LB第一章信号与系统F

1、第一章第一章 信号与系统信号与系统主要介绍信号与系统的概念以及它们主要介绍信号与系统的概念以及它们的分类方法；的分类方法；讨论线性时不变（讨论线性时不变（Linear Time-Linear Time-Invariant,Invariant,缩写为缩写为LTILTI）系统的特性；）系统的特性；简明扼要地介绍了简明扼要地介绍了LTILTI系统的描述方法系统的描述方法和分析方法；和分析方法；深入阶跃函数、冲激函数及其特性。深入阶跃函数、冲激函数及其特性。1.1 1.1 绪言绪言 1.2 1.2 信号信号1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数

2、1.5 1.5 系统的描述系统的描述1.6 1.6 系统的特性和分析方法系统的特性和分析方法主要内容主要内容确定信号确定信号：是指能够用确定性的图形曲线或解析式：是指能够用确定性的图形曲线或解析式 来准确描述，对于给定某一时刻，有确定的函数值。来准确描述，对于给定某一时刻，有确定的函数值。 随机信号：随机信号：不能用确定的时间函数来描述，只知道不能用确定的时间函数来描述，只知道 它在某一时刻取某一函数值的概率。它在某一时刻取某一函数值的概率。 ttfo sin 如如实际的信号可分为实际的信号可分为确定信号确定信号和和随机信号随机信号两大类。两大类。 本书仅讨论确定信号。本书仅讨论确定信号。 如

3、马路上的噪声，其强度因时因地而异，无法如马路上的噪声，其强度因时因地而异，无法准确预测，因此它是随机信号准确预测，因此它是随机信号。研究随机信号要用研究随机信号要用概率统计的观点和方法。概率统计的观点和方法。1.2 信号确定信号的分类：确定信号的分类：l 连续信号与离散信号连续信号与离散信号l 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号l 实信号与复信号实信号与复信号l 能量信号与功率信号能量信号与功率信号这是根据信号的这是根据信号的定义域定义域来划分的来划分的。 一、连续信号和离散信号一、连续信号和离散信号1 1、连续信号：在连续时间范围、连续信号：在连续时间范围 内有定义的内有定义的信号，称

4、为连续时间信号，简称信号，称为连续时间信号，简称连续信号连续信号。允许有允许有有限个间断点。有限个间断点。)( t例例2 2： 也是也是连续时间信号。连续时间信号。 tAtf sin 1 tf0123tAA 例例1 1：如下图所示的：如下图所示的 即为连续信号。即为连续信号。 tf tf1 0t21131 2 2、离散信号、离散信号 仅在一些离散时刻才有定义的信号仅在一些离散时刻才有定义的信号-离散时间信号。离散时间信号。“离散离散”仅指定义域，只在仅指定义域，只在 有定义。有定义。 , 2, 1, 0 ktkTttTkkk 1本书只讨论本书只讨论 为常数的情况为常数的情况. . kTf则离散

5、信号只在均匀离散时刻则离散信号只在均匀离散时刻 有定有定义义, ,表示为表示为 简记为简记为: :TTTTt2 , 0 ,2 kf 这样的离散信号也常称为这样的离散信号也常称为序列序列。 序列序列 的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。的数学表示式可写成闭合形式，亦可分别列出。 kf 3 ,02,11,5.00,21,12,0)(1kkkkkkkf例例1 1、-3 -2 -1 0 1 2 3 4120.5-1 kf1k为简化表达方法，此序列也可写作：为简化表达方法，此序列也可写作： 0k 1- 0.5 2 1 1 kf例2、 0 , 0) 0( 0,)(2kkekfk 例例3 3、单位阶跃

6、序列、单位阶跃序列 )(k 0, 10,0)(kkk -2 -1 0 1 2 3 4 5 61单边指数序列单边指数序列)(2kfk-2 -1 0 1 2 3 4 5 61 单位阶跃序列单位阶跃序列 k k可见，对连续信号和离散信号的区分主要看信号可见，对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。对于值域可连续亦可离散。的定义域。对于值域可连续亦可离散。二者均为连续二者均为连续为模拟信号。为模拟信号。 二者均为离散二者均为离散为数字信号。为数字信号。 自然界中的实际信号可能是连续信号，也可能是自然界中的实际信号可能是连续信号，也可能是离散信号。离散信号。 例如，语音信号，连续测量的温度曲线都是

