(理科)综述

1、黄浦区20132014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）2014.1.9考生注意：1 1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上2 2.本试卷共有 2323 道题，满分 150150 分，考试时间 120120 分钟.、填空题（每题 4 4 分，满分 5656 分，将答案填在答题纸上）【答案】（1,+cQ）【睥析】试题分析乂函数的定义域就是集函数式有意义的自变童的取值集合，如分母，偶泱根武的被开方数，塞次 矗的底数等等，此外还有基本初等函数:車身定义域的要求，如本题中解得1.x + 20考点；函数的定义域.2.己知全集U =R，集合A=| x

2、+ 1| a 2,xR R，B =；x|X 20, Rix则CUA B【答案】（0,1【解析】试题分析=本题苜先求出集合血B,再求它们的运算，遠两个集合都是不尊式的解集，故解得A A = = xxr r5 =因此（0占）门3=（0,1看点；集合的运算.3.已知幕函数f（X ）存在反函数，且反函数f九X）过点（2,4），则f（X ）的解析式是_.【答案】f （x） = . x（x? 0）【解析】试题分析：首先要弄清幕函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点（2,4），说明原函数图象过点（4, 2），设f （x）=xa，则4a=2，则a a=，故f （x）二、.x（x一0）.1.函数lo

3、g?x -1的定义域是x 22考点：幕函数，反函数的性质4.方程7 3= =2 2的解是_.9X2【答案】21惕2【解析】试题分析：解这类方程，苜先要把3“作为整体着虑，方程可化为2 94=7.3即2-4 = 0,（2歹+1）（歹-4） = 0,其袂要知道0因此收方程有于=4, “1强4=刀爼昇考点；鹼礒方程5.己知数列a?是公差为2的等差数列，若a6是a7和乱的等比中项，则an=_ .【答案】亦理3【解析】试题分析】可以利用驱数驱数列的通皿公式来解决，伽=引-2皿7+2检杲鸽和瞩的等比中项则= = OjOgOjOg i i即（旳-2尸=牛（的 +2）,解得cijcij = = r r于是a,

4、= = ajaj + + 2 2（ft-ft- 7 7） = = 2f2f- -君点士等差数列的通项公5t一-4 4-6.已知向量a=a=cossin二,b =1,-2,若a/b，则代数式2sin_ co的值是_.sin。+cos6【答案】5【解析】试题分析：利用向量平行的充要条件，由a/b得cos江，即sin v - -2cosr，代入求值式即得.1-2考点：向量平行.-5407.三阶行列式sinX6cosxg R中元素4的代数余子式的值记为sinXfX，则函数f X的最小值为_【答案】-6【解忻】试题分析：在行列式卜肿，元素吟的代数余子式頰行列式瑟行和第列元盍后构戚的行列式乘si n xL

5、A(- 1)J4LJJ本题中/(x) = -= sin;-6cosx,x,可见当cosx = 1时”得了的蛊小fiS-66 cosx xsin x(COST最大值为l-Oitsin2忑取最小值0,从而子(孟)取得最小值，否则要变形为尹=-cos2x-6cosJ+ 1作为 8的二空函魏来求)考蛊代数余子式*三角函数的最值，组丿ax+耳2的解，则无穷等比数列a a各项和的数值是 _、a21x + a22y =c2【答案】32【解析】试题分析=本题増广矩阵的线性方程组)P)PX X y=22y=22, ,其解次即也皿卫4 = 2,刮怙=丄y y = = 2.2.yy = = 2 22心6,強沁叫J昨

6、S唱=32.考点，瑟5議就廖的和.9. i；JX_丄的二项展开式的常数项的值是 _I JTU.心+y考点：柯西不等式与不寺式叵鬼间题.14.己知数列an满足an+ （-1：nan_ =n,（n N*），则数列aj的前2016项的和S2016的值是_ .【答案】1017072【解析】试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有a2= 1, a3a2= 2 , a4- a3= 3, a5a 4，a2015- a2014= 2014,a2016-a2015=2015，我们的目的是求S2016，a? a? a川a21

7、6，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“ + ”的式子相加（即n为偶数的式子相加），将会得到a2a3a4aH a214 a215=2 42014，好像离目标很近了，但少d - a216，而 6 与a216分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到（印a2016）_（a2 a2105）二2105-1 = 201为了求內I白君力Ml又不狷不求也十旳卿，依贡下去，发现此路可能校复杂或看就行不通*重新寻找思跖 以头开始拢in有（4 - a3） - - !）= 3 -1 = 2 I即H旳）-他H陽）=2 *而a3+jj=2p d 4-u - 4f因此叭4码

