柯西不等式专题

1、柯西不等式的证明等号当且仅当或时成立（k为常数，）证明1：构造二次函数 = 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明2：数学归纳法 （1）当时，左式= 右式=当时，右式 右式仅当即 即时等号成立故时不等式成立 （2）假设时，不等式成立即 当 ，k为常数， 或时等号成立设 则当 ，k为常数， 或时等号成立即时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式的变式变式1：设 ,等号成立当且仅当变式2：设ai,bi同号且不为0（i=1，2，n）则 ,等号成立当且仅当平均数大小的证明证明：此问题等价于因为若上述不等式中，两边开平方，得用柯西不等式证明不等式例1已知正数满足；证明：证明：利用柯西不等式 又因

2、为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故例2已知为正实数，且，证明 .证明：原不等式等价于,由柯西不等式，可得.证法二: .由柯西不等式，可得,为此只需证明.显然.证法三: 令,等价于.例3已知，求证： (1)证明：由柯西不等式知,即 (2)=.例4已知，则有。 证明：由柯西不等式和均值不等式知,即,.例5正实数满足条件：，.证明：对于任意确定的，如果，则.证明：由已知条件及柯西不等式，得.令，显然有 ，由已知，得又对于固定的，有，.又， 由柯西不等式，得；两个不等式相加，得所以，。由定义及，有从而，即.原命题获证。例6设，求证：证明: 欲证式由柯西不等式， 注意到：又.故, 由 欲证式成立.

3、点评：这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择和，便于运用柯西不等式例7：若>>，求证：分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了， 结论改为 也可用基本不等式证明：变式：已知求的最小值分析：或等号成立的条件是，即的最小值是。例8：已知，求证：分析：左端的分母之和为：（a+b）+（b+c）+（c+a）=2（a+b+c)原不等式成立。变式：为三边，求证：， 分析：分母之和为（b+c-a）+（a+b-c）+（c+ab）=（a+b+c)原问题等价于等价于等价于等价于由柯西不等式得证。例9：分析：变式：设非负实数a1,a2,a3, an,满足

4、a1a2a3 an,1，求的最小值。分析：原式又 原式 （当且仅当时取等号）例10：已知，且满足求证：分析：=变式：求证：分析：只需寻找，得 得所以例11：设，求证：思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.详解：，故由柯西不等式，得 ，例12设，求证：证：注意到函数在上是增函数，当时，故只需证明：，其中即证.由于.从而，欲证不等式成立。柯西不等式特点：不等式左边是两个因式和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。例13：求证：证明：由柯西不等式得：其中等号当且仅当 ， 时成立。其中等号

5、当且仅当 ， 时成立。柯西不等式中有三个因式；而一般题目中只有一个或两个因式，为运用柯西不等式，需设法嵌入一个因式。柯西不等式中诸量 ，具有广泛选择余地，任意两个元素，（或，）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置。例14：已知a,b，a+b=1,求证：分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。证明：= 。例15、设求证：（1984年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式，也即嵌以因式，由柯西不等式，得 于是 .利用柯西不等式求最值例1已知实数满足：， 试求的最值解：由柯西不等式得，有

6、即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立，代入时， 时 例2：已知：x+2y+3z=1,求的最小值。解：，等号成立的条件是：它与x+2y+3z=1联立，可得 故的最小值是例3：求的最大值解：等号成立的条件是故的最大值是3例4：已知：。分析：把平方得从而又故，最大值为例5设非负实数满足求的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度题）解：易验证+1=同理可得+1=+1=令故+为了利用柯西不等式，注意到+=+等号当且公当时成立，从而有最小值例6设都是正数，且求证：（1989年全国数学冬令营试题）证明：令由柯西不等式，得 即 同理，得即 又由柯西不等式，得故从而 柯西不等式的其它应用一、证明相关命题例

7、1用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点及直线 设点p是直线上的任意一点， 则 （1） （2）点两点间的距离就是点到直线的距离，求（2）式最小值，有 由（1）（2）得： 即 （3）当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即例2已知求证：。证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，于是 。二、解三角形的相关问题例1 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。例2已知ABC的外接圆半径为R，半周长为p，面积为S。求的最大值.解: . 因为在内为上凸函数， 故当时，取得最大值例3设P是内的一点，是P到三边的距离，是外接圆的半径，

8、求证：分析：记为的面积，则由柯西不等式得，例4设,为的三个内角,求证:.证: 记,则,同理, 三式相加得：,故. 而由柯西不等式得,.即.例5为三内角，求证：.证：证法二：,故,.例5 设，且 ，求乘积的最大值与最小值。解：由已知 所以， 当且仅当时取到最小值。 当且仅当 时取到最大值。例6在中 ，求证：证明：当且仅当A=B时等号成立。令，于是引进参求的最值。由柯西不等式，=又由平均值不等式得=（1）当且仅当=时等号成立。例6已知a,b为正常数，且0<x<,求的最小值。解：利用柯西不等式，得等号成立的当且仅当时；即时，于是再由柯西不等式，得等号成立也是当且仅当时。从而于是的最小值是

9、三、利用柯西不等式解方程例1在实数集内解方程解：由柯西不等式，得 又即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得 例2：解方程。解：=由柯西不等式知 即当上式取等号时有成立，即（无实根） 或，即，经检验，原方程的根为用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。例3：解方程组 解：原方程组可化为运用柯西不等式得, 两式相乘，得当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.柯西不等式的练习1.设x1，x2，xn >0, 则 2.设（i=1，2，n）且 求证: 3.设a为实常数,试求函数 (xR)的最大值4.求函数在上最大值,其中ab为正常数5（1）设三个