7、连例如，语音信号，连续测量的温度曲线都是连续信号。而银行发布利率，按年度统计的人口数量续信号。而银行发布利率，按年度统计的人口数量或国民生产总值都是离散信号。数字计算机处理的或国民生产总值都是离散信号。数字计算机处理的是离散时间信号，当处理对象为连续信号时需要经是离散时间信号，当处理对象为连续信号时需要经采样将它转换为离散时间信号。采样将它转换为离散时间信号。周期信号周期信号：每隔一定时间：每隔一定时间T T（或整数（或整数N N）按相同规律）按相同规律 重复变化的信号。重复变化的信号。 二、周期信号和非周期信号二、周期信号和非周期信号对于连续时间信号，满足对于连续时间信号，满足： ) ()(

8、mTtftf ), 2, 1, 0(m对于离散时间信号对于离散时间信号 ，满足，满足： ) ()(mNkfkf ), 2, 1, 0(m 满足以上关系式的最小的满足以上关系式的最小的T T（或（或N N）值值, ,称为该信号称为该信号的的周期周期。 不具有周期性的信号，称为非周期性信号。不具有周期性的信号，称为非周期性信号。 非周期性信号非周期性信号: :例：例： 求下列函数的周期求下列函数的周期、ttf sin)(1 ttf4sin)(2 21 T8422 T解：解：例：求例：求 的周期。的周期。 kkf6sin)( 1262 N解：解：求连续函数的周期。求连续函数的周期。一般对于离散的正弦

9、或余弦序列一般对于离散的正弦或余弦序列: ，为为不不可可约约的的整整数数、若若整整数数，则则若若 2;22MNMNN MN 2 则则列列。无无理理数数，则则为为非非周周期期序序若若 21 3k1 2041114 32N MN 3422323 例：求例：求 的周期。的周期。kkf 23sin)( 例例1.2-1: 判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性判别下列各序列是否为周期性的，如果是周期性的，确定其周期。的，确定其周期。 67sin11 kkf解：解： 1265cos22 kkf 351cos33 kkf 10512 所以不是周期序列。所以不是周期序列。 351cos33 kkf三、实信

10、号和复信号三、实信号和复信号 实信号实信号： 函数（或序列）值均为实数的信号为函数（或序列）值均为实数的信号为实信号，如，正、余弦信号，单边实指数信号等。实信号，如，正、余弦信号，单边实指数信号等。 复信号：复信号：函数（或序列）值为复数的信号为复信函数（或序列）值为复数的信号为复信号，最常用的是复指数信号。号，最常用的是复指数信号。 连续时间的复指数信号连续时间的复指数信号 stetf )(),( t js tjetetjteeetfttttjt sincos sincos tetft cos)(Re tetft sin)(Im 二者均为实信号，是幅度随二者均为实信号，是幅度随时间变化的正、

11、余弦信号。时间变化的正、余弦信号。 表征振荡的角频率；表征振荡的角频率；0 0 0 增幅振荡；增幅振荡；等幅振荡；等幅振荡；减幅振荡；减幅振荡；0 实指数信号实指数信号。直流信号。直流信号。0 1 tfS S的实部的实部 表征信号幅表征信号幅 度随时间变化的状况度随时间变化的状况: : 可见，复指数信号概括了许多常用信号。它的重可见，复指数信号概括了许多常用信号。它的重要特性之一是：微分或积分后仍为复指数信号。要特性之一是：微分或积分后仍为复指数信号。想想- -想：复指数信号想：复指数信号 是不是周期信号？是不是周期信号？stetf )(对于离散时间的复指数信号对于离散时间的复指数信号)sin

12、(cos )( )(kjkeeeekfkkjkkj )sin(coskjkak )( ea 式式中中kakfk cos)(Re 实实部部katfk sin)(Im 虚虚部部 为幅度随时间变化的为幅度随时间变化的正、余弦序列。正、余弦序列。 , 0 , 0 1 a1 a, 0 1 a 增幅正弦序列；增幅正弦序列；等幅正弦序列等幅正弦序列；减幅正弦序列减幅正弦序列； 反映幅度变化情况：反映幅度变化情况： 反映振荡角频率反映振荡角频率; ; 0 若若 即成实指数序列。即成实指数序列。 )( ea 四、能量信号和功率信号四、能量信号和功率信号 为了知道信号能量或功率特性，有时要讨论信为了知道信号能量或

13、功率特性，有时要讨论信号在单位电阻上的能量或功率。号在单位电阻上的能量或功率。 在区间在区间 的平均功率为的平均功率为ata dttfaaa221 设设 在单位电阻上的瞬时功率在单位电阻上的瞬时功率 )(tf 2tf则在区间则在区间 上的能量为上的能量为ata dttfaa2 信号能量信号能量 dttfE2 dttfaPaaa 221lim信号功率信号功率若信号的能量有界（若信号的能量有界（ 即即 ，这时这时 ），），称其为能量信号；称其为能量信号；若信号的功率有界（即若信号的功率有界（即 ，这时这时 ），），称其为功率信号；称其为功率信号； E00 P P0 E一般而言：一般而言：1.1.仅

