matlab符号运算(二)

1、v MatlabMatlab 符号运算介绍符号运算介绍q M a t l a b 符 号 运 算 是 通 过 符 号 数 学 工 具 箱符 号 运 算 是 通 过 符 号 数 学 工 具 箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。来实现的。MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）q 符号对象的建立：符号对象的建立：sym sym 和和 symssyms例：例： symssyms x y z x y z x=sym(x)x=sym(x); y=sym(y)y=sym(y); z=sym(z)z=sym(z);q 符号对象建立时可以附加属性：符号对象建立时可以附加属性

2、： realreal、positive positive 和和 unrealunreal k=sym(k,positive)k=sym(k,positive) x=sym(x,real)x=sym(x,real) x=sym(x,unreal)x=sym(x,unreal)表明表明 x x 是实的是实的MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）表明表明 k k 是正的是正的去掉去掉 x x 的附加属性的附加属性q 符号表达式的建立符号表达式的建立 f2=f2=sym(sym(sin(x)+cos(xsin(x)+cos(x) ) ) symssyms x x f1=f1=sin(x

3、)+cos(xsin(x)+cos(x) ) f3=f3=sin(x)+cos(xsin(x)+cos(x) )用这种方法创建的符用这种方法创建的符号表达式对空格很敏号表达式对空格很敏感，不要在字符间随感，不要在字符间随意添加空格！意添加空格！MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）推荐！推荐！q 符号变量与符号常量符号变量与符号常量 a=sym(a)a=sym(a); b=sym(5)b=sym(5); c=sym(5)c=sym(5);b b、c c有区别吗？有区别吗？hinthint：help symhelp symq 相关函数相关函数 findsymfindsym: :

4、查找符号表达式中的查找符号表达式中的符号变量符号变量findsym(ffindsym(f) )按字母顺序列出符号表达式按字母顺序列出符号表达式 f 中的所有自由变量中的所有自由变量findsym(f,Nfindsym(f,N) )列出列出 f 中距离中距离 x 最近的最近的 N 个自由变量个自由变量（i，j 除外除外）默认自变量默认自变量findsym(f,1)findsym(f,1)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） a=sym(a)a=sym(a);x=sym(x)x=sym(x);k=sym(3)k=sym(3); f=k f=k* *x+ax+a; findsym(

5、ffindsym(f) )例：例：ans=a，xq 相关函数相关函数 subssubs：符号替换符号替换MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）subs(f): subs(f): 用当前工作空间中存在的变量值，替换用当前工作空间中存在的变量值，替换 f f中所有出现的相同的变量，并进行简化计算。中所有出现的相同的变量，并进行简化计算。subs(f,x,a)subs(f,x,a)：用用 a 替换替换 f 中的中的 x ；a 是可以是是可以是 数数/ /数值变量数值变量/ /表达式表达式 或或 符号变量符号变量/ /表达式表达式。 若若x与与a为相同大小的向量或矩阵，则用为相同大小的

6、向量或矩阵，则用a中相应的元中相应的元素替换素替换x中的元素；中的元素； 若若f，x为标量，而为标量，而a是向量或矩阵，则是向量或矩阵，则f与与x将扩展为将扩展为与与a相同形状的向量或矩阵。相同形状的向量或矩阵。 例：例： symssyms x y x y f=2 f=2* *x+yx+y; x=3,y=4 x=3,y=4; subs(f) subs(f) subs(f,x,a) subs(f,x,a)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） symssyms x y a b x y a b f=2 f=2* *x+yx+y; subs(f,x,y,3,4)subs(f,x,y,

7、3,4) subs(f,x,y,3,4) subs(f,x,y,3,4) subs(f,x,1:3) subs(f,x,1:3) subs(f,x,y,1:3,5:7) subs(f,x,y,1:3,5:7) subs(f,x,y,a+b,a-b) subs(f,x,y,a+b,a-b) subs(f,x,y,x+y,x-y) subs(f,x,y,x+y,x-y)ansans=10=10ansans=2=2* *x+yx+yansans=10=10ansans=2+y,4+y,6+y=2+y,4+y,6+yansans=7 10 13=7 10 13yxxf 2)(ansans=3=3* *

