行列式按一行或一列展开及行列式的计算ppt课件

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.3 2.3 行列式按一行或一列行列式按一行或一列展开及行列式的计算展开及行列式的计算一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行列展开法那么二、行列式按行列展开法那么三、小结三、小结,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331

2、333321aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332

3、312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个一个 阶行列式，假设其中第阶行列式，假设其中第 行一切行一切元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija4443

4、4241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证 当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 从而从而.1111AaD 再证普通情形再证普通情形, 此时此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 1,2,.,1,Diii 把把 的的第第 行行依依次次与与第第行行 第第行行第第 行行对对调调得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 ,

5、 11001 ijaija1,2,.,1,Djjj 再再把把 的的第第 列列依依次次与与第第列列 第第列列第第 列列对对调调得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100

6、 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行列的各元素行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行列展开法那么二、行列式按行列展开法那么nnnninaaaaaaa211112110

7、0 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 推论推论 行列式任一行列的元素与另一行列行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可可得得换换成成把把

8、), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 一样一样关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明 ,ijaA 设

9、设 ,ijbAA 记记那么那么jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.A故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得1nkikjkA AA a ijA ijA .EA 分块对角阵的行列式分块对角阵的行列式 sAAAA21OO.21sAAAA 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 用降阶法计算用降阶法计算0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 0532004140013202527102135 D例例2 计算行列式

10、计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr ，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并从第行，并从第行都加到第行都加到第、的第的第将将dcbaD 114324例例3计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列列，得得列列都都减减去去第第、再再将将第第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展开，得行展开，得按第按第1.

11、)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD 211abcd 把把上上面面右右端端行行列列式式第第 行行加加到到第第 行行，再再从从第第 行行中中提提取取公公因因子子，得得,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列列，得得列列减减去去第第再再将将第第12行展开，得行展开，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(评注此题是利用行列式的性质将所给行列评注此题是利用行列式的性质将所给行列式的某行列化成只含有一个非零元素，然

12、式的某行列化成只含有一个非零元素，然后按此行列展开，每展开一次，行列式的后按此行列展开，每展开一次，行列式的阶数可降低阶数可降低 1阶，如此继续进展，直到行列式阶，如此继续进展，直到行列式能直接计算出来为止普通展开成二阶行列能直接计算出来为止普通展开成二阶行列式这种方法对阶数不高的数字行列式比较式这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用适用 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立时时（当当12 n例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxx

13、xxxxxD)1(1123122221231111112311112()13()2()1nnnnnnnnxxxxxxxxxxDnxnxxxx 第第 行行第第 行行第第 行行第第 行行第第 行行第第行行2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行

14、列式阶范德蒙德行列式就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。222111Dabcabc 如如：()()().ba ca cb 11134891664D 又又如如：(43)(83)(84)20. 利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。例例5

15、计算计算.333222111222nnnDnnnn ,01,1.01nDnnn 中中各各行行元元素素分分别别是是一一个个数数的的不不同同方方幂幂 方方幂幂次次数数自自左左至至右右按按递递升升次次序序排排列列，但但不不是是从从 变变到到而而是是由由 递递升升至至若若提提取取各各行行的的公公因因子子，则则方方幂幂次次数数便便从从 增增至至，于于是是得得到到解解212121!.1111122233311nnnnnDnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知1!()nijn ijnDxx (21)(31)(1)!nn (32)(4

16、2)(2)n (1)!(1!.2!2)nn n (1)nn 评注此题所给行列式各行列都是某元评注此题所给行列式各行列都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其陈列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其陈列与范德蒙行列式不完全一样，需求利用行列式的性质如行列式不完全一样，需求利用行列式的性质如提取公因子、互换各行列的次序等将此行提取公因子、互换各行列的次序等将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式例例6 6 计算计算n n阶三对角行列式阶三对角行列式111nnababababDababab 解解: : 将将 按第按第1 1行展开，得行展开，得nD用递推法计算用递推法计算1110()11nnna

17、bababDab Dabababab 12()nnab DabD即即112()nnnnDaDb DaD223()nnbDaD 221()nbDaD 222()nnbaabba abb 同理：同理：1(1)nnnDbDa 当当 时，可得时，可得ab 11nnnabDab 当当 时，由时，由(1)得得ab 1nnnDaDa 12()nnna aDaa (1)nna例例7计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第Dnn121nnaxaaaaaxaaDaaaxaaaaa 121.000nnaxaaaaxaaaaxaaax .1121Dxaxx

18、xDnnnn 从而从而得得列展开列展开第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(3231

19、12121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时，还还可可改改写写成成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 1 1,1. 1 1.nnnnnnnnnnDDDD 本本题题是是利利用用行行列列式式的的性性质质把把所所给给的的 阶阶行行列列式式用用同同样样形形式式的的阶阶行行列列式式表表示示出出来来建建立立了了与与阶阶行行列列式式之之间间的的递递推推关关系系有有时时，还还可可以以把把给给定定的的 阶阶行行列列式式用用同同样样形形式式的的比比阶阶更更低低阶阶的的行行列列式式表表示示，建建立立比比阶阶行行列列式式更更低低阶阶行行列列式式之之间间的的递递推推关关系系评注评注n8 8 设设例例阶阶行行列列式式nnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn爪型行列式爪型行列式用数学归纳法用数学归纳法例例9证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结结论论成成立立时时当当所所以以因因为