14、在有限区间不为零的信号仅在有限区间不为零的信号应是能量信号。如应是能量信号。如单个单个矩形脉冲矩形脉冲等。这些信号，平均功率等。这些信号，平均功率P=0P=0，只能从能量的，只能从能量的角度去考虑。角度去考虑。 2.2.周期信号、阶跃信号周期信号、阶跃信号等是功率信号，它们的能量为等是功率信号，它们的能量为无限。只能从功率的角度去考虑。无限。只能从功率的角度去考虑。 dttfE2 dttfaPaaa 221lim对离散信号有时也要讨论能量，序列对离散信号有时也要讨论能量，序列 的能量的能量定义为定义为 )(kf kkfE2)(序列序列 的功率定义为的功率定义为 )(kf NNkNkfNP2)(

15、121lim3.3.一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号也不是功率信号。如有少数信号既不是能量信号也不是功率信号。如 。te 1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 在信号传输与处理过程中往往需要进行信在信号传输与处理过程中往往需要进行信号的运算号的运算, ,如信号的如信号的加法、乘法、反转、平移和加法、乘法、反转、平移和尺度变换尺度变换等。等。 一、一、加法和乘法加法和乘法 二、反转和平移二、反转和平移 三、尺度变换三、尺度变换一、加法和乘法一、加法和乘法 与与 的和是指同一瞬时两信号之值对应相的和是指同一瞬时两信

16、号之值对应相加所构成的加所构成的“和信号和信号”，即，即 )(1 f)(2 f)()()(21 fff 与与 的积是指同一瞬时两信号之值对应相的积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的乘所构成的“积信号积信号”，即，即 )(1f)(2f)()()(21fff tttf 例如例如: : tf0t收音机的调幅信号是信收音机的调幅信号是信号相乘的一个实例。号相乘的一个实例。解：解： 0 ,2102 , 222 , 2 )()(21kkkkkfkfkkkk 0 ),1(2 02 , 1 2 , 0 )()(21kkkkkfkfk 0 , 10 ,2)(1kkkkfk 2 ,22 ,0)(2kkkfk例

17、例1.3-11.3-1、已知、已知求求 )()(),()(2121kfkfkfkf -20k0k 2k21 k二、反转和平移反转和平移 反转反转：将信号：将信号 f (t) 或或 f (k) 中的中的 t 或或 k 换成换成 t 或或 -k ,几何意义是将几何意义是将 f ( ) 以纵坐标为轴反转以纵坐标为轴反转。f (- t ) -1 0 1 2 t1f ( t )-2 -1 0 1 t1 连续信号的反转连续信号的反转离散序列的反转离散序列的反转10.5f(k) -3 2 1 0 1 2 3 k10.5f(-k) -3 2 1 0 1 2 3 k 平移平移（亦称移位（亦称移位）：）：若若t0

18、 0 ， k00 ，则则： 0ttf 0ttf 是将原信号是将原信号 沿正沿正 t 轴平移时间轴平移时间t0； tf是将原信号是将原信号 沿负沿负 t 轴平移时间轴平移时间t0 ； tf 0kkf 0kkf 是将原信号是将原信号 沿正沿正 k 轴平移轴平移k0个单位个单位； kf是将原信号是将原信号 沿负沿负 k 轴平移轴平移 k0个单位个单位； kf连续信号的平移连续信号的平移:f ( t )-2 -1 0 1 t1 2 tf 2 tf0 2 3 t1 右移时间右移时间2 2-4 -3 -2 -1 0 t1左移时间左移时间2 2离散序列的平移离散序列的平移：10.5f(k)-3 2 1 0

19、1 2 3 k 5 4 3 2 1 0 1 kf(k+2)10.5左移左移2 2个单位个单位f(k-2)10.5 1 0 1 2 3 4 5 k右移右移2 2个单位个单位 例如在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号例如在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间比发射信号延迟了时间 ，利用该延迟时间，利用该延迟时间 可计算可计算出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的信号就出目标与雷达之间的距离。这里雷达接收到的信号就是延时信号。是延时信号。0t0t 如果如果 是已录制声音的磁带，则是已录制声音的磁带，则 表示表示将此磁带倒转播放产生的信号。将此磁带倒转播放产生的信号。 tf t

