同济版高等数学下册练习题(附答案)

1、学习资料收集于网络，仅供参考第八章测验题一、选择题：1、若 a ，b 为共线的单位向量， 则它们的数量积a b().(A) 1 ； (B)-1 ；(C) 0 ； (D) cos(a, b) .向量 ab 与二向量 a 及 b 的位置关系是 ( ).共面；(B) 共线；(C) 垂直； (D) 斜交 .3、设向量 Q 与三轴正向夹角依次为, ,，当cos0时，有 ()( A)Qxoy面；( B)Qyoz面;(C )Q面;(D )Q面xozxoz5、 ()2()2222(A)； (B)2；2222(C)； (D)2 .6、设平面方程为 BxCzD0，且 B ,C ,D0 ，则平面 ().(A) 平行

2、于 x轴； (B) 平行于 y 轴 ；(C) 经过 y 轴 ； (D) 经过 y 轴 .A1 x B1 yC1 z D107、设直线方程为D20且B2 yA1, B1, C1, D1 , B2 , D20 ,则直线 ( ).(A) 过原点； (B) 平行于 x 轴 ；(C) 平行于 y 轴 ； (D) 平行于 x 轴 .8、曲面 z2xy yz5x 0 与直线xy 513z 10的交点是 ().7(A)(1, 2,3),(2, 1,4 ) ；(B) (1,2,3)；学习资料(C) (2,3,4)； (D)(2, 1, 4).9、已知球面经过( 0 ,3 , 1 ) 且与 xoy 面交成圆周x2

3、y216 ，则此球面的方程是 ( ).z0(A) x2y2z26z160 ；(B) x2y 2z216 z0 ；(C) x2y 2z26z160 ；(D) x2 y2 z2 6z 16 0 .10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是().(A) x2y2z21； (B) x2y24z ；(C) x2y 22x2y2z24z1； (D)91.16二、已知向量a, b 的夹角等于，且 a 2, b5 ，求3( a 2 b )(a3b ) .三、求向量 a4, 3,4 在向量 b2,2,1 上的投影 .四、设平行四边形二边为向量a 1, 3,1; b2, 1,3 b2,1,3 ，求其面积 .五

4、、 已 知 a, b, 为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：( ab )(ab)2( ab) .六、一动点与点M ( 1 , 0 , 0 ) 的距离是它到平面x4 的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程.x3t七 、 求 直 线 L ： y1 2t 在 三 个 坐 标 面 上 及 平 面z58txy3 z80上的投影方程.八 、 求 通 过 直 线 x 1y 2z 2且 垂 直 于 平 面232学习资料收集于网络，仅供参考3x2 yz50 的平面方程.九、求点 (1,4 , 3 ) 并与下面两直线2x4yx24tL1z 11t 都垂直的直线：3y， L2 : yx

5、532tz方程.十、求通过三平面：2xyz20，x3yz10 和 xyz30 的交点， 且平行于平面 xy2z0的平面方程.十一、在平面xyz10 内，求作一直线，使它通yz10过直线与平面的交点，且与已知直线垂x2z0直 .十二、判断下列两直线L1: x 1yz 1,112L2: xy 1z2,是否在同一平面上， 在同 一平面134上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离.第九章测验题一、选择题 :1、二元函数 zln4arcsin1y2 的定义域x2y2x2是( ).(A) 1x2y24； (B)1x2y24；(C) 1x2y24； (D)1x2y24.2、设 f ( xy, x)( xy

6、) 2 ,则 f (x, y)().y(A) x2( y1 ) 2； (B)x (1y) 2；yy(C) y2 ( x1)2； (D)y (1y)2.xx3、 lim( x2y2 ) x2 y2( ).x 0 y 0(A) 0；(B)1；(C) 2 ； (D)e .4、函数f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 ,且两个偏导数fx ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y) 在该点可微的 ().(A) 充分条件 ,但不是必要条件；(B) 必要条件 ,但不是充分条件；(C)充分必要条件；(D) 既不是充分条件 ,也不是必要条件 .( x2

7、y2 )sin21y2 , x2y 205、设 f ( x, y)x0,x2y20则在原点 (0,0) 处 f ( x, y) ().(A) 偏导数不存在； (B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D) 可微 .6、设 zf (x, v), vv( x, y) 其中 f , v 具有二阶连续偏导数.则2 z().y2(A)2 fvf2 v； (B)f2 v；v yyvy 2vy2(C)2 fv)2f2 v2 fvf2vv2 (yvy2； (D)v2yvy2 .7、曲面 xyza3 (a0) 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=().(A)23 a3； (B)3a3； (C)29 a3；

