华北电力大学大一上学期高数期末考试题和答案

1、华北电力大学高数期末考试一、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）1.已知 cos x 是 f( x ) 的一个原函数 , 则 f ( x )cos x d x.x2cos2 n1xlim(cos2cos2L)2.nnnnn.12 x 2 arcsinx11x 2dx3. 1.2二、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分,共16分)4.设 ( x)1x ， ( x )333x，则当 x1时（）1x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（ B） ( x)与 ( x) 是等价无穷小；（C） ( x) 是比(x) 高阶的无穷小；（D）( x)

2、是比(x) 高阶的无穷小 .5.设 f ( x )cos x ( xsin x ), 则 在 x 0处 有 () .（ A） f(0)2（B） f (0)1（ C） f(0)0（D） f ( x ) 不可导 .xF ( x )6. 若（A）函数（B）函数（C）函数（D）函数( 2t x ) f (t )dt0 ，则（）.0，其中 f ( x) 在区间上 ( 1,1)二阶可导且 f ( x)F ( x) 必在 x0 处取得极大值；F ( x) 必在 x0 处取得极小值；F ( x) 在 x0处没有极值，但点 (0, F (0) 为曲线 yF ( x) 的拐点；F ( x) 在 x0处没有极值，点

3、 (0, F (0) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。17.设 f ( x )是连续函数，且f( x )x2f ( t )dt , 则 f( x ) ()0x 2x2（A） 22（ D） x 2 .8.（B） 2（C） x 15 小题，每小题8 分，共 40 分）三、解答题（本大题有9.设函数 yy(x) 由方程 exysin( xy )1 确定，求 y ( x ) 以及 y (0) .求1x 7d x .10.x (1x7)x ，设 f ( x )xex01f ( x )dx x 2求11.2 x， 0x131f ( x)12.设函数 f (x) 连续，g ( x )f ( xt )dt

4、limA， A 为常数 . 求 g (x) 并讨论 g ( x)在 x0，且 x 0x0 处的连续性 .113.求微分方程 xy2 yx ln x 满足y(1)9 的解.四、 解答题（本大题10 分）14. 已知上半平面内一曲线yy( x) ( x0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点 M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y轴、直线 xx0 所围成面积的2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题10 分）15. 过坐标原点作曲线(1) 求D的面积六、证明题（本大题有yln x 的切线，该切线与曲线yln x 及 x 轴围成平面图形 D.A ；(

5、2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.2 小题，每小题 4 分，共 8 分）q1设函数 f ( x ) 在 0,1f ( x ) d x q f ( x )dx16.上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1 ， 00.设函数 f ( x ) 在 0,f ( x ) d x0f ( x ) cos x dx017.上连续，且 0，0.证明：在 0,内至少存在两个不同的点1, 2，xF ( x )f ( x )dx使 f (1 )f ( 2 ) 0. （提示：设0）解答一、单项选择题 (本大题有 4小题, 每小题 4 分,共 16分)1、 D2、 A3、C 4、C二、填空题

6、（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）e61(cos x)2c .7.2 . 8.5.6. 2x3.三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导exy (1y )cos( xy )( xyy)0y ( x )exyy cos( xy )exyx cos( xy )x 0, y0， y (0)110. 解： ux 77 x6 dxdu原式1(1u ) du1 ( 12)du7u(1u)7u u11 (ln | u |2ln | u 1|)c71 ln | x 7 |2 ln |1 x 7 | C771f ( x )dx012x x 2 dx11.

7、 解：33xe xdx00xd ( e x )11 ( x 1)2 dx30xe xe x00cos2d(令 x 1 sin )3242e3112. 解：由 f (0)0 ，知 g(0)0 。x1xt uf ( u )du0g ( x )f ( xt )dtx( x 0)0xxf ( x)f (u)dug ( x )0( x0)x2xf (u)duf ( x )Ag (0) lim0limx 0x 2x 02 x2xxf ( x )f ( u)duAlim g ( x )lim02Ax 0x 0x2dy2 yln x13. 解： dxxye2 dx(e2 dxxx ln xdx C )1x l

8、n x1xCx 2391 x ln x1 xy(1)1, C0y9，39四、 解答题（本大题10 分）yxy d xy14. 解：由已知且2，0将此方程关于 x 求导得 y2yy特征方程： r 2r20解出特征根：其通解为yC 1e xC 2 e2 xA2 ， g ( x) 在 x0 处连续。r11,r22.C12,C 21代入初始条件 y(0)y (0) 1，得33y2 e x1 e2 x故所求曲线方程为：33五、解答题（本大题10 分）( x 0 , ln x0 ) ，切线方程：yln x 01 ( x x 0 )15. 解：（ 1）根据题意，先设切点为x 0由于切线过原点，解出 x0e

9、，从而切线方程为：y1 xe11A(e yey)dye1则平面图形面积02（ 2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为V1，则V11e23曲线 yln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为 V21V2( ee y )2 dy0VV1V 2(5e212e3)D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12 分）q1qq1f ( x) d xqf ( x)dxf ( x) d xq(f ( x) d xf ( x)dx)16. 证明： 0000qq1(1q)f ( x) d x qf ( x)dx0q1 0,q 2 q,1f (1 )f (2 )q (1 q) f ( 1 ) q (1 q) f ( 2 )0故有：q1f ( x ) d xqf ( x )dx00证毕。17.xF ( x )f (t )dt , 0x) 上可导。 F ( x )f ( x ) ，且 F ( 0) F ( ) 0证：构造辅助函数：0。其满足在 0, 上连续，在 (0,0f ( x) cos xdxcos xdF ( x)F ( x ) cos x |0sin x F ( x )dx由题设，有