8、a+ba+b?q符号矩阵符号矩阵 使用使用symsym函数直接生成函数直接生成MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x)A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x) 将数值矩阵转化成符号矩阵将数值矩阵转化成符号矩阵 B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3)B=2/3, sqrt(2); 5.2, log(3) C=sym(B) C=sym(B) 符号矩阵中元素的引用和修改符号矩阵中元素的引用和修改 A=sym(1+x, sin(x); 5, exp(x)A=sym(1+x, sin(x); 5, e

9、xp(x) A(1,2) A(1,2) A(2,2)= A(2,2)=sym(cos(xsym(cos(x) ) 能否用能否用sym(B)?sym(B)?q 符号矩阵的基本运算符号矩阵的基本运算符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。符号矩阵的基本运算与数值矩阵的基本运算相类似。1) 1) 基本运算符基本运算符：+、-、*、/、.*、.、./、.、 、.2) 2) 三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数：sin、cos、tan、 3) 3) 指数、对数函数指数、对数函数：sqrt、exp、log、 4) 4) 复数函数复数函数：real、imag、conj、 abs5) 5) 矩阵函数

10、矩阵函数：det、inv、rank、 （没有没有norm）MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）6) 6) 矩阵元素的抽取矩阵元素的抽取：diag、tril、triuq 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 因式分解：因式分解：factorfactor symssyms x x f=x f=x6 +16 +1 s=factor(f) s=factor(f) s =(1+x2)*(x4-x2+1)factor factor 也可用于正整数的分解也可用于正整数的分

11、解大整数的分解大整数的分解MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 展开函数：展开函数： expandexpand 多项式展开多项式展开MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 三角函数展开三角函数展开该函数经常用于多项式展开，也常用于三角函数、该函数经常用于多项式展开，也常用于三角函数、指数函数和对数函数的展开中。指数函数和对数函数的展开中。 合并同类项：合并同类项： collectcollect collect(f,v)collect(f,v): : 按指定变量按指定变量 v v 的次数合并系数；的次数合并系数； collect(f)collect(f): :

12、合并合并 f f 中的中的默认自变量默认自变量的各项系数。的各项系数。MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）findsym(f,1)findsym(f,1) 简化函数简化函数： simple simple 和和 simplifysimplify simple(f)simple(f): : 对对 f f 尝试多种不同的算法简化，尝试多种不同的算法简化， 返回其中最短的简化形式；返回其中最短的简化形式； R,HOW=simple(f)R,HOW=simple(f): R: R为为f f的最短简化形式，的最短简化形式， HOWHOW中记录的为简化过程中使用的主要方法。中记录的为简化过

13、程中使用的主要方法。MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）f fR RHOWHOW2 2* *cos(x)cos(x)2-sin(x)2-sin(x)2 23 3* *cos(x)cos(x)2-12-1simplifysimplify( (x+1)x+1)* *x x* *(x-1)(x-1)x x3-x3-xcombine(trig)combine(trig)x x3+33+3* *x x2+32+3* *x+1x+1( (x+1)x+1)3 3factorfactorcos(3cos(3* *acos(xacos(x)4 4* *x x3-33-3* *x xexpand

14、expandsimplesimple函数示例函数示例 simplify(f)simplify(f): : 简化函数简化函数MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）注：多次注：多次 使用使用 simple 可以达到最简表达。可以达到最简表达。例：化简例：化简MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）32381261)(xxxxf 分式通分：分式通分： numdennumdenN,D=N,D=numden(fnumden(f) ): N: N为通分后的分子，为通分后的分子，D D为通分后的分母为通分后的分母MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） horne

15、rhorner多项式：嵌套形式的多项式多项式：嵌套形式的多项式MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）1) 1) 1( 1)(1xxxxxxxxfnn例：例：q 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算极限计算极限 limit(f,x,a)limit(f,x,a): : 计算计算)(limxfax limit(f,a)limit(f,a): : 计算计算默认自变量默认自变量趋向于趋向于a a时时f f的极限的极限 limit(f)limit(f): : 计算计

16、算 a=0 a=0 时的极限时的极限 limit(f,x,a,right)limit(f,x,a,right)：右极限右极限 limit(f,x,a,left)limit(f,x,a,left)：左极限左极限例：求极限例：求极限 symssyms h n x h n x L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n) M=limit(1-x/n)n,n,inf)n,n,inf)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）L=1/xL=1/xM=exp(-x)M=exp(-x) s

