MATLAB入门与矩阵运算

1、MATLAB入门与矩阵计算入门与矩阵计算制作人：慕黎明、耿寒制作人：慕黎明、耿寒MATLAB基本内容基本内容一 MATLAB入门二 矩阵的生成方法三 矩阵的基本运算四 矩阵的分解五 解方程组Matlab 的特点与功能的特点与功能q Matlab 具有很强的数值计算功能l Matlab 以矩阵作为数据操作的基本单位， 但无需预先指定矩阵维数（动态定维）l 按照 IEEE 的数值计算标准进行计算l 提供十分丰富的数值计算函数，方便计算，提高效率l Matlab 命令与数学中的符号、公式非常接近， 可读性强，容易掌握q Matlab 是一个交互式软件系统输入一条命令，立即就可以得出该命令的结果Mat

2、lab 的特点与功能的特点与功能q Matlab 符号计算功能Matlab 和著名的符号计算语言 Maple 相结合q Matlab 的编程功能Matlab具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特征，而且简单易学、编程效率高。通过 Matlab 进行编程完成特定的任务q Matlab 的绘图功能Matlab提供丰富的绘图命令，很方便实现数据的可视化 Desktop操作桌面简介操作桌面简介命令窗口工作区窗口命令历史窗口菜单栏工具栏文件目录浏览器文件概括新建打开剪切粘贴恢复Help：打开 MATLAB 帮助； Current Directory：设置当前目录MATLAB

3、 的工具栏的工具栏复制撤消q 变量命名原则Matlab 变量u 以字母开头u 后面可以跟 字母、数字 和 下划线u 长度不超过 63 个字符u 变量名 区分字母的 大小写q Matlab 语句的通常形式变量 = 表达式表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果被赋给赋值号“=”左边的变量q 系统预定义变量Matlab 变量u pi ： 圆周率 ，其值为 imag(log(-1)u inf，Inf ：无穷大 u nan，NaN ：Not-a-Number，一个不定值，如 0/0u eps ：浮点运算相对精度 u i，j ：虚部单位应尽量避免给系统预定义变量重新赋值！q 数学运算符u +

4、加法Matlab 数值运算u - 减法u * 乘法u / 和 除法（右除和左除）u 幂运算q 命令分隔符：逗号和分号二、矩阵的生成方法二、矩阵的生成方法这是最简单，也是最常用的一种矩阵的生成方法。l整个矩阵必须用“ ”括起来；l矩阵的行与行之间必须用”;”或回车键Enter隔开；l元素之间必须用逗号,或空格分开。q 直接输入法例： A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 或 A = 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9l 二、矩阵的生成方法二、矩阵的生成方法此方法用于生成一维行数组。 q 设定步长生成l整个格式：x=a:inc:b ； 其中：a是数组的第一个元素； inc是相邻两个元

5、素之间的间隔； b是数组的最后一个元素。例： x=1:3:22 x=1:3:21 x=1:7二、矩阵的生成方法二、矩阵的生成方法命令：全零阵全零阵函数：zeros格式：B=zeros(n) %生成元素全为零的n阶零方阵 B=zeros(m,n) %生成元素全为零的mxn矩阵例例: : 1、产生一个4阶零方阵 2、产生一个3x4零阵 q 特殊矩阵的生成方法3、特殊矩阵的生成方法命令：单位阵单位阵函数：eye格式：A=eye(n) %生成nxn单位阵 A=eye(m,n）%生成mxn单位阵例例: : 1、产生一个5阶单位阵 2、产生一个4x5单位阵 命令：全全1 1阵阵函数：ones格式：B=on

6、es(n) %生成nxn全1阵 B=ones(m,n) %生成mxn全1阵例例: : 1、产生一个5阶全1阵 2、产生一个4x5全1阵 3、特殊矩阵的生成方法命令：随机矩阵函数：rand格式：A=rand(n) %生成nxn随机矩阵，其元素在（0，1）内 A=rand(m,n) %生成mxn随机矩阵例例: : 1、产生一个4x5的随机矩阵 2、产生一个在区间10，20内均匀分布的3阶矩阵3、特殊矩阵的生成方法命令：对角元素矩阵 函数：diag格式：A=diag(V) %已知向量生成对角矩阵 V=diag(A) %已知矩阵提取对角元素列向量 A=diag(V,k) %生成主对角线上第k条对角线为