8、 (D)6a3.8、二元函数 z3( xy)x3y3 的极值点是 ().(A) (1,2) ； (B) (1.-2 )； (C) (-1,2) ； (D) (-1,-1). 9、函数 u sin xsin y sin z 满足学习资料学习资料收集于网络，仅供参考x yz( x 0, y0, z0) 的条件极值是 ( ).2(A) 1； (B)0； (C) 61； (D)81 .10、设函数 uu(x, y), vv(x, y) 在点 ( x, y) 的某邻域内可微分 ,则在点 ( x, y) 处有grad (uv)().( A)gradugradv ;( B)ugradv vgradu ;(C

9、 )ugradv ;( D )vgradu .二、讨论函数 zxy的连续性， 并指出间断点类型 .x3y3三、求下列函数的一阶偏导数:1、 zxln y ；2、 uf ( x, xy, xyz), z( x, y) ；3、 f (x, y)x2 yx2y20x2y2.0x2y20四、设 uf ( x, z) ,而 z(x, y) 是由方程 z xy( z) 所确的函数 ,求 du .五、设 z(u, x, y), uxey ,其中 f 具有连续的二阶偏导数 ,求2 zx.y六、设ucos ,u sin,z 和zx ev y ev z uv ,试求x.y七 、 设 x 轴 正 向 到 方 向 l

10、 的 转 角 为, 求 函 数f ( x, y)x2xyy2 在点 (1,1) 沿方向 l 的方向导数,并分别确定转角, 使这导数有(1) 最大值； (2) 最小值； (3)等于零 .八、求平面xyz1 和柱面 x2y21 的交线上与345xoy 平面距离最短的点 .九、在第一卦限内作椭球面x2y2z21的切平面 , 使a2b2c2该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点 ,并求此最小体积 .第十章测验题一、选择题 :11 xf ( x, y) dy =()1、dx001x1f (x, y)dx ； (B)11 x(A)dydyf (x, y) dx ；00001dy11d

11、y1y(C)f (x, y)dx ； (D)00f (x, y)dx .002、设 D 为 x2y2a2 ,当 a()时 ,a2x2y 2 dxdy.D(A) 1；(B)33；2(C) 33； (D)3 1.423、当 D 是 ( )围成的区域时二重积分Ddxdy1.(A)x轴, y轴及 2xy2 0; (B)x1 , y1 ;23(C)x轴 , y轴及 x4, y3; (D) xy1, xy1;4 、xexy dxdy的值为().其中区域D 为D0x1, 1y0.(A)1(B) e ; (C)1(D) 1.;ee5、设 I( x2y 2 )dxdy ,其中 D 由 x2y2a2 所D学习资料

12、学习资料收集于网络，仅供参考围成,则I =().2da2 rdra4(A)a;002ar 2rdr1a4(B)d;00222ar 2 dra3;(C)d0032aa2adr2a4 .(D)d006、设是由三个坐标面与平面x 2 y z =1 所围成的空间区域 ,则xdxdydz=().1； (B)11； (D)1(A)； (C)24.4848247、设是锥面z2x2y2( a0, b0, c0) 与平c2a22b面 x0, y0, zc 所围成的空间区域在第一卦限的部分 ,则xy dxdydz =().z(A)1 a2b2c ； (B)1 a2 b2b ；3636(C)1b2c2a ； (D)

13、1cab .36368、计算 Izdv,其 中为 z2x2y2 , z1围成的立体 ,则正确的解法为 ()和 ().(A) I21rdr1d0zdz；00(B) I21rdr1d0zdz；0r(C) I211ddzrdr ；00r(D) I12dzdz0zrdr .009、曲面 zx2y2 包含在圆柱x2y22x 内部的那部分面积 s().3； (B)2；5； (D)22 .10、由直线xy2, x2, y2 所围成的质量分布均匀(设面密度为) 的平面薄板 ,关于 x 轴的转动惯量I x=().(A)3； (B)5；(C)4； (D)6.二、计算下列二重积分 :1、(x2y2 )d,其中 D

14、是闭区域 :D0ysin x,0x.2、arctgyd,其中 D 是由直线 y0 及圆周D xx2y24, x2y21, yx 所围成的在第一象限内的闭区域 .3、( y23x6 y9)d,其中 D 是闭区D域: x2 y2 R24、x2y22 d ,其中 D : x2y23.D三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:12 y33 yf ( x, y)dx ；1、dyf (x, y)dxdy00102、11 1x2dxxf (x, y)dy ；0af (r cos, r sin) rdr3、d.0011yf ( x, y, z)dz 改换积分次序为四、将三次积分dxdyx0xxyz .五