20、f 推荐解法推荐解法：先画：先画f ( t t0 )或或f ( k k0 ),再反转再反转；例、已知例、已知f (t) 的波形如下的波形如下，试画出试画出f ( t+ 2)的波形的波形。f ( t )-2 -1 0 1 t1已知已知 ， 如何画如何画 f ( t t0 ) 及及 f ( k k0 )？ f左移左移2 2个单位个单位f ( t+2 )-4 -3 -2 -1 0 t1 0 1 2 3 4 tf ( -t +2)1反转反转2 tttt 思考：已知思考：已知f (t) 的波形如下的波形如下，试画出试画出f ( t+ 2)的波形的波形。正确吗？正确吗？f ( t )-2 -1 0 1 t

21、1f ( t-2 )0 2 3 t1 -3 -2 0 t1 2 tf 2 tf右移右移2 2个单位个单位2 tt反转反转tt 右移右移4 4个单位个单位4 tt 2 tf另外：已知另外：已知f (t) 的波形如下的波形如下，试画出试画出f ( t+ 2)的波形的波形。也可以先画出也可以先画出 但接下来应右移但接下来应右移2个单位。个单位。f ( t )-2 -1 0 1 t1右移右移2 2个单位个单位2 tt反转反转tt tf -1 0 2 t1 tf 2 tf 0 1 2 3 4 t1 一般而言，对于最后的结果自己可以找两个特殊点一般而言，对于最后的结果自己可以找两个特殊点进行验证。例如刚才

22、的例题，我们可以进行验证。进行验证。例如刚才的例题，我们可以进行验证。-2 -1 0 1 t1 tf 1f 0f 2 f 2 f 1f 0f 2 tf 0 1 2 3 4 t1 将将f (t) 的自变量乘以一个不为零的常数的自变量乘以一个不为零的常数 a ,所得所得的信号的信号 f (at)称为称为 f (t) 的尺度变换信号的尺度变换信号。三、三、尺度变换（横坐标展缩）尺度变换（横坐标展缩） 0101aaaf (at)是将原信号以原点为基准沿横轴压缩是将原信号以原点为基准沿横轴压缩到原来的到原来的1/a； f (at)是将原信号以原点为基准沿横轴扩是将原信号以原点为基准沿横轴扩展至展至1/a

23、倍倍 ;a1f (at)是将原信号反转并压缩或扩展至原来是将原信号反转并压缩或扩展至原来的的 ;连续信号的尺度变换连续信号的尺度变换 离散信号通常不作展缩运算，这是因为离散信号通常不作展缩运算，这是因为f (ak)仅在仅在ak为整数时才有定义，而当为整数时才有定义，而当a1或或a1,且且a 1/m(m为整为整数）数）时，它常常丢失原信号时，它常常丢失原信号f f( (k k) )的部分信息。的部分信息。 例如：例如：a=2f (k)-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 k 1234224f (2k) -2-1 0 1 2 k 244 信号信号 (式中式中a 0) 的波形可以通过对信号的波形可

24、以通过对信号 的平移、反转的平移、反转（若若a0)和尺度变换获得和尺度变换获得。 batf tf例例1.3-2 已知已知 的波形的波形，画出画出 的波形的波形。)(tf)42( tf 11p推荐解法：平移推荐解法：平移 反转反转 尺度变换尺度变换。 -2 0 1 t1 tf 信号信号 (式中式中a 0) 的波形可以通过对信号的波形可以通过对信号 的平移、反转的平移、反转（若若a0 a0时，时，a a ( (t t) )表示表示t=0t=0处强度处强度为为a a的冲激函数；的冲激函数； a0a0时，时，a a ( (t t) )表示表示t=0t=0处强度处强度为为|a|a|的负冲激函数。的负冲激

25、函数。 0 t0 t1)(0tt a (t)0 t ta 表示何意义？表示何意义？引入阶跃函数后可简化函数的表示。引入阶跃函数后可简化函数的表示。例如：门函数例如：门函数 tg t 0 22 1现可表示为现可表示为： 22 tttg或或 22 tttg elsettg , 022 , 1 例如：如下图所示的函数：例如：如下图所示的函数：可表示为可表示为： 2111 tttttttf tft 2 1 0 1 1例如：如下图所示的函数：例如：如下图所示的函数：可表示为：可表示为： 21 tttttf tft 2 1 0 1 1 1 221 ttt 例如：如下图所示的序列：例如：如下图所示的序列：可

