同济大学高数试卷大一下学期期末考试

1、;.同济大学 2009-2010 学年第二学期高等数学C(下)期终试卷一、选择题 . （本题共有5 小题，每小题3 分，满分 15 分，每题只有一个正确答案）1、下列微分方程为一阶线性方程的是：【 D】A : yy ' 1 ；B : y ' ey1；C : y ' y2D : y 'y2y；x。2、若向量a2,1, 0 , b1,1,2 , c0,1, 2k，ab c0 ，则 k【 B】且A :1；B:2；C :3；D :4。3、若向量 a1,2, k在向量 b2,1, 2上的投影为2，则 k【 C】A :1；B:2；C :3；D :4。4、设 zxxex co

2、s y ，则z【A 】yyA :xxsin y ；B :1xexsin y ； C :1xsin y ；xxsin y 。y2ey2y2eD :2ey5、交换二次积分的次序：2dy2 yfx, y dx【 A】0y24x4xA : dxx f x, y d y ；B : dx 2 f x, y dy ；020x22x22 xC :0 dxx2 f x, y d y ；D :0 dxxf x, y dy 。二、填空题（本题共4 小题，每小题4 分，满分16 分，只需将答案填入空格）6、微分方程y"2 y '2 y0 的通解为 yex c1 cosxc2 sin x.7、设向量

3、a2,3,2 , b2,3,0 ，若 xa x,b，且 x7 。则向量 x3,2,6 。2x4 yz07x 9y98、空间直线y2z在 xoy 面上的投影直线方程为：z。3x909、设函数 z f2xy ，其中函数f 具有二阶导数，则2 z2 f " 2x y。x y;.;.三、解答题（本题共有6 小题，每小题7 分，满分42 分，需写出具体解题过程）10、求微分方程： x dyy21 的通解。dydxytan ln xcdx1y2x11、一平面过原点及点6,3,2 ，且与另一平面4xy2z8垂直，求平面方程。n6,3,24,1, 24,4,62x2 y3z0 12、已知函数 zzx

4、, y由 zlnz1sin xy所确定，求 dz 。dzz1 cosxyydxxdyz13、求函数 fx, y4xyx2y2 的极值点。f x42x0x220, B0, C2;0 ,(2, 2) 为极大值点 42 y0y, Af y214、计算二重积分：Ix sin ydxdy ，其中 D 由直线 yx, y0 和 x1所围。Dx1xx sin ydy1x2 cos yx11Idxx21cos1 dx1cos1 0dx000xx0315、计算二重积分：d d，其中222。Ix x yDx, y xya , y 0 a 0DI2cosd23d2 a32 d2 acosa00033四、综合题（本题

5、共有3 小题，每小题9 分，满分 27 分，需写出具体解题过程）16、求微分方程：x21dy2xycosx dx0满足初始条件：y x 01 的特解。 y '2xycosxx21y'cos x ,ysin xc , c1 ,ysin x1 x21x21x2x2 1x2117、求函数： z2xy在椭圆y21 上的最值。2( x22 x04141 L2xyy21) ,12 y0, (,) ,(,) , zmax3; zmin3 2x22 y223 33 318、球面 x2y2z2a2含在柱面 x2y2b20ba内部分的面积恰为全球面积的一半，求b 。 S2a2ay2dxdy4a a

6、a2b22a2b3 a x2 y2 b2x22;.;.2009 2010 学年第二学期 高等数学 C (下 )重修一、选择题 . （本题共有5 小题，每小题3 分，满分15 分，每题只有一个正确答案）1、微分方程 y 'y 的通解为：【 C】A : y ex ；B : y exc ；C : y cex ；D : y ecx 。2、若向量 a1, 2, 3 , b2, k, 6，且 ab ，则 k【 D】A:0 ；B:4；C: 6；D: 10。3、计算向量： 2aba 3b【 B】A : 5 a b ；B : 7 a b ；C : 5 b a ；D : 7 b a 。4、设 z exyl

7、nx ，则z【A 】yxA : yexy1 ；B : yexy1 ；C : exy1 1 ；D : yexyy 。xxx yx5、二重积分：x23y2 dxdy【A 】x2y2 1A : ；B : 2；C : 3；D : 4。二、填空题（本题共4 小题，每小题4 分，满分 16 分，只需将答案填入空格）6、微分方程 y"y0 的通解为 yc1exc2 e x.7、到平面 z1和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：x2y22z 1。8、曲面： 2a2z2x2a2 y20在点a, a, aa0 处的切平面方程为：xy za0。9、设函数 zfx y , yx，其中函数 fu,v可微，则zx

8、y ln y f1 'xyx1 f2 '。y三、解答题（本题共有6 小题，每小题7 分，满分42 分，需写出解题过程）10、求微分方程：dyy 1 的通解。dxx解：y ' y 1y '1yln x cy x ln x cxxxx;.;.11、已知三点A 2, 3,1 , B 2,1,1 , C 6,3,1 ，求点 A 到直线 BC 的距离。解：12、已知函数BA0,2,2 , BCBABC4,8, 86 54, 2, 0 d2 55BCzz x, y 由 ezzxy 3 所确定，求z ,z 。xy解：令Fezz xy 3Fxy, Fyx, Fzez1zy z

9、,zxzx 1ey1 e13、求函数 f ( x, y)( x2y2 )22( x2y2 ) 的极值点。解：f x4x( x2y 2 ) 4x0驻点为：0, 0,1,0 ,1，0f y4y( x2y2 ) 4 y 0fxx12x24 y24,f xy8xy,f yy4x2 12y24, 有极小值点 : 1,0和1,014、计算积分：22 xx2y2 )dy 。dx0(x202cos3 解：I2 d2d4 2 cos4d000415、计算二重积分：xdxdy 。x2 y2x1x x2121228解： I0xdxxx2 dy02xx xdx40t(1t)dt15四、综合题（本题共有3 小题，每小题

10、9 分，满分27 分，需写出解题过程）16、求微分方程：y "y '1的通解。解：200, 1y* AxA 1y c1c2 exx17、求抛物面 z x2y2 到平面 xyz10 的最近距离。解： 令 L (x y z 1)2( x2y 2z)Lx2 x yz 12x0Lx2 x y z 1 2y 0x11x y z 1Lx2 x y z 10y, zdmin223zx2y218、求由曲面： z2x2 与 zx22 y2 所围的立体体积。解：D xyx, yx2y211 1 1 (,)36V2 x2( x22 y 2 )dxdy212 ) d2 2 ( 11) d(2 2Dxy0024;.;.*yxy '2,y 10arctan yln x2y 20xyy 'x*y 'xyxy2*y ' 3 y 2x 1, y 0 0y e3x1 2x2 y2*y 'yxx*y 'cot xy3*y &quo