15、、计算下列三重积分:1、y cos(xz)dxdydz,:抛物柱面yx及平面 yo, z o, x z2所围成的区域 .、22xoy( yz )dv,其中是由平面上曲线2y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5所围成的闭区域 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3、z ln( x2y2z21) dv, 其中是由球面x2y2z21x2y2z21所围成的闭区域 .六、求平面 xyz1 被三坐标面所割出的有限部分abc的面积 .七、设 f ( x) 在 0,1上连续 ,试证 :11yf ( x) f ( y) f (z) dxdydz11f ( x) dx3.0xx60第十一章测 验 题一、

16、选择题 :设 L 为 x x0 , 0 y34ds的值为 ( ).,则2L(A) 4x0 ， (B) 6 , (C) 6x0 .设 L 为直线 y y0 上从点 A(0 , y0 ) 到点 B(3 , y0 ) 的有向直线段dy =().,则 2L(A)6; (B)6 y0 ; (C)0.xa cost ,若 L 是上半椭圆取顺时针方向 ,则y bsin t ,ydx xdy 的值为 ( ).L(A)0; (B)ab ; (C)ab .24、设 P( x, y) , Q ( x, y) 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数 ,则在 D 内与PdxQdy 路径无关的条件LQP , ( x, y)

17、D 是 ().x y(A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件 .5、设为球面 x2y2z21, 1 为其上半球面 ,则( )式正确 .(A)zds 2zds;1(B)zdxdy2zdxdy ;1(C)z2 dxdy2z2 dxdy .16、若为 z2( x2y2 ) 在 xoy 面上方部分的曲面 ,则 ds等于 ( ).2dr4r 2222 rdr ;(A)1rdr ;(B)d1 4r00002d24r 2 rdr .(C)1007、若为球面 x2y2z2R2 的外侧 ,则x2 y2 zdxdy 等于 ().(A)x2 y2R2x2y 2 dxdy ;D xy(B) 2x2

18、 y2R2x2y 2 dxdy ; (C) 0 .D xy8、曲面积分z2 dxdy 在数值上等于 ().向量 z2 i 穿过曲面的流量；面密度为 z2 的曲面的质量；向量 z2 k 穿过曲面的流量 .9、设是球面 x2y2z2R2 的外侧 , Dxy 是 xoy 面上的圆域 x2y 2R2 ,下述等式正确的是().(A)x2 y 2 zdsx2 y 2R2x2y2 dxdy ；D xy(B)( x2y2 )dxdy(x2y2 )dxdy ；D xy(C)zdxdy2R2x2y2 dxdy .D xy10、若是空间区域的外表面 ,下述计算中运用奥-高学习资料学习资料收集于网络，仅供参考公式正确

19、的是 ().(A)x2dydz(z 2 y)dxdy = (2 x 2)dxdydz； 六、求向量 A xiyj zk 通过区域 : 0 x 1,外侧(B)( x3yz)dydz2x2 ydzdxzdxdy外侧= (3x2 2x2 1)dxdydz；(C)x2 dydz( z2 y) dxdy =(2x1)dxdydz.内侧二、计算下列各题:xt cost ,1、求zds,其中为曲线yt sin t ,(0 t t0 ) ；zt ,2、求(exsiny 2) y dx(cosex2)ydy ,其中 L 为上L半圆周 (xa)2y2a2 , y0 ,沿逆时针方向 .三、计算下列各题:1、求ds其

20、中是界于平面 z0及z Hx2y2z2之间的圆柱面x2y2R2 ；2、求 ( y 2z)dydz(z2x) dzdx( x2y) dxdy，其中为锥面 zx2y 2(0zh) 的外侧；xdydzydzdxzdxdy其中为 曲 面( x2y2z2 )3z(x2) 2( y 1)20的上侧 .1169(z5四、证明 : xdxydy 在整个 xoy 平面除去y 的负半轴及x2y2原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数.五、求均匀曲面 za2x2y2的重心的坐标 .学习资料0y1 , 0z1的边界曲面流向外侧的通量.七、流体在空间流动,流体的密度处处相同 (1),已知流速

21、函数Vxz2 iyx2 j zy2 k ,求流体在单位时间内流过曲面: x2y2z22z 的流量 (流向外侧 )和沿曲线 L : x2y2z22z , z1 的环流量 (从 z 轴正向看去逆时针方向 ) .第十二章测 验 题一、选择题 :1、下列级数中 ,收敛的是 ().(A)1 ；(B)1；n 1 nn 1 nn(C)1； (D)(1)n .n 13n2n12、下列级数中 ,收敛的是 ( ).(A)( 5 )n 1 ； (B)( 4 )n1 ；n14n 15(C)(1)n1 (5)n 1 ； (D)(54)n 1.n 14n 1453、下列级数中 ,收敛的是 ( )(A)(n!) 2； (B