26、表示为：可表示为： 31 kkkf kfk 3 2 1 0 1 1 阶跃函数可用来描述在阶跃函数可用来描述在t=0t=0时刻接入的信时刻接入的信号源，如：号源，如： t=0t=0时刻对某一电路接入电源，时刻对某一电路接入电源，并且无限持续下去。并且无限持续下去。 冲激函数可用来描述作用时间极短，但冲激函数可用来描述作用时间极短，但取值极大的物理量。如力学中瞬时作用的冲取值极大的物理量。如力学中瞬时作用的冲击力，电学中的雷击电闪等。击力，电学中的雷击电闪等。二二、冲激函数的性质冲激函数的性质 tfttf 0 设设f(t)在在t=0处连续，且处处有界，则：处连续，且处处有界，则： 0 0 0 fd

27、ttfdttfdtttf 0 fdtttf 仍为一个冲激函数仍为一个冲激函数，但强度为但强度为 f(0)。 1、 及其导数与普通函数的乘积（取样）及其导数与普通函数的乘积（取样） t tftfttf 00 )()0()()0( )()( )()()()()()()()( )()(tftfttfttfttfttfttfttf ) 0( )() 0()() 0( )() 0()(0)()(fdttfdttfdttftfdtttf)0()()(fdtttf ? ttf 01 tnnntfdtttf 推推论论： )(tet tftfttftfttf 000 )(tt )(tt )(tet 例例1.4-

28、11.4-1：分别化简：分别化简函数函数 （ 为常数为常数)与与 的的乘积乘积。（书上。（书上19页）页）解解：)(),(tt tet, 0)(t )(t )()(tt 2、移位移位 处的冲激函数为处的冲激函数为 则则： 在在 1tt )(1tt )()(11tttf )()( )(111tfdttttf dttttf)( )(1 )()(1tttf )()(1tttf dttttf)()(1 )()()()(1111tttftttf )(1tf 240 3 tf(t) 30,3223, 0, 0)(tttttf 解：解：它可看作是函数它可看作是函数 t322 与与 )3()( tt 的乘积，

29、即的乘积，即 )3()()322()( ttttf 例例1-4.21-4.2)(tf)(tf如图所示如图所示, ,求其导数求其导数。 对上式求导，得对上式求导，得)3(4)(2)3()(32 tttt )3()()322()3()(32 ttttt )3()()322()3()()322()( tttttttf 常义导数常义导数强度等于强度等于2 2和（和（-4-4）的冲激函数。的冲激函数。其波形图见下页：其波形图见下页：)3()()322()( ttttf 240 3 tf(t)20 3 t tf4 32求导 )3(4)(2)3()(32 tttttf 0 ti tf(t) itf itf一

30、般，设一般，设f(t)是分段连续函数，它在是分段连续函数，它在 处有第一类间断点处有第一类间断点。 ,2,1 ittiitt 处，其左、右极限分别处，其左、右极限分别为为 itf itf和和则分段连续函数则分段连续函数f(t)的导数为的导数为： iiicttJtftf iiitftfJ跳跃度跳跃度常义导数常义导数 强度等于强度等于 的的冲激函数。冲激函数。iJ例例1-4.21-4.2)(tf)(tf如图所示如图所示, ,求其导数求其导数。 240 3 tf(t)解解：20 3 t tf4 32 )3(4)(2)3()(32 tttttf 常义导数常义导数强度等于强度等于2 2和（和（-4-4）

31、的冲激函数。的冲激函数。3 3、尺度变换、尺度变换?)( at ? at ?)()( atn )(1)(taat taataat1 taaat11 )(11)()()(taaatnnn 4 4、奇偶性、奇偶性取取 1a)() 1()()()(ttnnn )(11)()()(taaatnnn 当当n n为偶数时为偶数时，)()()()(ttnn 是是t t的偶函数的偶函数 ),(),()2(tt 是是t t的偶函数的偶函数是是t t的奇函数。的奇函数。 当当n n为奇数时为奇数时，)()()()(ttnn ),(),()3()1(tt 是是t t的奇函数。的奇函数。 例题：例题：1.10 1.1

32、0 （8 8） dxxxt1 dxxxdxxxtt 1 dxxtt tt tftfttf 00 考虑：考虑： dxxt 2 dtt322 dtt dtt 11100 t dxtxx 112 elset -t 0,11,21.5 1.5 系统的描述系统的描述 主要内容：主要内容： 一、系统的数学模型一、系统的数学模型 二、系统的框图描述二、系统的框图描述分析一个系统分析一个系统 建立描述系统基本特性的建立描述系统基本特性的数学模型数学模型用数学方法求出它的用数学方法求出它的解解对所得的结果赋予对所得的结果赋予实际的含义实际的含义我们分析的系统为我们分析的系统为连续或离散的动态系统连续或离散的动态