8、+禺+叭=2+斗=G 拢ITJ由开始的三个铮貳求出了的十如十旳+叭，是不是还可用这种方註求出+x+x+ae呢？下面舍去碍+%=4，考察谊谊 总丁 + = &，dtp QQ= 了，I口样力i土，（% 0、）（气毛）仗厶 + %） （% + ） = ? 5 1而处 +33= 2 + f% + dt?） 8 ?于7Ea a5 5+a+a+a+a7 7= 8 + 6= 14；而如百=刘4,正好504组，看来lit法可行，由 H 北们可得A A2Qlfi - （fll+禺 +碍 +皿4）（圧4社3 +总41+总441十氐4+（旳（阳 +圧2014试题分析试题分析 i i 首先首先不等式長長+3+

9、3& & .云云.葺枕利用柯西不等式有（長（長+ + 3 3 历历护+加-+Mfi） = （2+ 2x2）+ （2 + 2xQ+ + （2+2 x（4i-2） + -+（2+2x2014） = 2x501 + 4x（1+3十于+1007） = 1017072.考点：分组求和.二、选择题：本大题共 4 4 个小题，每小题 5 5 分, ,共 2020 分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的15.己知实数a,b满足ab - 0,则“1：1成立”是“a b成立”的（）a b（A）充分非必要条件.（B）必要非充分条件.（C）充要条件.（D）既非充分又非必要条件.【答

10、案】C【解析】1 1试题分析：这是考查不等式的性质，由于ab . 0，因此不等式两边同乘以ab可得b b ：a，即a b,a b_同样在不等式心&两辺同陳儿可得？二 即因此应该选c.当然也可这样分析：必沁说b b a a a a b b明”上同正同负，由于函数7=丄在-叫0）和他）两个区頂上都是减硒驗 因i-x xa a b b是爭价的*即本题选匚考点：不等式的性质，16.已知空间两条直线m, n，两个平面：，,给出下面四个命题：mil n,m _= n _:-;：j|:,m二:L,n一 卩=m n；丰丰丰丰mil n,m|:，二n II；:,mil n,m _二=n _:。其中正确命

11、题的序号是（）.（A）（B）（C）（D）【答勅A【解析】试题分析：恋题考査空闾线面的位直关系09判定与性质，可作巒面垂直的判定定理，呈正确的，是错误的，两个平面平行性质定理是+第三个平面与这两乍平行平面相応它m的交纯平行，而这里直线耕申不一定是第三个平而与这两个平行平面的交珪；申艮据选择題的特征，只要观察，中直线卑可能在平面内，即不一定有H H 0 0、错误，选A.总豔至间握面的位曹关系的判宦与性嬴17.某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是（）(D)若 W 二勺(z为复数z的共轭复数)，则Z!纯虚数.开始结束1 _x(B) f x =ig仃-2x(C) f x =3(D)

12、 f xi=-2x上x【答案】E【解析】试题分析：本题要从程序框图中发现函議畑議畑的性质，第一个判断杲奇函数，第二个判断握姗方程子子有有实解，即函数畑数畑的图家与誥轴有交点，因此我们首先判断四个函数的奇偶性，可 利用等式f(x)+f(-x)=Of(x)+f(-x)=O来判断，A,B,DA,B,D三个函数是奇函数，又2-1-1)即- 0；从而飞L +丄亡(-g-l)U,+M)，同样-2x - - e (-00r0) u (0, +00),因此山,D两个函2 2-12-122 22 2x_l-Q_数醱与x都无交点只有直中，/(0) = lg -2x0 = 0,此函数图舉与x轴杲相交的，因此选乩肴点

13、.：函数的奇偶性与函数的值域.18己知Z1,z2,z3C,下列结论正确的是( ()2 2 2(A)若Z1 Z2 Z3=0，则Z1=Z2=Z3=0(B)若zf zf -zf-0,贝y Z12- z；为-z|x2【答案】c c【解析】试题舒桁：君晋复数的知识复数与买数的性质有很大的不同如山 E E 在买数況團內都正确，區在夏颤范围内不一定了，如2+F+F = 0,说明启错误，如(2+i)a+l+(2i)20成立訂旦(2+厅十1(2-】尸就是错误的，即B错误，C是正确的，才乜 4-环 说明彳+易与-云都是实驗 当然能得到才十才+玄 A A ChCh cESfi.cESfi.而对 D D 来讲* z