7、V的矩阵运算规则：对应元素相加减，即按照线性代数中矩阵的“+”、“-”运 算进行。三、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算q 矩阵的加减运算一般乘法：c=a*b,要求a的列数等于b的行数。点积： dot(a,b)叉积： cross(a,b)卷积： conv(a,b)三、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算q 矩阵的乘法运算除法：一般在解线性方程组时会用到。左除：x=ab 如果ax=b，则 x=ab是矩阵方程的解。右除：x=b/a 如果xa=b, 则x=b/a是矩阵方程的解。三、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算q 矩阵的除法运算转置：B=A逆：C=inv(A)或C=A(-1)行列式：D=det(A)三、

8、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算q 矩阵的转置、逆和行列式矩阵的秩矩阵的秩函数：rank格式：k=rank(A) 矩阵的迹矩阵的迹函数：trace格式：b=trace(A) 3、矩阵的迹和秩4、矩阵的范数n = norm(A) % A为矩阵，求欧几里德范数 n = norm(A,1) %求A的列范数 ，等于A的列向量的1-范数的最大值。n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数 ，和norm(A)相同。n = norm(A,inf) %求行范数 ，等于A的行向量的1-范数的最大值即：max(sum(abs(A)。2A1AAq 提取矩阵的部分元素： 冒号运算符u A(:) A 的所有元素u

9、 A(:,:) 矩阵A 的所有元素u A(:,k) A 的第 k 列， A(k,:) A 的第 k 行 u A(k:m) A 的第 k 到第 m 个元素u A(:,k:m) A 的第 k 到第 m 列组成的子矩阵5、矩阵元素的抽取上（下）三角矩阵的抽取上（下）三角矩阵的抽取U=triu(A) 抽取矩阵A的上三角L=tril(A) 抽取矩阵A的下三角5、矩阵元素的抽取格式：格式：V,D= eig(A)说明：说明：其中D为特征值构成的对角阵，每个特征值对应于V矩阵中列向量（也正是其特征向量），如果只有一个返回变量，则得到该矩阵特征值构成的列向量。6、求解矩阵的特征值q 矩阵的旋转u fliplr(

10、A) 左右旋转u flipud(A) 上下旋转u rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k90 度 A = 1 2 3;4 5 6 B = fliplr(A) C = flipud(A) D = rot90(A) E = rot90(A,-1)例：注意矩阵旋转与转置的区别！四、矩阵的分解四、矩阵的分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。当L为单位下三角矩阵而U为上三角矩阵时，此三角分解称为杜利特(Doolittle)分解。当L为下三角矩阵而U为单位上三角矩阵时，此三角分解称为克劳特(Crout)分解。调用格式：

11、调用格式： L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这 里的矩阵X必须是方阵。 L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。q 可逆方阵的可逆方阵的LU分解分解四、矩阵的分解四、矩阵的分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积形式，即A=LU，其中L和U矩阵可以分别写成：q 可逆方阵的可逆方阵的LU分解分解2112111nnlLll11121222nnnnuuuuuUu这样由产生的矩阵与原来矩阵A的关系就可以知道ij

12、l和iju递推计算公式为111,111,;jijikkjikijijijikkjiikjjal uljiual ujiuau在MATLAB中也给出了基于矩阵LU分解函数lu()L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这 里的矩阵X必须是方阵。 L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。由该函数得到的下三角矩阵L是一个变换形式的下三角矩阵，而不是一个真正的下三角矩阵，因为选取它可能进行了一些元素行的交换，这样对角线上的元素可能不是1。如果想获得有关换行的信

13、息，则可以采用后一种格式调用lu()函数，此时的P为单位阵变换出的置换矩阵。四、矩阵的分解四、矩阵的分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。调用格式：调用格式： Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。 Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。q 满秩矩阵的满秩矩阵的QR分解分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=RR

14、。调用格式：调用格式： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使RR=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。 R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。q 对称正定矩阵的对称正定矩阵的Cholesky分解分解五、解方程组五、解方程组第一步:定义变量syms x y z .; 第二步:求x,y,z,.=solve(eqn1,.,eqnN,var1,.varN); 第三步:求出n位有效数字的数值x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);.syms x y; x,y=solve(x2+3*y+1=0,y2+4*x+1=0); x=vpa(x,4);y=vpa(y,4);例：解二（多）元二（高）次方程组： x2+3*y+1=0 y2