33、系统。动态系统动态系统：指任意时刻的响应：指任意时刻的响应，不仅与该时刻的激励不仅与该时刻的激励 有关，而且与它过去的历史状况有关有关，而且与它过去的历史状况有关 。 1 tftfty如如累加器，积分器，延时系统等累加器，积分器，延时系统等。系统按响应与激励之间的关系分为：系统按响应与激励之间的关系分为：即时系统即时系统：任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励：任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励， 而与它过去的历史无关。如而与它过去的历史无关。如 , 加法器，数乘器等。加法器，数乘器等。 52 tfty动态系统动态系统 即时系统即时系统激励与响应均为连续信号的系统，为激励与响应均为连续信号的系统，

34、为连续系统连续系统。激励与响应均为离散信号的系统，为激励与响应均为离散信号的系统，为离散系统离散系统。系统按响应与激励的信号形式系统按响应与激励的信号形式连续系统连续系统离散系统离散系统 一、系统的数学模型：一、系统的数学模型： 描述描述连续系统连续系统的数学模型：的数学模型：微分方程微分方程；描述描述离散系统离散系统的数学模型：的数学模型：差分方程；差分方程； 例：如图所示例：如图所示RLCRLC电路，如果将电路，如果将 看成激励，写出以看成激励，写出以 为响应的微分方程。为响应的微分方程。(P35 1.12)(P35 1.12)(tuc)(tus解：解：)()()(tututuSCL 1d

35、ttdiLtuLL)()( )()()(tititiCRL )()(tCuRtuCC tLCutuRLdttdiLtuccLL)()( tutuRLtLCutututucccCLS )()()( )(111tuLCtuLCtuRCtuSccc 代入（代入（1 1）整理得整理得 )( tuL例：如书上例：如书上2323页图所示的力学系统，质量为页图所示的力学系统，质量为M M的物体受的物体受外力外力 的作用将产生位移的作用将产生位移 。将外力。将外力 看作系统的看作系统的激励，位移激励，位移 看作系统的响应。看作系统的响应。 tf ty tf tyM M tf ty 解：根据胡克定律，弹簧产生解

36、：根据胡克定律，弹簧产生的恢复力的恢复力 tkytfk 其中其中K K为弹性系数；物体为弹性系数；物体M M与地面的摩擦力为与地面的摩擦力为 tytf 其中其中 为粘性摩擦系数；根据牛顿第二定律，作用于为粘性摩擦系数；根据牛顿第二定律，作用于该系统的合力应等于该系统的合力应等于 , ,即即 tMy tkytytftftftftMyk tfMtyMktyMty1 )(tutyC )(tutfS若用若用则有：则有： )(111tuLCtuLCtuRCtuSccc )(001tfbtyatyaty 微分方程的微分方程的一般形式：一般形式： tfbtyajmjjinii 001 na一般：一般： tf

37、MtyMktyMty1 力学系统：力学系统：电路系统：电路系统：例例 ：某人向：某人向银行贷款银行贷款 万元，月息为万元，月息为 ，他定于每月初他定于每月初还款，设第还款，设第 月初还款为月初还款为 万元万元。若令第若令第 月尚未还清的月尚未还清的钱款数为钱款数为 万元万元，则有则有 Mkk)(kf)(ky)() 1()1 ()(kfkyky )() 1()1 ()(kfkyky 差分方程的一般形式差分方程的一般形式： 00jkfbikyamjjmniin 1 na一般一般：二、系统的框图表示二、系统的框图表示在用方框图描述系统时，常用的基本单元有：在用方框图描述系统时，常用的基本单元有： 积

38、分器积分器 tf dxxftyt 延时器延时器 T tf Ttfty 数乘器数乘器 加法器加法器 延迟单元延迟单元 afy 1f 2f 21ffyD kf 1 kfky faa f 例例1.5-11.5-1已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。已知某连续系统的框图，写出系统的微分方程。)()()()(01 tyatyatfty )()()()(01 tftyatyaty ty1a 0a ty tf解：解：（书上（书上2525页）页） ty例例1.5-21.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。1a 0a ty tf 1b2b0b tx t

39、x tx解：解：先设中间变量，再对两个加法器列方程，最后消先设中间变量，再对两个加法器列方程，最后消去中间变量。去中间变量。（书上（书上2525页）页）消去中间变量消去中间变量用用 乘乘 ： 0a)(ty xabxabxabtya0001 020 )( 1a用用 乘乘 ： )(ty 1011 121 )(xabxabxabtya 又： 0 12 )(xbxbxbty )( 1tfb )()()()()()()()(01 201 txbtxbtxbtytftxatxatx )()()(01 tyatyaty )( 2tfb)(0tfb 2 kx kx 1 kx1aD D0a ky kf 2b0b