17、ymssyms x x L=limit(abs(x)/x,x,0,left) L=limit(abs(x)/x,x,0,left) R=limit(abs(x)/x,x,0,right) R=limit(abs(x)/x,x,0,right)L=-1L=-1M=1M=1hxhxLh)ln()ln(lim0nnnxM1limq 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算极限计算极限 计算导数计算导数 diff(f)diff(f): : 计算计算 f f 关于关于默认自变量默认自

18、变量的导数的导数 diff(f,v)diff(f,v): : 计算计算 f f 关于变量关于变量 v v 的导数的导数 diff(f,n),diff(f,v,n),diff(f,n,v)diff(f,n),diff(f,v,n),diff(f,n,v): : n n次求导次求导例：设例：设 y=sin(ax),y=sin(ax),求求 symssyms a x a x y=sin(a y=sin(a* *x)x) A=diff(y,x) A=diff(y,x) B=diff(y,a) B=diff(y,a) C=diff(y,x,2) C=diff(y,x,2) D=diff(y,a,2) D

19、=diff(y,a,2)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）A=A=cos(acos(a* *x)x)* *a aB=B=cos(acos(a* *x)x)* *x xC=-sin(aC=-sin(a* *x)x)* *a2a2D=-sin(aD=-sin(a* *x)x)* *x2x22222 , , ,daydDdxydCdadyBdxdyAq 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算极限计算极限 计算导数计算导数 计算积分计算积分 int(f,v,a

20、,bint(f,v,a,b) ): :计算定积分计算定积分 int(f,a,bint(f,a,b) ): : 计算计算 f 关于关于默认自变量默认自变量 的定积分的定积分 int(f,vint(f,v) )：计算不定积分计算不定积分 int(fint(f) )：计算计算 f 关于关于默认自变量默认自变量 的不定积分的不定积分badvvf)(dvvf)(例：求积分例：求积分 symssyms x x f=(x f=(x2+1)/(x2+1)/(x2-22-2* *x+2)x+2)2;2; I= I=int(fint(f) ) g= g=cos(x)/(sin(x)+cos(xcos(x)/(si

21、n(x)+cos(x);); J=int(g,x,0,pi/2) J=int(g,x,0,pi/2) h=exp(-x h=exp(-x2);2); K=int(h,x,0,inf) K=int(h,x,0,inf)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）,)22(1222dxxxxI2/0,cossincosdxxxxJdxeKx02I=I=3/23/2* *atan(x-1)+1/4atan(x-1)+1/4* *(2(2* *x-6)/(x2-2x-6)/(x2-2* *x+2)x+2)J=1/4J=1/4* *pipiK=1/2K=1/2* *pi(1/2)pi(1/2)

22、q 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算极限计算极限 计算导数计算导数 计算积分计算积分 符号求和符号求和 symsum(f,v,a,bsymsum(f,v,a,b) ): : 求和求和 symsum(f,a,bsymsum(f,a,b) ): : 关于关于默认自变量默认自变量 求和。求和。bavvf)(例：求级数例：求级数 ，以及其前，以及其前1010项的部分和。项的部分和。 symssyms n n S=symsum(1/n S=symsum(1/n2,n,1,in

23、f)2,n,1,inf) S10=symsum(1/n S10=symsum(1/n2,n,1,10)2,n,1,10)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）S=S=1/61/6* *pipi2 2S10=1968329/1270080S10=1968329/1270080121nnS例：求函数级数例：求函数级数12nnxS symssyms n x n x S=symsum(x/n S=symsum(x/n2,n,1,inf)2,n,1,inf)S=S=1/61/6* *x x* *pipi2 2q 六大常见符号运算六大常见符号运算 因式分解、展开、合并、简化及通分等因式分解

24、、展开、合并、简化及通分等MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算极限计算极限 计算导数计算导数 计算积分计算积分 符号求和符号求和 解代数方程和微分方程（见实验三、六）解代数方程和微分方程（见实验三、六）q 其它运算其它运算 复合函数计算：复合函数计算：composecomposeMatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） compose(f,g)compose(f,g): : 返回返回f(g(y),f(g(y),其中其中f=f(x),g=g(y),f=f(x),g=g(y), x,y x,y 分别是分别是 f f 和和 g g 的默认自变量。的默认自变量。