22、)3n n! ；n 12n2n 1nn(C)12 sin； (D)n1.n2nn 1 n(n2)4、部分和数列sn 有界是正项级数un 收敛的n 1学习资料收集于网络，仅供参考()(A) 充分条件； (B) 必要条件；(C) 充要条件； (D) 既非充分又非必要条件.5、设 a 为非零常数 ,则当 ()时 ,级数a收敛 .n 1 r n(A)r； (B) r1；1(C) ra ； (D) r1 .6、幂级数( 1)n 1 ( x 1)n的收敛区间是 ( ).n 1n(A) (0, 2 ； (B) 0,2) ；(C) (0, 2 ； (D) 0,2 .7、若幂级an xn 的收敛半径为R1 :

23、0R1;n 0bn xn 的收敛半径为 R2 : 0R2,则幂级数n 0(anbn )xn 的收敛半径至少为 ()n 0(A) R1R2； (B) R1 R2 ；(C) max R1 , R2 ； (D) minR1, R2.n kn8、当R0 时 ,级数 n 1 ( 1) n2 是 ( )(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；(C) 发散； (D) 敛散性与 k 值无关 .9、 lim un0 是级数un 收敛的 ( )nn 1(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件； (D) 既非充分又非必要条件.学习资料10、幂级数n(n1)xn 的收敛区间是 ()n 1(A) ( 1,1；

24、 (B) ( 1,1；(C) ( 1,1； (D) 1, 1 .二、判别下列级数的收敛性:(n!)2n cos2n1、； 2、2n3 .n 1 2n2n 1三、判别级数(1)n ln n1 的敛散性 .n 1n1111四、求极限lim2 349827(2 n )3n .n五、求下列幂级数的收敛区间:1、3n5nxn ； 2、nx2 n.n 1nn1 2n六、求幂级数xn的和函数 .n 1 n(n1)2七、求数项级数n的和.n 1 n!八、试将函数1展开成 x 的幂级数 .(2x) 2九、设 f ( x) 是周期为2的函数 ,它在 , 上的表达式为0, x,0)将 f (x) 展开成傅立叶级数

25、.f ( x)0,)ex , x十、将函数 f (x)1, 0xh0 , hx分别展开成正弦级数和余弦级数 .十一、证明 :如果 f ( x)f ( x), f ( x) 以 2 为周期 ,则 f ( x) 的傅立叶系数a0 0 , a2 k0,b2 k0(k1,2,) .学习资料收集于网络，仅供参考第八章测验题答案一、 1、 D； 2、 C； 3、 C； 4、A ； 5、 B；6、B ； 7、C； 8、 A ； 9、 D； 10、D.二、 -103. 三、 2. 四、 3 10 .y2z21六、33.x0x3tx3tx0七、y1 2t ,y 0, y1 2t ,z0z58tz5 8t14x1

26、1yz260.xy3z80八、 x8 y13z90 .x112t九、 y446t .z3t十、 xy 2z40 .2xyz10十一、yz.x1 0十二、直线L1与 L2为异面直线 , d3.3第九章测验题答案一、 1、 A； 2、B； 3、B； 4、B； 5、D；6、C； 7、A ； 8、 A ； 9、 D； 10、 B. 二、 (1)当 x y 0 时 ,在点 ( x, y) 函数连续；学习资料(2)当 xy0 时 ,而 ( x, y) 不是原点时 ,则 ( x, y) 为可去间断点 ,(0,0)为无穷间断点 .三、 1、 zx(ln y) xln y1, zyln x xln y ；y2、

27、 uxf1yf 2( yzxyzx ) f 3 ,uyxf2( xzxyzy ) f3 .2xy322、f x (x, y)(x2y2 ) 2 , xy03,0, x2y20x2 ( x2y2 ), x2y20fy ( x, y)22)2.( xyo, x2y20四、 ( f1f 2)dxf 2( z)dy .y( z)y( z) 11五、 xe2 y fuueyfuyxeyfxuf xyey f u .六、 z(vcosvusin)u ,z(ucosvvsin)eu .xv eyv七、fcossin,l53及 7(1)4(2)(3)444八、 (4 ,3 , 35).5512(ab,c),Vmin3九、切点,3abc .332第十章测验题答案1、D； 2、C； 3、A； 4、A