40、对两个加法器列式：对两个加法器列式： )2()()()()2()1()(0201kxbkxbkykfkxakxakx )2()()()()2()1()(0201kxbkxbkykfkxakxakx消去中间变量：消去中间变量：)2( )( )( 02 kxbkxbky)(2kfb) 3() 1() 1(10121 kxabkxabkya) 4() 2() 2( 00020 kxabkxabkya用用 乘以乘以0a 2 ky用用 乘以乘以1a 1 ky ) 2() 1()(01kyakyaky)2(0 kfb 总之，已知框图列写其微分总之，已知框图列写其微分( (或差分方程或差分方程) )的一般步

41、骤是：的一般步骤是：)(tx 连续系统，设最右端积分器的输出为连续系统，设最右端积分器的输出为 ；2.2.逐个写出加法器输出信号的方程；逐个写出加法器输出信号的方程； 3.3.消去中间变量。消去中间变量。 1.1.选中间变量：选中间变量：)(kx 离散系统，设最左端的延迟单元输入为离散系统，设最左端的延迟单元输入为 ； tfbtfbtftyatyaty01201 b )()()( )()()()()()()()(01 201 txbtxbtxbtytftxatxatx1a 0a ty tf 1b2b0b tx tx tx例例1.5-21.5-2某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程某连续系统

42、如图所示，写出该系统的微分方程。（书上书上2626页页）例例1.5-31.5-3、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。（书上书上2626页页） 2 kx kx 1 kx1aD D0a ky kf 2b0b解：解： ) 2() 1()(01kyakyaky)(2kfb )2(0 kfb )2()()()()2()1()(0201kxbkxbkykfkxakxakx1.6 1.6 系统的特性和分析方法系统的特性和分析方法 主要内容：主要内容： 一、线性一、线性 二、时不变性二、时不变性 三、因果性三、因果性 四、稳定性四、稳定性 五、五、LTILT

43、I系统分析方法概述系统分析方法概述 对于连续或离散的动态系统，按基本特性可分为对于连续或离散的动态系统，按基本特性可分为线性线性系统与非线性系统，时变系统与非时变系统，因果系统与系统与非线性系统，时变系统与非时变系统，因果系统与非因果系统，稳定系统与非稳定系统非因果系统，稳定系统与非稳定系统等等。本书主要讨论等等。本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)LTI(Linear Time Invariant)系统。系统。一、线性一、线性设系统的激励与响应之间的关系为设系统的激励与响应之间的关系为: : )()( fTy线性性质包括两个内容：线性性质包括两个内容：齐次性齐次性

44、和和可加性可加性。1.齐次性齐次性设设 为任意常数，若为任意常数，若 )()( yfT ，则称系统则称系统是齐次的或均匀的是齐次的或均匀的。 若系统对若系统对 )()(21 ff的响应等于各激励单独作用所的响应等于各激励单独作用所则称该系统是可加的。则称该系统是可加的。 引起的响应之和即引起的响应之和即 , ,)()()()(2121 fTfTffT2.可加性可加性 一个系统既是一个系统既是齐次的齐次的又是又是可加的可加的，则称该系统是，则称该系统是线性的。线性的。设设 为任意常数，则对于线性系统应有为任意常数，则对于线性系统应有21,)( )( )() ( 22112211 fTfTffT

45、动态系统的响应取决于动态系统的响应取决于 输入信号输入信号: )( f初始状态初始状态: )0(x这样，动态系统在任意时刻这样，动态系统在任意时刻 （或或 ）的响应的响应 可以由初始状态可以由初始状态 和和 区间区间 或或 上上的激励的激励 完全的确定完全的确定。 0t0k)( y)0( x, 0t, 0k)(f系统的完全响应可写为系统的完全响应可写为: : )(,)0()( fxTy根据线性性质，线性系统的响应是根据线性性质，线性系统的响应是 和和 单独作用单独作用所引起的响应之和所引起的响应之和, ,即即: )( f )0(x fTxTy,00,0 零输入响应零输入响应)( zsy)( z

46、iy零状态响应零状态响应零零状状态态响响应应零零输输入入响响应应)()()( zsziyyy分解特性分解特性这样，动态系统是线性系统，应满足这样，动态系统是线性系统，应满足：1、分解特性分解特性：零零状状态态响响应应零零输输入入响响应应)()()( zsziyyy2 2、零输入线性：当有多个初始状态零输入线性：当有多个初始状态 时时，对所对所有的初始状态有的初始状态 呈线性呈线性。 0 x 0,021xx3 3、零状态线性零状态线性：当有多个激励当有多个激励 时时，对所有对所有的的 呈线性呈线性。 f 21, ff 总之，一个既具有分解特性，又具有零状态线性总之，一个既具有分解特性，又具有零状