25、compose(f,g,z)compose(f,g,z): :返回返回f(g(z),f(g(z),其中其中x,y x,y 分别是分别是 f,gf,g 的默认自变量，最后用符号变量的默认自变量，最后用符号变量z z代替代替y y。 compose(f,g,v,z)compose(f,g,v,z): :返回返回f(g(z),vf(g(z),v为为f f中指定的自变量，中指定的自变量， 令令v=g(z),v=g(z),代入代入 f=f(v)f=f(v)。 compose(f,g,v,w,z)compose(f,g,v,w,z): :返回返回f(g(z),f(g(z),其中其中v,wv,w分别为分别为

26、f,gf,g 的指定自变量，即将的指定自变量，即将v=g(w)v=g(w)代入代入f(v),f(v),最后用最后用z z代替代替w w。例：例： symssyms x y z u t x y z u t f= f=cos(x/tcos(x/t) ); y=sin(y/u)y=sin(y/u); compose(f,g) compose(f,g) compose(g,f) compose(g,f) compose(f,g,z) compose(f,g,z) compose(f,g,x,z) compose(f,g,x,z) compose(f,g,t,z) compose(f,g,t,z) co

27、mpose(f,g,t,y,z) compose(f,g,t,y,z) compose(f,g,t,u) compose(f,g,t,u) compose(f,g,t,u,z) compose(f,g,t,u,z)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）sin(y/u)g ),/cos(txfansans= =cos(sin(y/u)/tcos(sin(y/u)/t) )ansans= =sin(cos(x/t)/usin(cos(x/t)/u) )ansans= =cos(sin(z/u)/tcos(sin(z/u)/t) )ansans= =cos(x/sin(z/ucos(

28、x/sin(z/u)ansans= =cos(x/sin(y/ucos(x/sin(y/u)ansans= =cos(x/sin(y/zcos(x/sin(y/z)q 其它运算其它运算 复合函数计算：复合函数计算：composecomposeMatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二） 计算反函数：计算反函数：finversefinverse finverse(ffinverse(f) ): : 返回返回f f关于关于默认自变量默认自变量的反函数，的反函数， 若若f f的反函数的反函数g g存在存在，则有则有g(f(x)=xg(f(x)=x。 finverse(f,vfinverse

29、(f,v) ): : 返回返回f f关于自变量关于自变量v v的反函数的反函数g g， 即即 g(f(v)=vg(f(v)=v。例：例： symssyms x t x t f=x f=x2+22+2* *t t; finverse(ffinverse(f) ) finverse(f,yfinverse(f,y) )MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）txf22ansans=(-2=(-2* *t+x)t+x)(1/2)(1/2)ansans=-1/2=-1/2* *x x2+1/22+1/2* *t tWarning: finverse(x2+2*t) is not uniq

30、ue作业：作业：MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）1.1.化简化简xxxf2sincos)(exp(iexp(i* *x)x)？2.2. symssyms a b x X Y a b x X Y k=sym(3) k=sym(3); z=sym(cz=sym(c* *sqrt(delta)+ysqrt(delta)+y* *sin(theta)sin(theta); f=af=a* *z z* *X+(bX+(b* *x2+k)x2+k)* *Y Y;试试写出下面命令的结果写出下面命令的结果, ,上机验证，并说明理由上机验证，并说明理由: : findsym(ffindsy

31、m(f) ) findsym(f,1) findsym(f,1) findsym(f,2) findsym(f,2) findsym(f,3) findsym(f,3)MatlabMatlab 符号运算（二）符号运算（二）3.3.设设A A是一个符号矩阵（定义如下），试指出是一个符号矩阵（定义如下），试指出findsym(A,1)findsym(A,1) 的输出结果，并由此得出结论：的输出结果，并由此得出结论：findsymfindsym 确定自由变量时，是对整个矩阵进行的，还确定自由变量时，是对整个矩阵进行的，还是对各个矩阵元素分别进行是对各个矩阵元素分别进行？symssyms a b t u v x y a b t u v x y;A=a+bA=a+b* *x,sin(t)+ux,sin(t)+u; x x* *exp(-t),l