14、z( (=0=0 是蓿足题设剽牛和 但可不是虑轨 D D 错隰若豔若豔复数的性质.三、解答题(本大题共 5 5 小题，共 7474 分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .)19.(本题满分 1212 分)本题共有 2 2 个小题，第 1 1 小题满分 6 6 分，第 2 2 小题满分 6 6 分.已知三棱柱ABC-ABG的侧棱长和底面边长均为2,A A在底面ABC内的射影O为底面ABC的中心，如图所示：(1) 联结B6，求异面直线AAAA与B所成角的大小；(2) 联结AC、A1B，求三棱锥G BCA!的体积.43【解析】试题分析=（1）要求异面直线所成的角，西页搜照定义览个角，脱

15、殒直线平移为相交直线，求相 交聲线所兴的锐甫或亶篤，当然我门一骰是以麺直线中的栗一礙上一点作另一斎直线的平行线，同时要 借助已知图形中的平行关系寻找平行編以方便解题，本題杲三悽出显饌有AAAA /CC/CCV V因此貝要在 沁；中求牛C即耳求三棱锥的收-般用公式捫珈底近积乘馮再除豢似 本题中由于三棱锥的高不容易找，而这个三棱锥在三棱柱中，因此我们可借助三棱柱来求棱锥的体机 利 用换锥体积的公式*可知遠个三棱柱被分氐三个桂相等的三棱锥C.-BC,C.-BC, -ABC,-ABC,丑丑- -砸心，砸心，因此就们只宴求三棱柱的帅和即可.试题解析：联结詞 6 并延长与丑匕交于点D-则M是BC_BC_上

16、的中践.点。是正M&C的中心，且召0丄平面ABC,ABC,. . .BC.BC丄丄4。且也门4。=0.二丄平面应）4-: :.BC.BC丄幽.又山Jg，异面直线 開 与占q所成的角为“cfcf, ,边形BCGB）为正方形.异面直线AAAA与BG所成角的大小为三棱柱的所有棱长都为2,若点：（1）异面直线所成的（2）三棱锥的体积.20.（本题满分 1212 分）本题共有 2 2 个小题，第（1 1 ）小题满分 6 6 分，第（2 2）小题满分 6 6 分.已知函数f x = . 3sin x cos x c（国0,R，c是实数常数）的图像上的一个最高点込込,1 L与该最高点最（1）求函数f

17、 x的解析式及其单调增区间；1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且AB BC ac，角A的取值范围是区间M，当x，M时,CC,_CC,_BC,即四近的一个最低点是2试求函数f X的取值范围【答案】f(x)f(x) = = 2sm(2x2sm(2x + + -)-,-)-,单调谨増区间(-3,1.63 36 6【解析】试题分析：(1)三角函数问题一般都要化为尹=+炉)+u的一个三角函数的形式，然后才可利用正弦函数的性质解题，这个函数繋上相邻有最高点与最低点的橫坐标之差的绝对值为半个周期，而周期7=7=, ,再加上最高(低)点.在函数aa,我们就可出这个函数的解析式了(疋)；辽)由

18、ABBC=-ABBC=-a ac,c,根据向量数量积定义我们可求出B=-,B=-,那么三甫形的另一內甫卫的范围应该是239：T9：T:T:T:T(0?),即函数了 (对中乳的范围是(0,),然石我们把2x2x + + -个整如 得出2x2x + + - , ,而33 36 66 66 62 2正弦函数= sinxxe (,)时取值范围是(-1,1、因此可求出f f(x)的值域.6 2试题解析；(1)/ /(x) = -sin X+COSM+CI/ (x) = 2sin(mx + )+c.6/ ()和-33分别杲函数图像上相邻的最高点和最低鼠T T 2r2r 7T7T= a236 61 127T

19、2 sin( O+) +c = 16S S/(x) - 2 sm(2x+)-1.6jFT7T7T7T由2上打工兰十兰兰2Rr+兰丘亡,解得上齐一少占云兰Ar十兰丘wZ26236人函数畑数畑的单调递曙区间是伽-兰扫F+勻用訂.3 36：在拥处中，而祝二飞牡1 17F/./. aeaecosfjr-B)B) = = acSSacSS B BJT,B B=一.2 23.A.A + + C C = = C,C,目卩0A0A . .3 33 32/r施=(o).yryrjrjrIJT当施肱时，-2x+- ,考察正弦函数卩=six的图惕 可知,662即函数/0)的取值范挂1是(-3;1L考点；五点法与函数