47、态线性和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线和零输入线性的系统，称为线性系统，否则称为非线性系统。性系统。二、二、时不变性时不变性 对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导对一个系统，若激励在时间上有一个任意平移，都导致零状态响应致零状态响应 在时间上有相同的平移，则称该系统在时间上有相同的平移，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统为时不变系统，否则称为时变系统。 tyzs也就是说，若也就是说，若 )( zsyf)()( dzsdttyttf )()(dzsdkkykkf 则则 称该系统为称该系统为时不变时不变系统系统。根据根据LTILTI系统的线性和时不变性，可得到系统的线

48、性和时不变性，可得到LTILTI系系统的统的微分特性和积分特性：微分特性和积分特性：( (书上书上2929页）页）一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变一个系统既是线性又是时不变的，称线性时不变系统。简记为系统。简记为LTILTI系统系统. . )(,0)(tfTtyzs dttdydttdfTzs)()(,0 tzstdxxydxxfT )()(,0即若即若则则：利用这两个性质可简化计算。利用这两个性质可简化计算。 例例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为某连续系统和离散系统的全响应分别为 f 0, 0 20, 0 10 kkfbxakytdfbaxtykt式中式中a,b为常数

49、为常数, 0 x为初始状态为初始状态,在在t=0或或k=0时接入时接入激励激励。上述系统是否为线性的。上述系统是否为线性的,时不变的时不变的?(书上书上29页）页）解：解：(1)系统的零输入响应和零状态响应分别为系统的零输入响应和零状态响应分别为 0, )()0()(0 tdfbtyaxtytzszi 符合分符合分解特性解特性 、 满足零输入线性和零状态线性，满足零输入线性和零状态线性，)(tyzi)(tyzs因而该系统是线性的因而该系统是线性的。,),()(001ttttftf 设设其零状态响应其零状态响应 ttzsttdtfbdfbty000011, )( )()( 0tx ddx 0t

50、)(0tt 令令 ，则则 ，代入上式代入上式，相应的积分相应的积分限改写限改写 为为 到到 ，得得 0001, )()(tttzsttdxxfbty 00, )(ttdfbtytzs 0, )(000 tdfbttyttzs 0001, )()(tttzsttdxxfbty由于由于 是在是在 时接入的时接入的，在在 时时 ， ，故上式可改写为故上式可改写为：)(tf0t0t0)(tf 0010)()(ttydxxfbtyzsttzs 故该系统是时不变的故该系统是时不变的。解：系统的零输入响应和零状态响应分别为：解：系统的零输入响应和零状态响应分别为： 而且零输入响应满足零输入线性。而且零输入响

51、应满足零输入线性。 但零状态响应不满足可加性，因为一般而言但零状态响应不满足可加性，因为一般而言 )()()()(2121kfkfkfkf 故该系统是非线性的故该系统是非线性的。 )()()0()(kfbkyxakyzskzi 符合分解特性符合分解特性 0, 0 2 kkfbxakyk设设 001),()(kkkkfkf 该系统的零状态响应该系统的零状态响应：)()()()(0011kkykkfbkfbkyzszs 故该系统是时不变的故该系统是时不变的 。)()(kfbkyzs )()(00kkfbkkyzs 三、因果性三、因果性 零状态响应不出现于激励之前的系统（或任一时零状态响应不出现于激

52、励之前的系统（或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统。而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统。0t现在时刻现在时刻t0tt 0tt 过去时刻过去时刻将来时刻将来时刻0k现在时刻现在时刻k0kk 0kk 过去时刻过去时刻将来时刻将来时刻一般来讲，若一般来讲，若0)( f0tt 0kk （或或 ）就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。 0)(,0)( fTyzs则则0tt 0kk （或或 ） kizszstzszsifkykfkfkydxxftytfty)

53、()( ),2(2) 1(3)()()( ),1(3)(例如例如：都是因果系统都是因果系统。 )2()(tftyzs 想一想想一想： 的系统是不是因果系统的系统是不是因果系统？)1()( kfkyzs而而 的系统的系统: 是非因果的是非因果的0 , 0)(tttf 设设2 , 0)2()(0tttftyzs 则则：可见在区间可见在区间 , 0)(,200 tytttzs即零状态响应出现于激励之前，因而该系统是非因果的即零状态响应出现于激励之前，因而该系统是非因果的 。20t tftyzs2 t0t00tt tf0四、稳定性四、稳定性对有界的输入对有界的输入 ，系统的零状态响应系统的零状态响应 也是有也是有界的界的，这