20、二+A的團黑応)三角函数在给宦区间的值域.21.(本题满分 1414 分)本题共有 2 2 个小题，第(1 1 )小题满分 4 4 分，第(2 2 )小题满分 1010 分.我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查,TWTW解得*c =-1,也=2xX.修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f x与第x天近似地满足8f x =8-（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g X近似地满足g x =143_x_22（元）.X（1） 求该村的第x天的旅游收入p x（单位千元，1）含绝对值符号，我们在求戸0

21、）时，可分粪讨论，用分段函数形式表示；（2）关键是求芒0）的最小值，如最小值处应处应），我们只 要再计算（xo）x2O%x5%x3Oxl2x2,如果这个值不小于旳0万元，就能收回全部投瓷成本，否则就不能，而尹O）的最小值要分段求，一个用基本不等式，一个用函数的单调性，分别救出石比较，取较小试题解析：（1）依据题意，有p(x)二f(x) g(x) =(8) (143-|x-22|)(1乞X E30, x N*) x968*8x976,(1 Ex乞22, x N )=X1320-8x1312.(22：x _30,x N )Lx(2)1当1x22x22f f时,因此，尹（对谕=戸（11） = 1戸2

22、千兀）.2Q22 X该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 30 12 2=8035.2（千元）=803.52（万元）.因803.52万元.800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金.考点：（1）分段函数解析式；（2）分段函数的最值问题.22.（本题满分 1818 分）本题共有 3 3 个小题，第（1 1 ）小题满分 6 6 分，第（2 2）满分 6 6 分，第（3 32已知函数f x =ax bx c（其中a,b,c,d是实数常数，Xd）x - d（1） 若a =0，函数f x的图像关于点（一1,3）成中心对称，求b,d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1）,且对任意x 3,

23、10 ,总有f（x0f3,10,求c的取值范围;（3） 若b=0，函数f x是奇函数，f 1 =0,f _2 - -|，且对任意x. 1,;时，不等式 成立，求负实数m的取值范围.【答案】b b = = 3 3r rd,d,（2） 3c31；（3）m-.m-.【解折】hxhx + + c cJr试题分析：由TaTa = = Q,Q,了（畫）=竺这种粪型的函数我们易联想到函数畑上数畑上的平移变换，如忑x向右平移心单位再向上平移押仑单血= +的盤，且.y =+的图塞的x-wx-mx-m对称中心就是尿对，因此我们只要耙辽兰转化为丄+挖的形式，即竺空詡就能得A+LJ? x ZKx+dx+dx x +

24、+ d d出结论：（2）由知./） =3 + .当310时，蹟了的值域匸N10，可分类讨x + 1论，当c c = = 3,3, f f（x x） = = 3e3,W,3e3,W,而当3时，函数具有单调性，由此可很快求出函数的最值，求出c的取值范围；（3）由于b b = = 0,0,子中还育三个细，正好题中荷三个条件.我（0可先求出/（x）.然然后才能吧不等式伽0+砒佛 T 化为亦-1,从而可以分离参数得稍* ，一，也即2A-1櫛 v - 丄=，下面我们只要求出-=J=的島卜值即可试试题解析：（l l）-a-a = = 0.0.打、&科+匕 茲，c-bdc-bd：.f f（x x）=

25、=-=占-.x+dx+d x+dx+d图像，可知函数f（x）的图像的对称中心是（-d,b）.又函数f （x）的图像的对称中心是（-1,3）,小题满分 6 6 分. .k类比函数y二上的xX.b = 3，d =1.Q）由（1）知，/（z）-3 + x + 1依据题意，RjffjSetXlO,恒有心）曲皿卩若c = 3,则/W-3,符合题意.n2 Sr 3,301,对任育HE310,恒有Y = 3 + 3,Pc3,函/（x）-3 + 在3JQ上是单调窿减匪1数，且満足/3+x + 1因此 当且仅当/（%莖1th3c33c3时符合题意.综上，所求实数。的范围是3c31考察函数，=- （签Ml）*可知该函数在1,+oa）是馥，故-儿打二畀（1）二-1 （2宀1所以 所求负实数稱的取值范围是w -1.着点（1）图家变换；（2）函数的最值；i? 7（3）依据题设,有/（1）=s3解得于是/W =x x/（和）+咕 1时有结论-一 =丄%1+务-1n n( + 1S-Dn n-丄，很幸运，此式左辺正好是y y则此我们得到了数列的相邻两匝的差y y那么为n-n-了求氏，可以采取累加的方法(也可引进新数列)求得，注意这里n2,n2,对孙要另外求得；(2)有了 第 小题妇 那么求务就方便多了，因为a a9 9= = n(nn(n-1